線性代數(shù)二次型講義-課件

線性代數(shù)通識教育平臺數(shù)學(xué)課程系列教材線性代數(shù)二次型講義第五章二次型第一節(jié)二次型及其標準形第二節(jié)正交變換法化二次型為標準形第三節(jié)化二次型為標準形的其他方法第四節(jié)二次型的分類第五節(jié)二次型在直角坐標系下的分類線性代數(shù)二次型講義精品資料1．了解二次型及其矩陣表示。2．會用正交變換法化二次型為標準形。知道化二次型為標準形的配方法。3．知道慣性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判別法。本章學(xué)習(xí)要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）三級來表述。線性代數(shù)二次型講義二次型就是二次多項式.在解析幾何中討論的有心二次曲線,當中心與坐標原點重合時,其一般方程是

ax2+2bxy+cy2=f (1)

方程的左端就是x,y的一個二次齊次多項式.為了便于研究這個二次曲線的幾何性質(zhì),通過基變換(坐標變換),把方程(1)化為不含x,y混合項的標準方程

a'x'2+c'y'2=f (2)

在二次曲面的研究中也有類似的問題.線性代數(shù)二次型講義考察：方程表示xy平面上一條怎樣的曲線？圖形如何？將xy坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)π/4，即令則得此曲線在新的uv坐標系下的方程線性代數(shù)二次型講義上述問題從幾何上看，就是通過坐標軸旋轉(zhuǎn)，消去式子中的交叉項，使之成為標準方程.而其中坐標軸的旋轉(zhuǎn)所表示的線性變換是正交變換.綜上所述，從代數(shù)學(xué)的角度看，上述過程是通過正交變換將一個二次齊次多項式化為只含有平方項的二次多項式.二次型就是二次齊次多項式.線性代數(shù)二次型講義定義第七章二次型與二次曲面二次齊次多項式f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz稱為實二次型.

其中aij為實常數(shù).一、二次型的矩陣表示§1、二次型及其標準形取a21

=a12,a31

=a13,a32

=a23,從而,

2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.f=a11x2+a12xy+a13xz+

a21yx+a22y2

+a23yz+

a31zx+a32zy+a33z2

=x(a11x

+a12y+a13z)+y(a21x

+a22y+a23z)+z(a31x

+a32y+a33z)線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面§1、二次型及其標準形=XTAX.稱A為二次型f的矩陣，它是一個對稱矩陣.三元實二次型f三階實對稱矩陣A一一對應(yīng)AX線性代數(shù)二次型講義例2

第七章二次型與二次曲面例11251111解上一頁,線性代數(shù)二次型講義例2

第七章二次型與二次曲面上一頁例2若二次型f

的矩陣為試寫出f.解線性代數(shù)二次型講義例2

第七章二次型與二次曲面練習(xí)1341010解上一頁,線性代數(shù)二次型講義例2

第七章二次型與二次曲面上一頁練習(xí)若二次型f

的矩陣為試寫出f.解線性代數(shù)二次型講義定義1第七章二次型與二次曲面§1、二次型及其標準形n元二次型及其矩陣表示稱n

元實二次齊次式為n元實二次型.記aij=aji,則記X=(x1,x2,…,xn)T,A=(aij)nn,

則f(x1,x2,…,xn)=XTAX,其中A

稱為二次型的矩陣，A的秩稱為二次型的秩.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面①由于aij=aji,

所以AT=A,②A中aii是xi2的系數(shù),aij是交叉項xixj系數(shù)的一半.注:n元實二次型fn階實對稱矩陣A一一對應(yīng)定義2稱只含平方項的二次型為標準二次型.n元標準二次型fn階對角矩陣一一對應(yīng)線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面§1、二次型及其標準形二、矩陣間的合同關(guān)系思考：二次型f=XTAX經(jīng)過滿秩線性變換X=CY后還是二次型嗎?對于二次型f=XTAX，作滿秩變換X=CY,則f=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y.而(CTAC)T=CTAT(CT)T

=CTAC,所以f=YT(CTAC)

Y仍是關(guān)于新變量Y

的二次型,且二次型的矩陣為對稱矩陣B=CTAC.滿秩變換X=CYf=XTAXF=YTBY

B=CTAC線性代數(shù)二次型講義定義3第七章二次型與二次曲面對于n階實對稱矩陣A和B，若存在可逆矩陣P使PTAP=B則稱A

合同于B，記作AB因此，二次型經(jīng)滿秩線性變換后所得的新二次型，其矩陣與原二次型的矩陣是合同的.上一頁合同矩陣的性質(zhì)：XTAXYTBY經(jīng)滿秩的線性變換X=PYAB左乘以PT且右乘以P線性代數(shù)二次型講義定義如果滿秩變換X=CY將二次型f=XTAX化成了標準二次型的一個標準形.為f=XTAX上一頁§1、二次型及其標準形三、二次型的標準形這樣的矩陣C是否存在？定理1對任意的實二次型f=XTAX,一定存在滿秩線性變換X=CY,使二次型化為標準形.推論1任意給定一個實對稱矩陣A,一定存在可逆矩陣

C,使得CTAC為對角矩陣.線性代數(shù)二次型講義定義§2.正交變換法化二次型為標準形回顧：正交變換的概念設(shè)是n維歐氏空間Rn上的線性變換，若對任意的X,YRn,有||(X)(Y)||=||XY||,則稱為Rn上的正交變換.第七章二次型與二次曲面定理設(shè)是歐氏空間Rn上的線性變換，則下列四個條件等價(互為充分必要條件).(1)為正交變換.(2)把Rn的標準正交基變?yōu)闃藴收换?(3)||()||=||||,

Rn(保持向量長度不變).(4)((X),(Y))=(X,Y)(保內(nèi)積不變).線性代數(shù)二次型講義定義正交矩陣正交變換在標準正交基下所對應(yīng)的矩陣稱為正交矩陣.第七章二次型與二次曲面定理A是正交矩陣

ATA=E(或AAT=E).正交矩陣有如下性質(zhì)：定理

定理

設(shè)A是正交矩陣，則(1)|A|=1.(2)A

1

=AT.設(shè)A是正交矩陣

A

的列(行)向量組為相互正交的單位向量組.線性代數(shù)二次型講義§2.正交變換法化二次型為標準形一、實對稱方陣的對角化定理1實對稱方陣的特征值都是實數(shù).證設(shè)λ是實對稱方陣A的特征值，X是對應(yīng)的特征向量，即將上式兩邊同時轉(zhuǎn)置，由A的對稱性，得而因此，線性代數(shù)二次型講義定理2實對稱方陣的不同的特征值對應(yīng)的特征向量必正交.證設(shè)λ1,λ2是實對稱方陣A的兩個不同的特征值，X1,X2是對應(yīng)的特征向量，即因為A的對稱性，得從而，因此，線性代數(shù)二次型講義定理3若是n

階實對稱方陣A

的k

重特征值，則A

對應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量的最大個數(shù)均為k.實對稱方陣相似于一個對角陣嗎？回答是肯定的?。?！單擊此處可查閱進一步內(nèi)容定理4對于任一個n階實對稱方陣A,必存在一個正交方陣P使PTAP為對角形，且PTAP的對角線上的元素均為A的n個特征值(重數(shù)計算在內(nèi)),P的列向量為相應(yīng)于n個特征值的標準正交特征向量.證線性代數(shù)二次型講義證設(shè)實對稱方陣A的特征值為（重根計算在內(nèi)），則由定理3知，線性代數(shù)二次型講義記從而，線性代數(shù)二次型講義定理5任意一個n元實二次型都存在正交變換X=QY使得其中1,2,…,n

就是A的全部特征值,Q的n個列向量是A的對應(yīng)于特征值1,2,…,n

的標準正交特征向量.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面例1求正交矩陣Q使QTAQ成對角形矩陣，并求此對角形矩陣.其中解=(2)(26+5

)=0,A的特征值為1=1,2=2,3=5.1=1時,由(EA)X=0,即上一頁線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面解得對應(yīng)的特征向量為1=(0,1,1)T;2=2時,由(2EA)X=0,解得對應(yīng)的特征向量為2=(1,0,0)T;3=5時,由(5EA)X=0,解得對應(yīng)的特征向量為3=(0,1,1)T.上一頁將1,2,3單位化，得故所求的正交變換矩陣為線性代數(shù)二次型講義Q=01000對應(yīng)于特征值1對應(yīng)于特征值2對應(yīng)于特征值5且QTAQ

=第七章二次型與二次曲面上一頁線性代數(shù)二次型講義§2.正交變換法化二次型為標準形第七章二次型與二次曲面二、正交變換法化二次型為標準形1.寫出二次型f的矩陣A,并求A的全部特征值1,2,…,n

(重數(shù)計算在內(nèi)).2.求出各特征值的特征向量；若i是k重根時，找出i的k個線性無關(guān)的特征向量，并用施特正交化方法將它們正交化.步驟：3.將所得的n個正交向量再單位化，得n個兩兩正交的單位向量P1,P2,…,Pn,記P=[P1,P2,…,Pn].則X=PY為所求正交變換，f

的標準形為線性代數(shù)二次型講義例1求一個正交變換X=QY化二次型成標準形.二次型的矩陣解A

的特征值是1=2=λ3=1,4=-3.上一頁線性代數(shù)二次型講義對于4=-3,從而可取特征向量ξ1=(1,1,0,0)T,

ξ2=(0,0,1,1)T

和ξ3=(1,-1,1,-1)T.上一頁對于1=2=λ3=1,通過求齊次線性方程組(A-λE)X=0,得到其基礎(chǔ)解系并正交化:線性代數(shù)二次型講義從而可取特征向量ξ4=(1,-1,-1,1)T.將上述相互正交的特征向量單位化，得則在正交變換下，二次標準形為線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面例2求一個正交變換化二次型成標準形.二次型的矩陣解A的特征多項式為A

的特征值是1=2=0,3=9.上一頁線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面對于1=2=0,從而可取特征向量p1=(0,1,1)T及與p1正交的另一特征向量p2=(4,1,1)T.上一頁對于3=9,取特征向量p3=(1,2,2)T.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面將上述相互正交的特征向量單位化，得屬于特征值0屬于特征值9則存在正交變換使二次型化為標準形上一頁線性代數(shù)二次型講義練習(xí)解第七章二次型與二次曲面已知二次型通過正交變換化成標準形求參數(shù)a及有所用的正交變換矩陣.二次型f的矩陣特征方程為=(2)(26+9a2)=0,A的特征值為1=1,2=2,3=5.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面將=1(或=5)代入特征方程，得a24=0,a=2.因a>0,故取a=2.這時，1=1時,由(EA)X=0,即解得對應(yīng)的特征向量為1=(0,1,1)T,2=2時,由(2EA)X=0,解得對應(yīng)的特征向量為2=(1,0,0)T,線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面3=5時,由(5EA)X=0,解得對應(yīng)的特征向量為3=(0,1,1)T.將1,2,3單位化，得故所求的正交變換矩陣為T=01000上一頁線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面練習(xí)解已知二次型的秩為2,(1)求參數(shù)c及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值.(2)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何種二次曲面.(1)此二次型對應(yīng)矩陣為因r(A)=2,解得c=3.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面這時，=(4)(9),故所求特征值為=0,=4,=9.(2)由上述特征值可知二次型f通過變換，可化為標準形為那么f(x1,x2,x3)=1表示橢圓柱面.線性代數(shù)二次型講義§2.正交變換法化二次型為標準形三、正交變換法化二次型為標準形在幾何方面的應(yīng)用設(shè)X=

(x,y,z)T，則三元二次型XTAX可以看作空間向量α的函數(shù)，其中α在標準基ε1，ε2，ε3下的坐標就是X.作滿秩線性變換X=CY，所得新的二次型YTCTACY就是關(guān)于空間向量α在另一組基η1，η2，η3下的坐標同一空間曲面在不同空間直角坐標系中的方程線性代數(shù)二次型講義§3.化二次型為標準形的其他方法第七章二次型與二次曲面當n=1時，二次型已經(jīng)是標準形.證一、配方法定理1對任意的實二次型f=XTAX,一定存在滿秩線性變換X=CY,使二次型化為標準形.假設(shè)對n-1元的二次型，結(jié)論成立.考慮n元二次型當上面的二次型的矩陣A為零矩陣時，結(jié)論成立.下面假定A不為零矩陣.分兩種情形討論：情形I.A的主對角元中至少有一個不為零，不妨設(shè)a11不為零.這時線性代數(shù)二次型講義其中，令或線性代數(shù)二次型講義顯然上述變換為一個滿秩的線性變換，將原二次型化為由歸納假定，對于n-1二次型存在滿秩線性變換使之成為標準形，即線性代數(shù)二次型講義于是滿秩的線性變換將原二次型化為標準形，即情形II.A的主對角元全為零.此時A中至少有一個元素aij

（i≠j）不為零，不妨設(shè)a12≠0.令線性代數(shù)二次型講義則它是一個滿秩線性變換，且使得原二次型化為這時，上式右端關(guān)于變量的二次型中的系數(shù)不為零，故可視為情形I處理.定理得證.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面例1化二次型因為標準形中只含有平方項.因此逐個將變量配成一個完全平方的形式.令解為標準形，并寫出所作的滿秩線性變換.則線性代數(shù)二次型講義所作的滿秩線性變換為練習(xí)用配方法化二次型線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面因f

中含有x的平方項.可將含x的項歸到一起,配成一個完全平方的形式.f=(x2+2xy+2xz)+2y2+6z2

+6yz=(x2+2xy+2xz+2yz+y2+z2)+(2y2–y2)+(6z2–z2)+(6yz–

2yz)=(x

+y+z)2

+y2+5z2+4yz

=(x

+y+z)2

+(y2+4yz)+5z2=(x

+y+z)2

+(y

+2z)2+z2,令解則線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面例2解用配方法化f=2xy+2xz–6yz為標準形.令再令上一頁線性代數(shù)二次型講義練習(xí)用配方法化二次型解令線性代數(shù)二次型講義所用變換矩陣為線性代數(shù)二次型講義§3.化二次型為標準形的其他方法第七章二次型與二次曲面二、初等變換法設(shè)A為n階實對稱矩陣，由第一節(jié)定理1知，存在可逆矩陣C,使得CTAC為對角陣，即而可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積，即因此，定理1對任意實對稱矩陣A,存在一系列初等矩陣P1，P2,…,Ps,使線性代數(shù)二次型講義由于說明，若矩陣A經(jīng)過一系列合同變換(進行初等列變換后再進行同樣的初等行變換)化為對角矩陣D,則單位矩陣E經(jīng)過相同的一系列列變換化為矩陣C.這樣，我們就得到利用矩陣初等變換化二次型為標準形的方法，即初等變換法.或者，若矩陣A經(jīng)過一系列合同變換(進行初等列變換后再進行同樣的初等行變換)化為對角矩陣D,則單位矩陣E經(jīng)過相同的一系列行變換化為矩陣CT.線性代數(shù)二次型講義例3解線性代數(shù)二次型講義故當時，可使線性代數(shù)二次型講義例4解線性代數(shù)二次型講義所以，線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面但是通過配方法將二次型f化成標準形后,對應(yīng)矩陣的秩不變,即二次型f的秩就等于它的標準形的秩,也就等于標準形中的項數(shù).配方法不能保持R3中向量的長度,從而不能保持幾何圖形不變.也就是變成了x'y'平面上一個半徑為比如,xy面上圓周x2+y2=1,在變換x=x’+y’,y=x’–y’下,變成(x'+y')2+(x'–y')2=1.即上一頁線性代數(shù)二次型講義比如,第二節(jié)例題2中所給的二次型在正交變換下的標準形為而用配方法得到故經(jīng)過滿秩線性變換可將二次型化為標準形注：同一個二次型有不同形式的標準形，但標準形的秩相同，即平方項的個數(shù)相同，并且正系數(shù)的平方項個數(shù)也相同！這就是所謂的慣性定理.線性代數(shù)二次型講義定義1§4二次型的分類第七章二次型與二次曲面一、慣性定理和二次型的規(guī)范形定理1一個n元二次型f=XTAX經(jīng)過不同的滿秩線性變換化為標準形后，標準形中正平方項的項數(shù)p和負平方項的項數(shù)q都是由原二次型唯一確定的，且其中r(A)為矩陣A的秩.稱二次型f的標準形中正平方項的項數(shù)p為二次型f的正慣性指數(shù)，負平方項的項數(shù)q為負慣性指數(shù).若二次型f的標準形為如下形式則稱為規(guī)范標準形，簡稱規(guī)范形.其中r為二次型的秩.（規(guī)范形是唯一的）線性代數(shù)二次型講義定義2第七章二次型與二次曲面對于兩個n元二次型若它們的秩r相同，且正慣性指數(shù)p相同（從而負慣性指數(shù)也相同），則這兩個二次型可以通過滿秩線性變換相互轉(zhuǎn)化.也就可以歸為一類.參數(shù)r和p提供的分類的一個標準.設(shè)秩為r的n元二次型f=XTAX

經(jīng)滿秩線性變換化為規(guī)范形則(2)若p=r<n,則稱f為半正定二次型，A為半正定矩陣.(1)若p=r=n,則稱f

為正定二次型，A為正定矩陣.單擊此處可查閱進一步內(nèi)容§4二次型的分類二、正定二次型和正定矩陣線性代數(shù)二次型講義定理2第七章二次型與二次曲面若A是實對稱矩陣，則下列命題是等價的：(1)A是正定矩陣;(2)對任意的非零向量X,有XTAX>0;因A是正定陣,存在可逆陣P,使PTAP=EXRn,X0,而P可逆，即A=(PT)1P1,故XTAX=XT(PT)-1

P1X=XT(P1)T

P1X=(P1X)T(P1X)>0.故PX0,同理P1X0,(1)A是正定矩陣;(2)對任意的非零向量X,有XTAX>0.證(3)A的所有特征值都大于零.正定二次型的規(guī)范形的矩陣顯然是個單位矩陣.即單位矩陣是正定矩陣.那么，怎么判斷正定矩陣？線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面

若A有一個非正的特征值，不妨設(shè)i≤0,存在正交陣P,使得(2)對任意的非零向量X,有XTAX>0;(3)A的所有特征值都大于零.令X=P

1,其中=(0,0,…,0,1,0,…,0),XTAX=(P1)T

AP

1則的第i個分量是1，其余分量全為0.=i≤0.=

T(P1)TAP

1=

T

矛盾!=

TP

APT

證上一頁線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面因為A的全部特征值都大于0，則A所對應(yīng)的二次型的規(guī)范形的正慣性指數(shù)就是n,

故A是正定矩陣.(1)A是正定矩陣(3)A的所有特征值都大于零.證上一頁例1解f的矩陣為所以f是正定二次型.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面(1)設(shè)證定理3若二次型XTAX正定，則上一頁(2)又因為A正定，故存在可逆矩陣C,使CTAC=E,即線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面例2故A,B,C,D不是正定矩陣.解上一頁另外，C的對角元線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面定理4

n元二次型f=XTAX正定的充要條件是A的各階順序主子式|Ak|>0,k=1,2,…,n.其中…,上一頁線性代數(shù)二次型講義例2解f的矩陣為因為A的順序主子式為所以，二次型f是正定的.線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面練習(xí)f的矩陣由于A1=1>0,|A3|=|A|=3A2=3>0.故f

正定.解上一頁線性代數(shù)二次型講義定義3§4二次型的分類第七章二次型與二次曲面若p=0,r<n時,則稱

f

為半負定二次型，A為半負定矩陣.(2)若p=0,r=n時,則稱f

為負定二次型，A為負定矩陣.(3)若0<p<r≤n時,則稱f

為不定二次型，A為不定矩陣.三、二次型的其他類型：設(shè)秩為r的n元二次型f=XTAX

經(jīng)滿秩線性變換化為規(guī)范形線性代數(shù)二次型講義定理5設(shè)A是n階實對稱矩陣,則下列命題等價:

(i)XTAX是負定二次型(或A是負定矩陣);

(ii)對任意的非零向量X，XTAX<0;

(iii)A的所有特征值全都小于0;

(iv)A的順序主子式負正相間，即

線性代數(shù)二次型講義定理6設(shè)A是n階實對稱矩陣,則下列命題等價:

(i)XTAX是半正定二次型(或A是半正定矩陣);

(ii)對任意的非零向量X，XTAX≥0;

(iii)A的特征值有p個大于0，n-p個小于0;

(iv)A的順序主子式大于或等于0，但至少有一個順序主子式等于0.

線性代數(shù)二次型講義例4設(shè)A為n階實對稱矩陣，秩(A)=n,Aij是A=(aij)nn中元素aij

的代數(shù)余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型(1)記X=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣為A1;(2)二次型g(X)

=XTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同？說明理由.(1)二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣形式為A1解上一頁線性代數(shù)二次型講義第七章二次型與二次曲面因秩(A)=n,故A可逆，且從而故A1也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為A1.(2)因為所以A與A1合同，于是g(X)=XTAX與f(X)有相同的規(guī)范形.上一頁線性代數(shù)二次型講義練習(xí)解第七章二次型與二次曲面已知二次型通過正交變換化成標準形求參數(shù)a及有所用的正交變換矩陣.二次型f的矩陣特征方程為=(2)(26