第十五講-數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念課件

依概率收斂(P93定義5.1）切比雪夫(Chebyshev)不等式(P93)幾個(gè)常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律(P94定理5.2)

切比雪夫大數(shù)定律說明：在定理?xiàng)l件下，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量的離散程度很小的。經(jīng)過算術(shù)平均以后得到的隨機(jī)變量將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近，它與數(shù)學(xué)期望之差依概率收斂于0。2.貝努里大數(shù)定律(P95定理5.3)

貝努里大數(shù)定律說明：當(dāng)試驗(yàn)在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行很多次時(shí)，隨機(jī)事件的頻率在它的概率附近擺動(dòng)。如果事件A的概率很小，則事件A的頻率也是很小的，即事件A很少發(fā)生。實(shí)際中概率很小的事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，因此人們常常忽略了那些概率很小的事件發(fā)生的可能性。這個(gè)原理叫作小概率事件的實(shí)際不可能性原理（簡(jiǎn)稱小概率原理）。至于“小概率”小到何程度才能看作實(shí)際上不可能發(fā)生，則視具體問題而定。反之：如果隨機(jī)事件的概率很接近于1，則可以認(rèn)為在個(gè)別試驗(yàn)中這事件幾乎一定發(fā)生。3.辛欽大數(shù)定律(P95定理5.4)

辛欽大數(shù)定律說明：對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行n次觀察，則所有觀察結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于它的期望值。1.李雅普諾夫定理（P96定理5.5是其特殊情況）：

說明：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,若每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)這些隨機(jī)變量的和變量影響不大,則其和變量服從正態(tài)分布幾個(gè)常用中心極限定理（P96）2.拉普拉斯定理(Laplace)（P97定理5.6）

說明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí),n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X這一隨機(jī)變量落入某范圍的概率可用正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算要求：（1）了解大數(shù)定理和中心極限定理的含義。

（2）初步學(xué)會(huì)用李雅普諾夫定理和拉普拉斯定理計(jì)算相關(guān)的概率。在概率論部分中，我們研究隨機(jī)變量時(shí)，總假定它的概率分布是已知的，然而在實(shí)際問題中，其概率分布往往是不知道的。

例如：由于各種隨機(jī)因素的影響，燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命是一個(gè)隨機(jī)變量，但其服從什么分布并不知道。有時(shí)人們可根據(jù)一定假設(shè)條件推證或根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)出其分布類型（如指數(shù)分布或正態(tài)分布），但其相應(yīng)參數(shù)又是多少？

又如：概率論中若10000件產(chǎn)品的次品率為0.003，從中任取10件，我們可計(jì)算次品數(shù)為多少的概率。但實(shí)際工作中并不知道其次品率，而經(jīng)常是要求次品率不超過多少（如0.003）方能出廠，問這10000件產(chǎn)品能否出廠？

即是說：實(shí)際中，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的整體情況或隨機(jī)變量所服從的分布不但不已知，反而正是研究者所希望了解的，是研究的目的。就算能推出其服從的分布，但經(jīng)常不知其相關(guān)參數(shù)。

研究者一般只能抽取研究對(duì)象的一部分（做有限次試驗(yàn)）來獲取研究對(duì)象的一部分信息，然后通過這一部分信息來推斷研究對(duì)象的整體信息。這就是下面知識(shí)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》所要解決的問題。

總體---統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把所考察（研究）的對(duì)象的全體稱為總體(母體)個(gè)體---組成總體的每一個(gè)基本元素（基本單位）稱為個(gè)體。

如：研究中國(guó)人身體狀況，則全體中國(guó)人就構(gòu)成一個(gè)總體，而每一個(gè)中國(guó)人就是一個(gè)個(gè)體?？疾炷碂襞輳S某天生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量情況，就把該廠這一天所產(chǎn)的燈泡全體視為一個(gè)總體，其中的每個(gè)燈泡就是一個(gè)個(gè)體。第十五講數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念一、總體與樣本（P104）總體可以包含有限個(gè)個(gè)體，也可包含無限多個(gè)個(gè)體。在一個(gè)有限總體所包含的個(gè)體相當(dāng)多的情況下，可以把它作為無限總體來處理。如，一麻袋稻種，一個(gè)國(guó)家的人口等等。但在實(shí)際問題中，我們要研究的往往是被考察對(duì)象的某一（或某些）數(shù)量指標(biāo)。

如：研究中國(guó)人的身高（體重）情況。這時(shí)，所有中國(guó)人的身高（體重）就是一個(gè)總體，而每個(gè)中國(guó)人的身高（體重）就是個(gè)體。

又如：研究一批燈泡的使用壽命。這時(shí)，整批燈泡的使用壽命就是總體，每個(gè)燈泡的使用壽命就是個(gè)體。

抽樣---從全部對(duì)象中按一定方式抽取一部分對(duì)象的過程。抽樣的必要性：

(1)有時(shí)若不抽樣，就違背了研究的本來目的(如檢查一批鋼絲拉力強(qiáng)度)；

(2)客觀上對(duì)全部對(duì)象進(jìn)行觀測(cè)或檢驗(yàn)是根本不可能的(如檢測(cè)海水中微生物的情況)；

(3)對(duì)全部對(duì)象進(jìn)行檢測(cè)需要的成本高，或所需時(shí)間長(zhǎng)，或兩者都有之(如全國(guó)人口普查)。

中國(guó)人口普查共進(jìn)行了六次：1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年。雖然根據(jù)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)來推斷整體的情況必定帶來誤差，但在很多情況下，這種誤差是可以容忍的。對(duì)總體進(jìn)行研究和推斷，一般要進(jìn)行抽樣樣本：注：（1）同分布性：

Xi，i=1,…,n與總體同分布.（2）獨(dú)立性：

X1，…

，Xn

相互獨(dú)立；滿足上述兩個(gè)條件抽取的樣本稱為容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。如：研究中國(guó)人的身高時(shí)，就不能抽取美國(guó)人如：研究中國(guó)人身高時(shí)，不能第一次抽一個(gè)人后，第二次就在這個(gè)人的親人中抽取，而第二次仍應(yīng)隨機(jī)抽取?？傮w、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值理論分布統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體抽樣抽樣完成？在實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作中，首先接觸到的是一系列的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的變異性，系統(tǒng)地表現(xiàn)為數(shù)據(jù)的分布。分布的具體表示形式為表和圖。統(tǒng)計(jì)表有簡(jiǎn)單表和分組表等。統(tǒng)計(jì)圖有頻數(shù)（率）圖、頻率直方圖和累積直方圖等。二、數(shù)據(jù)的初步整理統(tǒng)計(jì)所處理的是數(shù)字資料。搜集數(shù)字資料是統(tǒng)計(jì)工作的第一步，而且是統(tǒng)計(jì)整理和分析的基礎(chǔ)。如果搜集的資料不準(zhǔn)確、不完整、不系統(tǒng)，那么不僅資料本身無應(yīng)用價(jià)值，而且以此為依據(jù)所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)整理和分析，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，搜集資料是統(tǒng)計(jì)工作的重要一環(huán)。（一）統(tǒng)計(jì)資料的來源統(tǒng)計(jì)資料的來源主要有兩個(gè)方面：經(jīng)常性資料——主要指文字記載的資料，包括日常工作記錄和統(tǒng)計(jì)報(bào)表等。如：學(xué)生學(xué)期和學(xué)年各科成績(jī)，學(xué)校教師的年齡、教齡、職稱、工資等情況的記錄。專題性資料——通過專題性的調(diào)查或試驗(yàn)所獲得的資料。（二）數(shù)據(jù)的種類數(shù)據(jù)按來源可分為點(diǎn)計(jì)數(shù)據(jù)和度量數(shù)據(jù)。點(diǎn)計(jì)數(shù)據(jù)——計(jì)算個(gè)數(shù)所獲得的數(shù)據(jù)。如：學(xué)校的班級(jí)數(shù)、學(xué)生數(shù)、教師數(shù)、課程數(shù)、教室數(shù)等。度量數(shù)據(jù)——用一定的工具或一定的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量所獲得的數(shù)據(jù)。如：學(xué)生的身高、成績(jī)、100M跑的速度等。統(tǒng)計(jì)學(xué)中將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為定類數(shù)據(jù)、定序數(shù)據(jù)、定距數(shù)據(jù)、定比數(shù)據(jù)按隨機(jī)變量取值可分為間斷型隨機(jī)變量數(shù)據(jù)和連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)據(jù)。間斷型隨機(jī)變量數(shù)據(jù)——取值個(gè)數(shù)有限的數(shù)據(jù)。如：學(xué)校的班級(jí)數(shù)、學(xué)生數(shù)、教師數(shù)、課程數(shù)、教室數(shù)等。連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)據(jù)——取值個(gè)數(shù)無限的（不可數(shù)的）數(shù)據(jù)。如：學(xué)生的身高、體重等。按數(shù)據(jù)特性可分為時(shí)間序列數(shù)據(jù)和橫截面數(shù)據(jù)。時(shí)間序列數(shù)據(jù)——對(duì)某個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在不同的時(shí)期進(jìn)行觀測(cè)，將得到的數(shù)據(jù)按時(shí)間先后順序進(jìn)行排列得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。如：武漢市不同年份職工平均工資水平、某產(chǎn)品每月的銷售額等。橫截面數(shù)據(jù)——對(duì)某個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在不同的個(gè)體上進(jìn)行觀測(cè)，所得到該指標(biāo)的一組數(shù)據(jù)。如：中國(guó)各省會(huì)城市2007年職工平均工資水平、各大鋼廠2006年年產(chǎn)量等。（三）統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖

統(tǒng)計(jì)表是用來表達(dá)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與被說明的事物之間數(shù)量關(guān)系的表格。它可將大量數(shù)據(jù)結(jié)果清晰、一目了然地表達(dá)出來，明顯地反映出事物的特性，便于分析、比較、計(jì)算和記憶。

統(tǒng)計(jì)表有簡(jiǎn)單表和分組表之分。

統(tǒng)計(jì)圖是用來表達(dá)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與被說明的事物之間數(shù)量關(guān)系的圖形。它以直觀形象的形式表達(dá)出事物的分布特性，使人一目了然，便于理解，印象深刻，容易記憶。

統(tǒng)計(jì)圖我們主要研究頻數(shù)圖、頻率圖和累積頻率圖。班別一班二班三班四班總和人數(shù)423650451731、統(tǒng)計(jì)表表6.1某年級(jí)各班學(xué)生人數(shù)表6.2某校高三學(xué)生各年高考錄取人數(shù)年份20012002200320042005總和錄取人數(shù)132154144123125678簡(jiǎn)單表：就是只列出觀察對(duì)象的名稱、地點(diǎn)、時(shí)序或統(tǒng)計(jì)指標(biāo)名稱的統(tǒng)計(jì)表。復(fù)合表（分組表的一種）：將數(shù)據(jù)按兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)志分成若干組而列成的統(tǒng)計(jì)表。班別甲乙丙丁總和男女男女男女男女一班二班三班6575568998108634433210111403738總和18162626131033115表6.3某年級(jí)操行評(píng)定結(jié)果分組表：數(shù)據(jù)較多時(shí)，將數(shù)據(jù)按某一標(biāo)志分成若干組，按各組數(shù)值大小列成的統(tǒng)計(jì)表。404044405560430038004200500043004200384042004040424034004240412038804720358047603760396042804440366043603640438033004260例1：觀察工人家庭的月收入，現(xiàn)抽取30個(gè)家庭得到月收入如下（單位：元）：（1）找出樣本觀測(cè)值的最大值和最小值：（2）分組：實(shí)際中第一組的下限一般取稍小于最小值的數(shù)，如此例可取3200；最后一組的上限一般取稍大于最大值的數(shù)，如此例可取5600。然后從3200到5600分成若干段，比如此例分成相等的6段。為防產(chǎn)生重疊，一般每組為不含上限的半開半閉的區(qū)間。分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)表5560和3300分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表制作步驟（P105)：[3200,3600),[3600,4000),[4000,4400),[4400,4800),[4800,5200),[5200,5600)[0,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],（3）畫記(數(shù)據(jù)不多時(shí)此步可省略）收入組畫記[3200,3600)[3600,4000)[4000,4400)[4400,4800)[4800,5200)[5200,5600)4040

4440

5560

4300

3800

4200

5000

4300

4200

3840

4200

4040

4240

3400

4240

4120

3880

4720

3580

4760

3760

3960

4280

4440

3660

4360

3640

4380

3300

4260///////////////////////////（4）完成頻數(shù)分布表收入組頻數(shù)[3200,3600)[3600,4000)[4000,4400)[4400,4800)[4800,5200)[5200,5600)

3714411合計(jì)30編制頻數(shù)分布表時(shí)需注意幾點(diǎn)：

（1）組距（每一段的長(zhǎng)度）不一定相等，組數(shù)要適當(dāng)；

（2）各組必須是不相重疊的；

（3）分組必須是窮盡的，每一基本單位必定能屬于某一組。表6.4

30個(gè)工人家庭月收入分布表收入組頻數(shù)[3200,3600)[3600,4000)[4000,4400)[4400,4800)[4800,5200)[5200,5600)

3714411合計(jì)30表6.4

30個(gè)工人家庭月收入分布表統(tǒng)計(jì)表一般含：表號(hào)橫標(biāo)目的總標(biāo)目橫標(biāo)目線條：不宜多，注意粗細(xì)表內(nèi)數(shù)字：準(zhǔn)確、阿拉伯?dāng)?shù)字、位次對(duì)齊、小數(shù)位數(shù)一致，不能空格，暫缺或未記錄的用“…”表示，無數(shù)字用“－”表示，數(shù)字若是“0”，則應(yīng)填“0”標(biāo)題：表的名稱，應(yīng)確切地、簡(jiǎn)明扼要地說明表的內(nèi)容。標(biāo)題應(yīng)寫在表的上方。表號(hào)：表的序號(hào)。若文章中有幾張表，則需按它們出現(xiàn)的先后次序編上序號(hào)，并寫在標(biāo)題的左方。標(biāo)目：表格中對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分類的項(xiàng)目。表注：（不是必要的）若確有必須補(bǔ)充說明的問題，可用簡(jiǎn)短的小號(hào)字寫在表的下方。1、標(biāo)題；2、表號(hào)；3、標(biāo)目；5、數(shù)字4、線條；標(biāo)題縱標(biāo)目頻數(shù)直方圖1051536003200440040005200480005600頻數(shù)收入收入組頻數(shù)[3200,3600)[3600,4000)[4000,4400)[4400,4800)[4800,5200)[5200,5600)

3714411合計(jì)302、統(tǒng)計(jì)圖圖6.1

30個(gè)工人家庭月收入分布頻數(shù)直方圖圖號(hào)標(biāo)題標(biāo)目標(biāo)目（坐標(biāo)軸）圖形有時(shí)還有圖注收入組頻數(shù)[3200,3600)[3600,4000)[4000,4400)[4400,4800)[4800,5200)[5200,5600)

3714411合計(jì)30例1的頻數(shù)分布表為：相對(duì)頻數(shù)（頻率）累積頻率

10.0﹪23.3﹪46.7﹪13.3﹪3.3﹪3.3﹪

10.0﹪33.3﹪80.0﹪93.3﹪96.6﹪100.0﹪

100.0﹪

100.0﹪頻率和累積頻率直方圖（P106）51036003200440040005200480005600頻率（﹪）