2021屆廣西名校高三年級上冊學(xué)期第一次高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2021屆廣西名校高三上學(xué)期第一次高考模擬數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

ln(x—6](x+2)(8x+l)15

設(shè)集合y集合5=.則

x+13

AU6RB=()

【答案】D

【分析】求定義域確定集合A，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得集合5,再由集合的運(yùn)算計(jì)算.

%—6>0

【詳解】由《，c得x>6,所以A=(6,+8),

J+IHO

(x+2)(8x+l)8X2+17X+2611715」1八5

------------=------------=2x4-——+——Wx<一時(shí)，—<2x<—,

4x4x2x44824

r=2x,re[p|),由勾形函數(shù)知〃=r在上遞減，在U,；)上遞增,

…-155,41…，小5、

f=l時(shí)，M=2,t=—B'LJ,u=—,/■=一時(shí)，u=—,所以we[2,—],

224202

252725272527

，即8=

所以yeT'T'2d(L

所以AU(6RB)=R.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的綜合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合的元素，解題時(shí)

需要根據(jù)集合中代表元的屬性進(jìn)行求解.集合A是求函數(shù)的定義域，集合5求函數(shù)的

值域，函數(shù)式化簡后由單調(diào)性確定值域.

2.警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互認(rèn)識，警察將四名嫌

疑人分別進(jìn)行審問.甲說：“是乙和丙其中一個(gè)干的.“乙說："我和甲都沒干.”丙說：“我

和乙都沒干.”丁說：“我沒干.”已知四人中有兩人說謊，且只有一人偷竊，下列兩人不可

能同時(shí)說謊的是()

A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲

【答案】C

【分析】假設(shè)甲和乙同時(shí)說謊，則丙和丁沒有說謊，然后從4個(gè)人說的話進(jìn)行分析，可

得到是甲干的；若假設(shè)乙和丙同時(shí)說謊，則甲和丁沒有說謊，然后從4個(gè)人說的話進(jìn)行

分析，可能是乙干的；若假設(shè)丙和丁同時(shí)說謊，則甲和乙沒有說謊，然后從4個(gè)人說的

話進(jìn)行分析，此時(shí)選不出是誰干的，所以丁和丙不可能同時(shí)說謊；若丁和甲同時(shí)說謊，

則乙和丙沒有說謊，然后從4個(gè)人說的話進(jìn)行分析，可得到可能是丁干的

【詳解】解：對于A,若甲和乙同時(shí)說謊，甲說謊：則意思是甲或丁干的，乙說謊：則

意思是甲或乙干的，丙：丙和乙都沒干，是丁或甲干的，?。杭谆蛞一虮傻?，此時(shí)可

能是甲干的；

對于B,若乙和丙同時(shí)說謊，甲：丙或乙干的，乙說謊：甲或乙干的，丙說謊：則意思

是乙或丙干的，?。杭谆蛞一虮傻?，此時(shí)選可能是乙干的

對于C,若丙和丁同時(shí)說謊，甲：丙或乙干的，乙：丙或丁干的，丙說謊：則意思是乙

或丙干的，丁說謊：則意思是丁干的，此時(shí)選不出是誰干的，所以丁和丙不可能同時(shí)說

謊；

對于D,若丁和甲同時(shí)說謊，甲說謊：則意思是甲或丁干的，乙：丙或丁干的，丙：丙

和乙都沒干，是丁或甲干的，丁說謊：則意思是丁干的，此時(shí)可能是丁干的

故選：C

3.如圖，在正方體A3CO-4用G"中，A5=l，M.N分別是AB、3C的中

點(diǎn)，平面與AC分別與"M、RN交于「、。兩點(diǎn)，則()

55

C.-D.

525

【答案】D

【分析】以點(diǎn)￡＞為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC、。。所在直線分別為X、丁、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出點(diǎn)A、M到平面的距離4、d2,可計(jì)

lD.Pl4

算出=丁七-，再利用線面平行的性質(zhì)推導(dǎo)出PQHMN,利用共線向量的坐標(biāo)

\D]M\4+4

運(yùn)算可求得點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)，進(jìn)而可計(jì)算出Say。.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4、DC、所在直線分別為X、＞、Z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

則點(diǎn)A(1,O,O)、C(O,1,O),5,(1,1,1),D,(0,0,1),

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(%y,z)，AC=(-1,1,0),ABt=(0,1,1),

由〈，可得〈，取y=l,則x=l,z=—l,.??〃=(1,1,一1),

n-AB}=y+z=0[z=-y

AA=(1,0,-1),點(diǎn)D,到平面ABXC的距離為&==一廣=年，

nA/33

1

M4=(0,點(diǎn)M到平面AB.C的距離為4=1=^=*'

2百

\DtP\4亍4

\D,M\4+4273V35,

I

3----6

M、N分別為AB、8C的中點(diǎn)，則A/N〃AC,

A/Nz平面ABC，ACu平面ABC，MN〃平面ABC，

MNu平面RMN,平面D]MN平面ABC=PQ,.?.PQ〃肱V.

設(shè)點(diǎn)P(%,y”zJ、Q(X2，y2,z2),

由,可得(須,另,4-1)=11,；,一122

則jy=二，解得=丁

JJ1乙

<42111241

所以，點(diǎn)尸彳,不,彳，同理可得點(diǎn)Q

\JJ\JJJ

,年1瓦。卜耍

八B,P-BQ11-------------A伺

3/世0=同用{聞=日則sinN?4Q=J1-cos?NPB、Q=昔，

因此，5/皈=；|44|4。卜皿/尸與。=縹.

故選：D.

【點(diǎn)睛】利用空間向量法計(jì)算立體幾何中的三角形的面積，通過計(jì)算點(diǎn)A、M到平面

AqC的距離來確定點(diǎn)尸、Q的位置是解決本題的關(guān)鍵，對于線面的交點(diǎn)問題，以后也

可以采取類似的方法解決.

4.在四面體ABC。中，AB=6,BC=3,BD=4,若NA3O與NABC互余，則

+的最大值為（）

A.20B.3()C.40D.50

【答案】B

TT

【分析】設(shè)NA3D=a,可得NABC=一—a,利用空間向量數(shù)量積的定義以及輔助

2

角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可求得+的最大值.

TT

【詳解】設(shè)NA6O=a,可得NA3C=——a,則a為銳角，

2

在四面體ABCZ）中，AB=6,BC=3,BD=4^

則

BA-（BC+BD）=BA-BC+BA-BD=\B^Bc\co^-a^+\BA\-\BD\cosa

=18sinrz+24cosa-30sin（cr+^）,其中。為銳角，且tan夕=g.

Z-XC7rLi兀

Q0<tz<—,則eca+eV'+e，

所以，當(dāng)a+夕/時(shí)，8A-（6C+町取得最大值3（）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】在計(jì)算向量的數(shù)量積時(shí)，要確定好基底向量，作為基底向量的向量，長度以及

向量間的夾角需已知.

2

5.（x-l）（xT（VT（》4_］）卜5-1）的展開式中各項(xiàng)的指數(shù)之和再減去各項(xiàng)系數(shù)

乘以各項(xiàng)指數(shù)之和的值為（）

A.0B.55C.90D.120

【答案】C

【分析】將（％-。（/一］）（%3一］乂/一］）（》5一［）展開，利用題中信息可求得結(jié)果.

【詳解】［-1乂心_1）儼_］）卜4_］）卜5_1）

=X，5-A：l4-A：l3+XIO+X9+X8-X7-^6-X5+X2+A：-b

所以，（X—。（一一。（丁一1）卜4_*爐—1）的展開式中各項(xiàng)的指數(shù)之和為

15+14+13+10+9+8+7+6+5+2+1=90,

展開式中各項(xiàng)系數(shù)乘以各項(xiàng)指數(shù)之和為15—14一13+10+9+8-7—6-5+2+1=0,

因此，所求結(jié)果為90—0=90.

故選：C.

【點(diǎn)睛】求解二項(xiàng)展開式中有關(guān)項(xiàng)的指數(shù)與系數(shù)的問題，一般將二項(xiàng)式展開，也可以利

用二項(xiàng)式定理來求解.

6.(V2Z-1)5-(V2Z+1)5=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【分析】先求("-1)和+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得結(jié)果.

［詳解】(V2/+1)2=-l+2V2z,

(V2z-1)4=(-1-2V2z)2=-7+472/,("+1/=(-1+2"丫=-"4&,

二("_1『二卜7+4")("_1)=

("+1)5=(-7-4V2Z)(V2Z+1)=1-11V2Z,

1)5-/+1)'=-2,

故選：D.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，結(jié)果是()

/輸出比/

@5)

A.11B.12

C.13D.無輸出.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的程序語句可得,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出k的值,

模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下:

〃=17,Z=0

17不是偶數(shù)，〃=3x17+1=52,Z=0+l=l,52wl；

=52一-

52是偶數(shù),2女=1+1=2,26wl；

26

13

=2T6-

26是偶數(shù),Z=2+l=3,13wl；

13不是偶數(shù)，〃=3xl3+l=40,左=3+1=4,40wl；

40是偶數(shù)，n=—=20,k=4+1=5,20wl；

2

20

20是偶數(shù)，〃=一=10,左=5+1=6,10^1；

2

10是偶數(shù)，n=—=5,左=6+1=7,5wl；

2

5不是偶數(shù)，力=3x5+1=16,攵=7+1=8,16^1；

16是偶數(shù)，n=—=8,%=8+1=9,8wl；

2

Q

8是偶數(shù)，〃=—=4,2=9+1=10,4wl；

2

4

4是偶數(shù)，〃=一=2,^=10+1=11,2W1；

2

2

2是偶數(shù)，〃=—=1,2=11+1=12,1=1；

2

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了求程序框圖的運(yùn)行結(jié)果得問題，解題的關(guān)鍵是要讀懂程

序框圖，模擬程序框圖的運(yùn)行過程，得出結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.

8sin242cos212

)

3cos36"+1

11c11

A.8-B.6-4-D.2-

ii.i

［分析］先求出cos360,然后,利用sin242°cos212°=產(chǎn)‘」,。+’廠,代入cqs36O

3cos36+13cos360+1

的值求解即可

sin72°cos72°sin144°1

【詳解】cos36°sin18°=cos36°cos72°=

2sin36°4sin360-4

cos360-sin18。=sin54°-sin18°=sin(36°+18°)-sin(36°-18°)=2cos36°sin18°=1

☆x=cos360,得sinl80=-5-,==所以,

4x4x24

336。=避包，

4

12

sin242°cos212°_(sin42°cosl2。)-9-[sin(42o+12°)+sin(42o-12°)]-

所以,

3cos360+13cos360+1-3cos36°+1-

1/oro1\21v5+11、2

1—(COS36H)—z(------------1—)

一(sin54°+sin30°)_42442

=4---------------3cos36°+1

3cos36°+1312____2+i

4

故選：A

sin14401工

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于，利用cos36。sin18°--------=_和

4sin3604

cos360-sinl8°=-,求出8s36。，然后利用余弦函數(shù)的兩角和差公式進(jìn)行求解，運(yùn)

2

算量較大，屬于難題

9.已知4=5+26_小3,b=士,c=l—ln2,貝!J()

6e-

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

【答案】B

【分析】構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得ln(l+g)<24一1,進(jìn)而可得

5+2^-ln3-(l-ln2)>0,即可得c<a,通過放縮可證明b<之<c,即可得解.

6V710

、、r2r3r4r5

【詳解】令/(x)=ln(l+x)-x+^---—+—---—,x>0,

-x5

則(尤)---1+X-X2+X3-X4——<0,

1+X

丫2345

所以/(X)單調(diào)遞減，/(x)</(o)=o,所以加(1+工)<%一5+事一3+工，

所以In1+g

223459606

rrKI5+2^3/\2\/3—13Hn

所以---------In3-（l-ln2）=--------In—>0，即；

6v762

23

因?yàn)镃B2.718,所以人二不<一，

e210

又>27>2°，所以高/，ln2<z;，所以l—ln2>z；,

匕,41()1()

所以6VC;

所以Z?VCV〃.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)對代數(shù)式進(jìn)行合理放縮.

31

10.已知數(shù)列4+3。"_|+],4=2,則log2M+l)=()

A.63log23-31B.311og23-15C.631ogs2-31D.31log32-15

【答案】B

【分析】令〃=log2(a“+l)，推導(dǎo)出數(shù)列(a+log2,｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的

首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求得Iog2(%+1)的值?

313?

【詳解】由?！?5。3+3%.I+5可得4+l=5（a,i+l），

4=2〉0,根據(jù)遞推公式可得出“2>0，%>0，，

進(jìn)而可知，對任意的〃eN*，>0，

3

在等式4+1=](a“T+1)9兩邊取對數(shù)可得

"3o"l3

log2(an+l)=log2=21og2(an-1+l)+log2-,

令2=log2（a“+l）,則2>0,可得a=2%+log2g,則

2+1暇'|=2（如+1幅'|），

所以，數(shù)列｛a+iog?1｝是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為

339

2+!og2=唾2（4+1）+1og21=log2公比為2，

349

b5+log2-=2log2-=16(2log,3—1)=32log,3-16,

B|Jlog2(?5+l)=321og23-16-log2|=311og23-15.

故選：B.

【點(diǎn)睛】刑如“勺+i=pa?+q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為a,用+X=+A）,由待定系

數(shù)法求出；I,再化為等比數(shù)列.

11.已知橢圓土+二=1上有相異的三點(diǎn)A,B,C,則SABC的最大值為（）

42

376

A.3夜B.3后D.3>/6

F

【答案】c

2y2

【分析】設(shè)橢圓5+=1上的三個(gè)不同的點(diǎn)

a~b2

A(acos4,bsin0}),B(acos02,bsin02),C(acos4力sinQ),作它們在直線y=-b±.

的射影4,M，G，用梯形面積表示出A6C的面積，然后轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)的最大值,

由三角函數(shù)恒等變形及均值不等式可得最大值，從而得（S,M8c）ma、=乎。6.由此可

得正確選項(xiàng).

【詳解】首先證明一個(gè)結(jié)論，設(shè)

A（acos,bsin）,B（acos029bsinO2）,C（acos03,bsin03）｛0<0]<02<03<2TT）

r2v2

是橢圓鼻+2r=1上的三個(gè)不同的點(diǎn)，直線/：y=-b,4,用,G分別是A,8,C在直

ab

線/上的射影，則A（。cosq,-/?）,B]（acos%,-圾￡（acos03，一b）,

SABC=S梯形AA8/+S梯形S悌形AAGC

=g|A4j+忸4|)|A團(tuán)+；(忸聞+|CG|)|4G|—g|A4j+|CG|)|AG|

=；(/?sin4+b+力sin。2+力)(Qcosq-acos%)

ZCOS

+—(/?sin^2+Z?+Z?sin^4-/?)(6^2-acos03)

一;(Osin4+O+Osina+b)(Qcos8]-acos劣),

=—ab[sin(02一4)+sin(q-名)一sin?-^)],

o<a<&<a<2"，.?.％一a，%一a，a-a(0,21),

令二二名一如/二另一名，則a+/?=a-4w(0,2〃)，

S&ABC-g。卅sina+sin〃-sin(a+，)]

令p=sina+sin，-sin(a+/7)

小.a+8a-B仁.a+0a+6

=2sm-----cos-------2sin-----cos...-

2222

八.a+0(a-Ba+￡)

=2sin----cos-----cos...-

2I22)

a+p(a+P)

2I2)

.a+0.a+/3.cr+Z?a+0

二4Asin---—?sin9-----=8osin3----cos----,

2444

26a+02二+4

/?<64sin2C0S2

64.+p+\2。+/

—sin-----sin-----3cos----

3444

a+B.a+￡丫

sin2+sin2...-+3cos2

44427

4T

7

a-p

廠cos------=1

:.p4里,當(dāng)且僅當(dāng)'2即a=￡=』時(shí)等號成立.

2.1a+B,a+/3尸3

sin-=3cos2.......-

22

本題中，a=2,b=V2,(S-)max=3fX2X近=3,.

故選：c.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查求橢圓內(nèi)接三角形最大面積，記住結(jié)論:

橢圓二+與=1內(nèi)接三角形的最大面積為任a6

a2b24

12.若。、。是小于180的正整數(shù)，且滿足sin（>+3=51可。+23.則滿足條件的

sinasin/7

數(shù)對（a力）共有（）

A.2對B.6對C.8對D.12對

【答案】A

【分析】根據(jù)。、〃是小于180的正整數(shù)，確定2<。+力<360,a+〃wN*,

3<a+2b<540,a+2beNt,結(jié)合正弦函數(shù)圖像，分。=b和。+。=180兩種情況討

論即可.

【詳解】解：l<a<180,aeN"、14人<180,/?eN*,所以2Wa+/?<360,a+beN",

3<a+2b<540,。+26eN*,結(jié)合觀察正弦函數(shù)的圖像,

滿足sm(。+3=sin(a+28)的(”力)只可能以下兩種情況：

sinasinZ?0

(1)〃=/?時(shí)，

a+"a+2b=9?；騛++=

2一2，

所以。=〃=36或。=b=108.

(2)〃；一二90時(shí),同樣有sina=sinZ?，此時(shí)sin(a+b)=0,但人N=0,

則sin(〃+2b)°wO,所以此時(shí)沒有滿足題意的整數(shù)對；

綜合(1)(2),滿足題意的(?！?有2對.

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般情況下，滿足@=￡的a/,c,d有無數(shù)對，由于本題的特殊性,

ba

這是本題的難點(diǎn).

ba\b=a

二、填空題

13.已知恒正函數(shù)/(x)=x2/'(x),/(l)=g.若玉、/、工3<°，且

(!A(JA/1、

為+W+F=一廳1112.則/-?/-y-f的最大值為_______.

、%)I工2J\X37

<nln2

【答案】上

【分析】由柯西不等式得卜；+芯+后卜(1+1+1”(3+/+/)2=311122,構(gòu)造函數(shù)

ln/(x)=--+c,利用已知求出c,再由

X

6-(端+巖+與)?邛小2可得答案.

【詳解】因?yàn)?+/+W=「61”2,

所以(%;+x；+x；)x(l+l+l)2(X]+&+人3)2=3"2,

因?yàn)?lnf(x))'=4■,所以ln/(x)=」+0，

17\1,I

所以/(x)=J/‘，由/(1)=一得/(D=eT+c=eT,所以c=°，/*)=)"

所以/二?/刀■?/二=e-(x'+xl+xb<e''n22

故答案為:

【點(diǎn)睛】利用柯西不等式求最值的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，構(gòu)造符合柯西不等式的形式及

特點(diǎn)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方，然后求解最值，構(gòu)造符合柯西不等式

的形式時(shí)，可以有以下幾種方法：巧乘常數(shù)；添項(xiàng)；改變式子的結(jié)構(gòu)；重新安排各項(xiàng)的

次序等.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，4(-2,0),8(0,1),C為f+y=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AC|+忸C|

的取值范圍為.

【分析】當(dāng)AC,B共線或C,B重合時(shí)，最小值易得，然后求得P點(diǎn)坐標(biāo)得|AP|,\BP\,

設(shè)=在兩個(gè)相鄰三角形中應(yīng)用余弦定理表示出|AC『和忸C『，消去cosa,

并代入M，陽，得M+忸1=i+*12.1+2x22=U,然后用柯西不

32663

等式得|4C|+忸C|的最大值.

【詳解】如圖，易知當(dāng)。與8重合或者是線段A8與圓的交點(diǎn)尸時(shí)，

(|AC|+忸。|)而?=石,

直線A8方程是二+2=1，即x-2y+2=(),

-21

4

X=——

x—2y』+2—0’解叫x=05.即

由*/+yi或<3p

[y=l

；.|AP|=￥，怛"=竽

設(shè)ZBPC=a,貝ij忸C『=\PBf+\CPf-2\BP\\CP\cosa，

|AC|2=|PA|2+|CP|2-2|AP\\CP\cos(乃-a)=I^4|2+|CP|2+21AP|ICP\cosa,

?阿|阿IlliCP\CP[

??-J7~I：7-\PB\+\PA\+\_L1_I

BP\AP\1111|BP|+|AP|

，忸丹=竽，并化簡得:

代入"=w

|AC『忸C『

--------------1---------=---1-+*C「W1+』X22=U,|PC|為直徑時(shí)取等號.

32663

由柯西不等式

圖=幽時(shí)

3吟月-'回+虹(3+2)<y,當(dāng)且僅當(dāng)

32

732

等成立,

即（MC+忸。,4三，.?.aq+忸V195

.?.|AC|+忸C|的取值范圍是瓜

故答案為：＞/5,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是找到|4。,忸C|的關(guān)系式，設(shè)NBPC=a,則

|BC|2=\PBf+|CP|2-2\BP\\CP\cosa,

|AC|2=\PA^+|cp|2-2|AP||CP|COS(^-6Z),消去cosa,用仁科表示出

-——+--L,得出不等關(guān)系

-----+----W然后用柯西不等式得出結(jié)論.

32323

7

15.已知A48C滿足A8=LAC=2,COsA=—.若E為448C內(nèi)一點(diǎn)，滿足

25

AAE=2AB+AC-Ole/?),且EBEC=0,延長AE至8c交于點(diǎn)。，則知!

A

…土、6-722

【答案］上」_

15

【分析】根據(jù)所給條件,建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.

令A(yù)E=2A8,則,曰=2,由cosA=五,

714412

可得：FC2=4+4-2x2x2x—=——，所以尸。=一,

25255

建立如圖直角坐標(biāo)系，F(xiàn)(-1,0),C(1,0)

所以AO=^22—(§2=|,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5，

348

所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(―g,g)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(。,百)，

由/14E=2AB+4C，則點(diǎn)E在A。上，

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0/),

346184

有EB?EC=0可得EBEC=（_：,三一￡）?（三，_0=_六_不￡+『=0,

2+V22

解得f

5

所以網(wǎng)嚓岑

I?16

】_2,。|_5_16II16

所以阿二三叵

5

II16

\AD\_15_6-V22

~T~16~15~，

6-V22

故答案為：6-后

15

【點(diǎn)睛】本題考查了向量相關(guān)的計(jì)算以及解三形中的余弦定理，考查了轉(zhuǎn)化思想，有一

定的計(jì)算量，屬于較難題.解本類問題關(guān)鍵點(diǎn)有：

（1）建立直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)表示來解決向量問題是一個(gè)重要的方法；

（2）各個(gè)條件的整合，以結(jié)論為目標(biāo)，把幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.

11

16.已知數(shù)列｛。“｝和｛d｝滿足4=2,4=1,。“+%=bn+i,aII+i+b“+i=4a“.則%

“1008

【答案】2⑼4

【分析】求出仇=3,推導(dǎo)出數(shù)列｛2+1-2"｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，

求出％T-22=2"T,進(jìn)一步推導(dǎo)出數(shù)列|白,為等差數(shù)列，確定該等差數(shù)列的首項(xiàng)

和公差，可求得也,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出《頓和為⑵，由此可求得結(jié)果.

【詳解】an+bn=bn+x,an+l+bn+1=4an,且4=2,仇=1,則2=4+4=3,

由氏=2+1-2可得%=〃+2一4+】，代入4+1+加=4an可得%=地a-地,

.?.%2一%=2（&「紇,），且4一=1,

所以，數(shù)列也向一次｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則

%-2"=1X2"T=2"T,

bb

在等式“+「2%=2"T兩邊同時(shí)除以可得/一聲=1，

所以，數(shù)列［Jr］為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為3*=2偽=2,公差為1，

所以，莖=2+(〃—l)xl=〃+l,.?.2=(〃+1>2"2,

則

4008=偽009一偽008=1010X星007-1009X毅006=(2020-1009)X21006=1011X2,006,

2019

/>2021_2022x2

因此,^W=10Hx21006

故答案為：204.

【點(diǎn)睛】數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依

次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：

①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；

②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法

求通項(xiàng).

三、解答題

17.在ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

c+4/?sinBcosC=4asinB,且A為鈍角.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）若/,=太一0,c=延,求吧（3A—6）的值.

5cos3C

【答案】（1）8=2或生；（2）”鳳2.

121222

【分析】（1）利用正弦定理邊角互化結(jié)合sinA=sin（B+C）,化簡得出sin28=g,

結(jié)合角5為銳角可求得角8的值；

jr

（2）由題意可得出8=不，利用正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tanC的值,

12

進(jìn)而求出tan3c的值，再利用兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可計(jì)算出sin。4-'）

cos3C

的值.

【詳解】（1）c+4bsin3cosC=4?sin5,由正弦定理可得

sinC+4sin2BcosC=4sinAsinB，

所以,

sinC+4sin2BcosC=4sinAsin6=4sin(B+C)sinB=4sin?BcosC+4sin6cos6sinC

即sinC=4sinBcosBsinC=2sin2BsinC.

在A5C中，由于角A為鈍角，則8、C均為銳角，可得sinC>0,?,.sin28二」,

2

jr、冗TT

0<B<-，可得0v2B<〃，???23=夕或25=多，因此，3二=或二;

2661212

TT7T

(2)b=A-近,c=-,則8<c,：.B<C,則0<8<一，，八一

412

.r*.".7兀1兀兀71".式屈-6

sinB=sin—=sin----=sin—cos----cos—sm—

12(34J34344

875V6-V2

b—X—

由正弦定理可得，所以，sinC=?542后,

sinBsinC

bV6-V2~5~

C為銳角，則cosC=Jl—sin2B=@，.?.tanC=^C=2,

5cosC

--+2

2tanC4tan2C4-tanC32

則tan2Ctan3C=------------------=—

231-tan2CtanC1_4n

1-tanCJ1-x2

71

sin-----3Csinsin3C+—

sin(3A-B)12I3、*3cLI3

cos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3C

sin3C+—

oI—sin3C+cos3C]百_11611百+2.

3J_2--------=—tan3C+

cos3Ccos3C2211222

【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)

系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定

理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范

圍.

18.某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號，創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價(jià)值的無形資

產(chǎn)和重要城市品牌創(chuàng)城”期間，將有創(chuàng)城檢查人員到學(xué)校隨機(jī)找人進(jìn)行提問.問題包

含：中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價(jià)值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動(dòng)、文明校園創(chuàng)建“六

個(gè)好”、“五個(gè)禮讓”共5個(gè)問題，提問時(shí)將從中抽取2個(gè)問題進(jìn)行提問.某日，創(chuàng)城

檢查人員來到A校，隨機(jī)找了三名同學(xué)甲、乙、丙進(jìn)行提問，其中甲只背了5個(gè)問題中

的2個(gè)，乙背了其中的3個(gè)，丙背了其中的4個(gè).計(jì)一個(gè)問題答對加10分，答錯(cuò)不扣分,

最終三人得分相加，滿分6（）分，達(dá)到3（）分該學(xué)校為合格，達(dá)到5（）分時(shí)該學(xué)校為優(yōu)秀.

（1）求A校優(yōu)秀的概率（保留3位小數(shù)）；

（2）求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列，并求出A校得分的數(shù)學(xué)期望；

（3）請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.

【答案】（1）0.174；（2）分布列見解析，A校得分的數(shù)學(xué)期望為36；（3）答案見解

析.

【分析】（1）記A校答對的題目個(gè)數(shù)為X，記事件校優(yōu)秀，可得出

P（M）=P（X=5）+P（X=6）,利用組合計(jì)數(shù)原理以及古典概型的概率公式可求得

所求事件的概率；

（2）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為1、2、3、4、5、6,計(jì)算出隨機(jī)變量X

在不同取值下的概率，可計(jì)算得出七（X）,進(jìn)而可得出A校得分的數(shù)學(xué)期望為

10E（X）,即可得解;

（3）根據(jù)題中的問題可得出兩條合理的建議.

【詳解】（1）記A校答對的題目個(gè)數(shù)為X，記事件校優(yōu)秀，則

c；c；c；c：+c；c；c；c：++c；c；c：174

P（M）=P（X=5）+P（X=6）=0.174

TOGO

（2）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為1、2、3、4、5、6,

ClC}C\_12_6

P（X=I）（c；）3_1000_500，

+C；C；C：_11457

P（X=2）=

1000500r

C；C；C：+_328_164

尸（X=3）

1000500

C；C；C；C：+C；C；C；C：+C；C；C：+C；C；C：+C；C；C；C；C：372186

P（X=4）=

1000500

P（X=5）=C；C；GG+_156_78

（c""1000-500

P（X=6）=C。；!：=18_9

C）1000-500’

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X123456

657164186789

p

500500500500500500

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

A2L3x^4x^5x2iA18

E（X）=1x+2x++++6xT

500500500500500500

因此，A校得分的數(shù)學(xué)期望為10E（X）=10X《=36；

（3）建議：①強(qiáng)化公民道德教育，提高市民文明程度；②加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，營造優(yōu)

美人居環(huán)境.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量分布列的基本步驟：

（1）理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的全部可能取值；

（2）求出X在不同取值下的概率；

（3）寫出X的分布列；

（4）利用分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

還可以判斷隨機(jī)變量滿足常見的分布列：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布.

29

2

19.已知橢圓C.7+F=1（。＞人＞0）與拋物線r：y=2px（〃＞0）共焦點(diǎn),

以橢圓的上下頂點(diǎn)M、N和左右焦點(diǎn)尸卜尸2所圍成的四邊形MPiNB的面積為8,經(jīng)

過尸2的直線交拋物線于A、B,交橢圓于C、D,且滿足

(1)求出橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)O在第三象限，且點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，點(diǎn)C在點(diǎn)O上方，當(dāng)面積取得

最大值S時(shí)，求巴耳.56的值.