結(jié)構(gòu)力學(xué)-教學(xué)課件-第4章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

第4章

靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算第4章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)目的和要求4.1概述4.2變形體系的虛功原理4.3單位荷載法計(jì)算位移4.4荷載作用下的位移計(jì)算4.5圖乘法4.6靜定結(jié)構(gòu)在非荷載因素作用下的位移計(jì)算4.7線(xiàn)彈性體系的互等定理領(lǐng)會(huì)變形體系虛功方程。掌握實(shí)功與虛功、廣義力與廣義位移確定，掌握非荷載因

素作用下的位移計(jì)算；線(xiàn)彈性體系互等定理；熟練掌握荷載產(chǎn)生的位移計(jì)算、用圖乘法求位移。4.1概

述由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng)，桿件的橫截面會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的位移。引起位移的原因除荷載外，還有溫度變化、支座位移、材料收縮、制造誤差等因素。4.1.2計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的主要有以下三個(gè)方面：1.計(jì)算結(jié)構(gòu)變形、驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度。即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過(guò)允許的位移限制值。2.為計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，考慮變形協(xié)調(diào)條件必須計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。3.在施工過(guò)程中應(yīng)用。在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過(guò)程中，有時(shí)需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般方法是以虛功原理為基礎(chǔ)的。本章先介紹虛功原理，然后討論在荷載等外界因素的作用下靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算方法。4.1.3基本假定在計(jì)算結(jié)構(gòu)位移時(shí)，為了使計(jì)算簡(jiǎn)化，通常采用以下幾個(gè)假定：1）結(jié)構(gòu)的材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作，且符合胡克定律，即應(yīng)力與應(yīng)變成線(xiàn)性關(guān)系。2）結(jié)構(gòu)的位移是微小的，不影響變形后荷載的作用位置。符合上述假定的結(jié)構(gòu)體系稱(chēng)為線(xiàn)彈性變形體系。由于線(xiàn)彈性體系的位移與荷載成比例，因此在計(jì)算位移時(shí)可以應(yīng)用疊加原理。對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算，按照上述假定的結(jié)果精確度是滿(mǎn)足要求的。對(duì)于位移與荷載不成比例的體系稱(chēng)為非線(xiàn)性變形體系。線(xiàn)性變形體系和非線(xiàn)性變形體系統(tǒng)稱(chēng)為變形體系。這里只討論線(xiàn)性變形體系。4.2變形體系的虛功原理4.2.1功、實(shí)功與虛功一個(gè)不變的集中力的值與其作用點(diǎn)沿其作用線(xiàn)方向所發(fā)生的位移的乘積稱(chēng)為功。如圖4-3所示，大小和方向都不變的集中力F在其作用下產(chǎn)生的位移上所做的功W為：這樣的功通常稱(chēng)為常力功。位移是由做功的力本身所引起的，則所做的功稱(chēng)為實(shí)功。這樣的功常稱(chēng)為外力實(shí)功。而當(dāng)做功的力與相應(yīng)位移彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)時(shí)，也就是力在不是由它本身引起的位移上做功，則所做的功稱(chēng)為虛功，簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)因F作用而達(dá)到實(shí)曲線(xiàn)平衡位置后，如果由于各種原因（如其他荷載或溫度變化等）使梁繼續(xù)發(fā)生微小變形到虛線(xiàn)位置，力對(duì)相應(yīng)位移所做的功就是虛功，即虛功為:式中，C點(diǎn)的位移不是由力F所引起的。做功時(shí)力F大小和方向是保持不變的，這樣的功常稱(chēng)為外力虛功。從以上可以看出實(shí)功和虛功的主要區(qū)別有：（1）實(shí)功是指力在自身所引起的位移上所作的功；虛功是指力在其他原因引起的位移上所作的功。（2）做實(shí)功時(shí)，力與位移是逐漸增加的，系數(shù)為；做虛功時(shí)，力始終保持常量，系數(shù)為1。（3）實(shí)功恒為正；虛功可正可負(fù)。4.2.2廣義力與廣義位移在虛功中，力和位移是分別屬于同一體系的兩種彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài)，其中力系所屬的狀態(tài)稱(chēng)為力狀態(tài)或第一狀態(tài)，位移所屬狀態(tài)稱(chēng)為位移狀態(tài)或第二狀態(tài)。如果一組力經(jīng)歷相應(yīng)的位移做功，結(jié)果可表示為式（4-3）的形式。即一組力可以用一個(gè)符號(hào)F表示，相應(yīng)的位移也可用一個(gè)符號(hào)表示，這種力和位移分別稱(chēng)為廣義力和廣義位移，這里的廣義位移是與廣義力相對(duì)應(yīng)的。4.2.3虛功原理變形體系的虛功原理：體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形，體系上所有外力做的虛功總和恒等于體系各截面所有內(nèi)力在微段變形上作的虛功總和，即：式中，

——體系的外力虛功——體系的內(nèi)力虛功這里，幾何可能的位移和變形是指位移和變形是微小的，約束條件允許的位移，變形是協(xié)調(diào)的。虛功原理有兩種情況，一種是虛設(shè)位移求力，稱(chēng)為虛位移原理；一種是虛設(shè)力系求位移，稱(chēng)為虛力原理。本章主要應(yīng)用虛力原理來(lái)求靜定結(jié)構(gòu)的位移，采用的方法是單位荷載法。4.3單位荷載法計(jì)算位移外力虛功為：圖d微段的內(nèi)力在圖c微段變形上所作的內(nèi)力虛功為：結(jié)構(gòu)所有微段內(nèi)力虛功的和為根據(jù)虛功原理有

可得平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式該公式形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)幾何方程，該公式只適用于小變形的情況。這種利用虛功原理，沿所求位移方向虛設(shè)單位荷載（F=1）求結(jié)構(gòu)位移的方法，稱(chēng)為單位荷載法。應(yīng)用這種方法，每次可以計(jì)算一個(gè)位移。求位移時(shí)首先要虛設(shè)力狀態(tài)，在所求位移地點(diǎn)沿所求位移方向加一個(gè)單位荷載，單位荷載的方向自定，如果所求位移結(jié)果為正值，即表示實(shí)際位移方向與虛設(shè)的單位力方向相同，為負(fù)則相反。單位荷載法不僅可以用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的線(xiàn)位移，還可以計(jì)算任意的廣義位移，只要虛設(shè)的單位荷載與所計(jì)算的廣義位移相對(duì)應(yīng)即可。幾種與所求位移對(duì)應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)虛功原理求位移的計(jì)算步驟：⑴把在任何實(shí)際因素作用下的結(jié)構(gòu)作為第二狀態(tài)，即實(shí)際位移狀態(tài)。⑵根據(jù)問(wèn)題的要求，在結(jié)構(gòu)上欲求位移處沿欲求位移的方向，加一單位集中力，作為第一狀態(tài)，即虛設(shè)力狀態(tài)。⑶計(jì)算虛設(shè)力狀態(tài)的外力、內(nèi)力在實(shí)際狀態(tài)的位移和變形上所作的外力虛功和內(nèi)力虛功，帶入虛功方程，即得所求位移。4.4

荷載作用下的位移計(jì)算4.4.1荷載作用下位移計(jì)算的一般公式現(xiàn)在討論結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算方法。如果結(jié)構(gòu)只承受荷載作用，且不考慮支座位移等非荷載因素的影響，則公式（4-5）可轉(zhuǎn)化為由材料力學(xué)可知，

代入得到平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式（1）梁和剛架（2）桁架（3）組合結(jié)構(gòu)（4）拱4.4.2荷載作用下的位移計(jì)算示例例4-1試計(jì)算圖a所示懸臂梁A點(diǎn)的豎向位移，EI為常數(shù)。解：（1）在A(yíng)點(diǎn)加一豎向單位荷載作為虛設(shè)力狀態(tài)如圖4-9b所示。由于實(shí)際荷載作用分段，所以應(yīng)分段列內(nèi)力方程。AC段BC段（2）實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力方程為AC段BC段（3）計(jì)算位移。AC段在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零，所以只需計(jì)算BC段。設(shè)桿件截面為矩形k=1.2。（4）討論剪切變形和彎曲變形對(duì)位移的影響。設(shè)材料的泊松比為，則由材料力學(xué)知識(shí)得。設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為h，則有，代入上式得

可見(jiàn)，受彎桿件在計(jì)算位時(shí)，剪切變形的影響可以忽略不計(jì)。

例4-2試求圖4-10a所示曲桿（1/4圓弧，圓弧半徑R）頂點(diǎn)的豎向位移y。解：（1）虛設(shè)力狀態(tài)如圖4-10b所示，曲桿內(nèi)力方程為（2）曲桿在實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力方程為（3）由位移計(jì)算公式（4-7）得（4）討論常用的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G≈0.4E，設(shè)桿件截面為矩形k=1.2，I/A=h2/12。如果

則例4-3求圖4-11所示等截面梁B端的轉(zhuǎn)角。解：（1）虛設(shè)力狀態(tài)如圖4-11b所示，內(nèi)力方程為（2）實(shí)際荷載作用下必須分段進(jìn)行計(jì)算內(nèi)力，內(nèi)力方程為（3）由位移計(jì)算公式（4-7）得

（）4.5圖乘法計(jì)算受彎桿件組成結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，經(jīng)常遇到如下的積分式其條件是：⑴桿件軸線(xiàn)為直線(xiàn)；⑵EI為常數(shù)；⑶和MP圖中至少有一個(gè)為直線(xiàn)圖形。對(duì)于等截面直桿，上述的前兩個(gè)條件自然能被滿(mǎn)足。至于第三個(gè)條件，雖然在均布荷載作用下，其MP圖為曲線(xiàn)圖形，但圖卻總是由直線(xiàn)段組成的，只要分段考慮就可得到滿(mǎn)足。于是，對(duì)由等截面直桿所組成的結(jié)構(gòu)，在位移計(jì)算中，均可采用圖乘法來(lái)代替積分運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算工作。等截面直桿AB的兩個(gè)彎矩圖，其中

圖為直線(xiàn)圖形，圖為任意形狀。建立以桿軸線(xiàn)為x軸的坐標(biāo)系xoy，則積分式中ds可用dx代替，EI為常數(shù)可提到積分號(hào)外，

圖為直線(xiàn)圖形，有tanα為常數(shù)根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于MP圖的面積ω乘以其形心到y(tǒng)軸的距離xC即有由直線(xiàn)圖可知，xCtanα=yC，yC是MP圖的形心對(duì)應(yīng)于圖中的豎標(biāo)。故可得若結(jié)構(gòu)所有桿件都符合圖乘法的條件，則公式（4-8）可以寫(xiě)為圖乘法計(jì)算位移所使用的公式應(yīng)用圖乘法計(jì)算時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）應(yīng)用條件：桿件應(yīng)是等截面直桿，兩個(gè)彎矩圖中至少一個(gè)是直線(xiàn)圖形組成的，豎標(biāo)yC應(yīng)取自直線(xiàn)圖形中。（2）符號(hào)規(guī)定：面積ω與豎標(biāo)yC在桿件的同一側(cè)時(shí)，乘積ωyC取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心的位置：應(yīng)用圖乘法時(shí)，如遇到彎矩圖的形心位置或面積不便于確定的情況，我們可將該圖形分解為幾個(gè)易于確定形心位置或面積的部分，并將這些部分分別與另一圖形相乘，將所得結(jié)果相加，即得兩圖相乘之值。常見(jiàn)有以下幾種情況。（1）如圖兩個(gè)圖形都是直線(xiàn)圖形，則豎標(biāo)yC可取自其中任一圖形。（2）如果一個(gè)圖形是曲線(xiàn)。另一個(gè)圖形是由幾段直線(xiàn)組成的折線(xiàn)，則應(yīng)分段考慮。（3）如果兩個(gè)圖形都是梯形，可以把梯形分為兩個(gè)三角形（也可分為一個(gè)矩形和一個(gè)三角形）。分別應(yīng)用圖乘法。因此

（4-14）其中豎標(biāo)y1和y2可用下式計(jì)算

（4-15）圖4-19a所示為一直桿AB在均布荷載q作用下的比較復(fù)雜的MP圖。由疊加法可知，MP圖是由兩端彎矩MA、MB組成的直線(xiàn)圖（圖4-19b的M’圖）和簡(jiǎn)支梁在均布荷載q作用下的彎矩圖（圖4-19c的M圖）疊加而成。因此可將圖a中的MP圖分成圖b和c的兩個(gè)簡(jiǎn)單圖形M’圖和M圖，分別應(yīng)用圖乘法。例4-4試用圖乘法求圖a所示簡(jiǎn)支梁A端的角位移和截面C的豎向位移，EI為常數(shù)。解：分別作出實(shí)際位移狀態(tài)和兩個(gè)虛設(shè)力狀態(tài)的彎矩圖如圖b、c、d所示。將圖4-20b與圖4-20c相圖乘，則有將圖b與圖d相圖乘，則有（）例4-5試用圖乘法計(jì)算圖a所示懸臂梁B端的轉(zhuǎn)角和豎向位移，EI為常數(shù)。解：計(jì)算B端豎向位移虛設(shè)力狀態(tài)如圖c，計(jì)算B端轉(zhuǎn)角虛設(shè)力狀態(tài)如圖d。分別作出荷載作用下和兩個(gè)虛設(shè)力狀態(tài)的彎矩圖如圖b、c、d所示。將圖b與圖c相圖乘，則有將圖b與圖d相圖乘，則有例4-6試用圖乘法求圖a所示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的豎向位移，EI為常數(shù)。解：分別作出荷載作用下和虛設(shè)力狀態(tài)的彎矩圖如圖b、c。MP圖是分段圖形，所以圖乘時(shí)應(yīng)分三段計(jì)算。將圖4-22b與圖4-22c相圖乘，則有例4-7試用圖乘法求右圖所示剛結(jié)點(diǎn)B的水平位移，并分析軸向變形對(duì)位移的影響。設(shè)各桿件截面均為矩形，截面面積為A=b×h，慣性矩為I，彈性模量為E。解：（1）作實(shí)際位移狀態(tài)的MP圖如圖b。（2）虛設(shè)力狀態(tài)并作相應(yīng)的圖如圖c。（3）利用圖乘法計(jì)算位移。MP圖取面積，圖取豎標(biāo)。則（4）軸向變形對(duì)B點(diǎn)水平位移的影響與只考慮彎曲變形引起的位移相比，兩者的比值為將矩形截面的A=b×h和I=b×(h3/12）代入上式得如果，則。可見(jiàn)，軸向變形對(duì)位移的影響比彎曲變形對(duì)位移的影響小得多，可忽略不計(jì)。例4-8試用圖乘法求圖a所示剛架A、B兩點(diǎn)的相對(duì)水平線(xiàn)位移，EI為常數(shù)。解：分別作出荷載作用下彎矩圖和虛設(shè)力狀態(tài)的彎矩圖。AD、BC桿件可直接圖乘；CD桿件圖乘時(shí)要分成兩部分，圖乘后相加。疊加可得A、B兩點(diǎn)的相對(duì)水平線(xiàn)位移為計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，說(shuō)明A、B兩點(diǎn)實(shí)際的相對(duì)水平線(xiàn)位移與虛設(shè)的單位荷載的指向相反，即A、B兩點(diǎn)是相互靠近的。4.6靜定結(jié)構(gòu)在非荷載因素作用下的位移計(jì)算4.6.1靜定結(jié)構(gòu)支座位移時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力和變形，因而dφ、du、γds均為零，帶入靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式（4-5）中可得式(4-17)為靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí)的位移計(jì)算公式，式中是虛設(shè)力狀態(tài)時(shí)的支座反力，c為結(jié)構(gòu)實(shí)際的支座位移，為支座反力虛功，當(dāng)與c方向一致時(shí)其乘積取正，反之為負(fù)。此外，公式中帶有一個(gè)負(fù)號(hào)，計(jì)算時(shí)千萬(wàn)不要漏掉。例4-9如圖所示剛架支座B垂直下沉a，水平移動(dòng)b，試求由此引起的鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：虛設(shè)力狀態(tài)如右下圖所示。由整體平衡計(jì)算支座反力。取右半剛架為隔離體，得

4.6.2靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)度為ds的微段，截面高度為h，軸線(xiàn)到上下邊的距離分別為h1和h2。若桿件上側(cè)溫度變化為t1，下側(cè)溫度變化為t2，設(shè)t2>t1，溫度沿截面高度線(xiàn)性變化，則上下兩側(cè)的溫度差為，軸線(xiàn)上的溫度變化為當(dāng)桿件截面對(duì)稱(chēng)于形心軸時(shí)，即

，則有如果材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)為α，則中性軸的伸長(zhǎng)為αt0ds，上下兩側(cè)邊緣的伸長(zhǎng)分別為αt1ds和αt2ds，因此得到微段的中性軸伸長(zhǎng)為微段兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為溫度變化不引起剪切變形，因而

，將上述各物理量代入到靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式（4-6）得若桿件為等截面桿，則對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)，不需考慮彎矩項(xiàng)，計(jì)算位移時(shí)可用下式例4-10求圖a所示剛架C點(diǎn)的豎向位移。各桿件截面為矩形，截面高度為h，材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)為α，溫度變化如圖所示。解：（1）虛設(shè)力狀態(tài)如圖，分別作虛設(shè)力狀態(tài)時(shí)的軸力圖和彎矩圖（2）計(jì)算溫度變化量，外側(cè)溫度變化t1=0，內(nèi)側(cè)溫度變化t2=10，截面為矩形截面，則（3）計(jì)算位移。實(shí)際溫度變化使剛架內(nèi)側(cè)受拉，而虛設(shè)力狀態(tài)使剛架外側(cè)受拉，因此4.7

線(xiàn)彈性體系的互等定理互等定理應(yīng)用的條件是：（1）材料處于彈性階段，應(yīng)力與變形成正比。（2）結(jié)構(gòu)變形很小。4.7.1功的互等定理以M2、FN2、FQ2F2所產(chǎn)生的各項(xiàng)內(nèi)力，對(duì)應(yīng)的變形為設(shè)以M1、FN1、FQ1代表F1所產(chǎn)生的各項(xiàng)內(nèi)力，則對(duì)應(yīng)的變形為把第一狀態(tài)作為力的狀態(tài)，把第二狀態(tài)作為位移狀態(tài)，則第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的外力虛功為第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)的變形上所作的內(nèi)力虛功為

則由虛功原理有：把第二狀態(tài)作為力的狀態(tài)，把第一狀態(tài)作為位移狀態(tài)，則第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功為第二狀態(tài)的內(nèi)力在第一狀態(tài)的變形上所作的內(nèi)力力虛功為

則由虛功原理有：