圖象變換-概念課件

圖象變換－概念為了有效和快速地對圖像進行處理，常常需要將定義在原圖像空間上的圖像以某種形式轉換到另外的一些空間，并利用在這些空間的性質方便地進行一些加工，最后轉換到圖像空間中以得到所需的效果。這種轉換方法叫：圖像變換圖像空間-其他空間為正變換其他空間到圖像空間-為逆變換數(shù)字圖象處理圖象變換－概念圖象變換－一種重要的基本概念；是一種常用的、有效的分析工具。圖象變換的目的－簡化圖像處理問題的求解；利于取得圖圖像的特征；從概念上增強對圖像信息的理解。圖象變換－是一種二維正交變換，正交變換必須是可逆的（可逆性），正變換和反變換的算法不能太復雜（計算不復雜，有快速算法），簡化問題突出特征（有益于處理）；正交變換的特點是在變換域中，圖像的能量集中分布在低頻部分，邊緣和線信息反映在高頻成分上。變換的實例－對數(shù)變換（乘除變?yōu)榧訙p）；拉氏變換（微分方程的求解）；傅立葉變換（頻譜分析和濾波）。圖像變換的應用－圖像增強、恢復、特征提取、壓縮和形狀分析。常見變換－沃爾什－哈達瑪；哈爾變換；離散余弦變換；傅立葉變換；小波變換。數(shù)字圖象處理頻域世界與頻域變換任意波形可分解為正弦波的加權和數(shù)字圖象處理正弦波的振幅A和相位φ

數(shù)字圖象處理圖7-1（a）波形的頻域表示(a)幅頻特性；(b)相頻特性數(shù)字圖象處理時域和頻域之間的變換可用數(shù)學公式表示如下：為能同時表示信號的振幅和相位，通常采用復數(shù)表示法，因此可用復數(shù)表示為完成這種變換，一般采用的方法是線性正交變換。數(shù)字圖象處理圖象變換－通用描述通用公式（一維）－正變換，正變換核；反變換，反變換核；變換性質由變換核性質決定。通用公式（二維）－正變換，正變換核；反變換核；變換性質由變換核性質決定。變換特性－可分離的；加法對稱的。數(shù)字圖象處理圖象變換－通用計算方法可分離核－一個具有可分離核的變換計算分兩步，每步作一個一維變換，f(x,y)行變換，T(x,v)列變換?？煞蛛x的和對稱核－利用矩陣的優(yōu)點：得到的變換矩陣可分解成若干個具有較少非零元素的矩陣乘積，可以減少操作次數(shù)。數(shù)字圖象處理傅立葉變換連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換若把一個一維輸入信號作一維傅立葉變換，該信號就被變換到頻域上的一個信號，即得到了構成該輸入信號的頻譜，頻譜反映了該輸入信號由哪些頻率構成。這是一種分析與處理一維信號的重要手段。當一個一維信號f(x)滿足狄里赫萊條件，即f(x)

（1）具有有限個間斷點；（2）具有有限個極值點；（3）絕對可積。則其傅立葉變換對（傅立葉變換和逆變換）一定存在。在實際應用中，這些條件一般總是可以滿足的。一維傅立葉變換對的定義為正變換

反變換式中： ，x稱為時域變量，u稱為頻域變量。以上一維傅立葉變換可以很容易地推廣到二維，如果二維函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對為正變換反變換式中：x,y為時域變量；u,v為頻域變量。圖象變換－傅立葉變換一維傅立葉變換及反變換－F(u)是復函數(shù)－數(shù)字圖象處理圖象變換－通用描述二維傅立葉變換－正變換，反變換都是可分離的和對稱的。數(shù)字圖象處理

離散傅立葉變換要在數(shù)字圖像處理中應用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學中進行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號，而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據）；二是數(shù)學上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。設{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為(7-7)(7-8)式中：x，u=0，1，2，…,N－1。注：式（7-8）中的系數(shù)1/N也可以放在式（7-7）中，有時也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以 ，這是無關緊要的，只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于1/N即可。由歐拉公式可知并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，每一個u對應的傅立葉變換結果是所有輸入序列f(x)的加權和（每一個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個傅立葉變換結果的頻率。通常傅立葉變換為復數(shù)形式，即式中，R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部。式也可表示成指數(shù)形式：F(u)=|F(u)|ejφ(u)其中通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，φ(u)為f(x)的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜，它表示為考慮到兩個變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對定義為式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y為時域變量，u,v為頻域變量。像一維離散傅立葉變換一樣，系數(shù)1/MN可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數(shù) ，只要兩式系數(shù)的乘積等于1／MN即可。二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實部和虛部。圖象變換－傅立葉變換二維傅立葉變換及反變換－二維傅立葉變換離散表示－數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換二維傅立葉變換性質－1、可分離性2、線性3、比例性質-尺度定理4、空間位移—平移定理5、共軛對稱性6、積分7、變量函數(shù)之積8、平均值9、180度旋轉10、旋轉不變—旋轉定理11、能量12、空間域13、頻率域14、相關15、周期數(shù)字圖象處理

離散傅立葉變換的性質

二維離散傅立葉變換的性質數(shù)字圖象處理數(shù)字圖象處理

可分離性由可分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換。先對f(x,y)按行進行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按列進行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結果，如圖7-4所示。顯然對f(x,y)先按列進行離散傅立葉變換，再按行進行離散傅立葉變換也是可行的。

用兩次一維DFT計算二維DFT

平移性質平移性質表明，只要將f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再進行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點（0，0）移動到圖像中心（M／2,N／2）處。下是簡單方塊圖像平移的結果。圖7-5傅立葉頻譜平移示意圖(a)原圖像；（b）無平移的傅立葉頻譜；（c）平移后的傅立葉頻譜(a)(b)(c)

旋轉不變性由旋轉不變性可知，如果時域中離散函數(shù)旋轉θ0角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉不變性如圖7-6所示。

離散傅立葉變換的旋轉不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉45°后的圖像；（d）圖像旋轉后的傅立葉頻譜(a)(b)(d)(c)圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理圖象變換－傅立葉變換數(shù)字圖象處理快速離散傅立葉變換離散傅立葉變換計算量非常大，運算時間長。可以證明其運算次數(shù)正比于N2，特別是當N較大時，其運算時間將迅速增長，以至于無法容忍。為此，研究離散傅立葉變換的快速算法（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）是非常有必要的。下面介紹一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用該FFT算法，其運算次數(shù)正比于NlbN，當N很大時計算量可以大大減少。例如，F(xiàn)FT的運算次數(shù)和DFT的運算次數(shù)之比，當N=1024時，比值為1／102.4；當N=4096時，比值可達1／341.3。圖象變換－快速傅里葉變換－傅里葉變換計算量很大N的4次方復數(shù)乘法和N2(N2-1)次加法，相當8N4次方浮點運算?？焖俑道锶~變換

u的N個值中每次都需進行N次復數(shù)乘法和N-1次加法，即乘法和加法都正比于N的平方。但e項可計算一次然后存儲于一個表中備查，所以正確分解公式，可以把乘法和加法減少為NLog2N。這個分解過程為快速傅里葉變換（FFT）數(shù)字圖象處理由于二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。先將式傅里葉變換寫成(5-21)式中，W=e-j2π／N

，稱為旋轉因子。這樣，可將式(7-21)所示的一維離散傅立葉變換（DFT）用矩陣的形式表示為式中，由Wux構成的矩陣稱為W陣或系數(shù)矩陣。(5-22)觀察DFT的W陣，并結合W的定義表達式W=e-j2π／N，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)W是以N為周期的。這樣，W陣中很多系數(shù)就是相同的，不必進行多次重復計算，且由于W的對稱性，即因此可進一步減少計算工作量。例如，對于N=4，W陣為(5-23)由W的周期性得：W4＝W0，W6＝W2，W9＝W1；再由W的對稱性可得：W3＝－W1，W2＝－W0。于是式(7-23)可變?yōu)?5-24)可見N=4的W陣中只需計算W0和W1兩個系數(shù)即可。這說明W陣的系數(shù)有許多計算工作是重復的，如果把一個離散序列分解成若干短序列，并充分利用旋轉因子W的周期性和對稱性來計算離散傅立葉變換，便可以簡化運算過程，這就是FFT的基本思想。設N為2的正整數(shù)次冪，即如令M為正整數(shù)，且N=2M

(5-25)(5-26)將式（5-26）代入式（5-21），離散傅立葉變換可改寫成如下形式：由旋轉因子W的定義可知 ，因此式(7-27)變?yōu)楝F(xiàn)定義(5-27)(5-28)(5-29)(5-30)于是式(5-28)變?yōu)?5-31)進一步考慮W的對稱性和周期性可知 和 ，于是(5-32)由此，可將一個N點的離散傅立葉變換分解成兩個N／2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換Fe(u)和Fo(u)。在此，以計算N=8的DFT為例，此時n=3，M=4。由式(5-31)和式(5-32)可得(5-33)式（5-33）中，u取0～7時的F(u)、Fe(u)和Fo(u)的關系可用圖7-7描述。左方的兩個節(jié)點為輸入節(jié)點，代表輸入數(shù)值；右方兩個節(jié)點為輸出節(jié)點，表示輸入數(shù)值的疊加，運算由左向右進行。線旁的W18和－W18為加權系數(shù)，定義由F(1)、F(5)、Fe(1)和Fo(1)所構成的結構為蝶形運算單元,其表示的運算為(5-34)圖5-7蝶形運算單元由于Fe(u)和Fo(u)都是4點的DFT，因此，如果對它們再按照奇偶進行分組，則有（5-35a）（5-35b）圖5-84點DFT分解為2點DFT的蝶形流程圖圖5-98點DFT的蝶形流程圖圖5-108點DFT逐級分解框圖表5-2自然順序與碼位倒序（N=8）上述FFT是將f(x)序列按x的奇偶進行分組計算的，稱之為時間抽選FFT。如果將頻域序列的F(u)按u的奇偶進行分組計算，也可實現(xiàn)快速傅立葉計算，這稱為頻率抽選FFT。至此，讀者應該對傅立葉變換的理論基礎及其實現(xiàn)方式有所了解。對于計算機專業(yè)的學生而言，每個人都應該嘗試編寫快速傅立葉變換的程序。當然，有關傅立葉變換的算法還有很多，網上的FFT算法源代碼也非常多，但不建議大家拿來就用。當你得到類似的代碼后，一定要認真分析其實現(xiàn)過程和思路，只有這樣才能不斷地提高編程水平。

離散余弦變換（DCT）離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）的變換核為余弦函數(shù)。DCT除了具有一般的正交變換性質外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語音信號和圖像信號的相關特征。因此，在對語音信號、圖像信號的變換中，DCT變換被認為是一種準最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標準建議中，都把DCT作為其中的一個基本處理模塊。除此之外，DCT還是一種可分離的變換。

一維離散余弦變換一維DCT的變換核定義為式中，x,u=0,1,2,…,N－1；(5-47)(5-48)一維DCT定義如下：設{f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號列。(5-49)式中，u,x=0,1,2,…,N－1。將變換式展開整理后，可以寫成矩陣的形式，即F=Gf

（5-50）其中(5-51)一維DCT的逆變換IDCT定義為(5-52)式中，

x,u=0,1,2,…,N－1?？梢娨痪SDCT的逆變換核與正變換核是相同的。

二維離散余弦變換考慮到兩個變量，很容易將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為(5-53)式中，C(u)和C(v)的定義同式（7-48）；x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT定義如下：設f(x,y)為M×N的數(shù)字圖像矩陣，則(5-54)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT逆變換定義如下：(5-55)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；

y,v=0,1,2,…,N－1。類似一維矩陣形式的DCT，可以寫出二維DCT的矩陣形式如下：F=GfGT

(5-56)同時，由式(5-55)和式(5-54)可知二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即(5-57)式中：C(u)和C(v)的定義同式（7-48）；

x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。通常根據可分離性，二維DCT可用兩次一維DCT來完成，其算法流程與DFT類似，即(5-58)

快速離散余弦變換離散余弦變換的計算量相當大，在實用中非常不方便，也需要研究相應的快速算法。目前已有多種快速DCT（FCT），在此介紹一種由FFT的思路發(fā)展起來的FCT。首先，將f(x)延拓為x=0,1,2,…,N-1x=N，N+1,…,2N-1(5-59)按照一維DCT的定義，fe(x)的DCT為(5-60)式中，Re{·}表示取復數(shù)的實部。由于 為fe(x)的2N點DFT。因此，在作DCT時，可把長度為N的f(x)的長度延拓為2N點的序列fe(x)，然后對fe(x)作DFT，最后取DFT的實部便可得到DCT的結果。同理對于離散余弦逆變換IDCT，可首先將F(u)延拓為u=0,1,2,…,N-1u=N,N+1,…,2N-1

(5-62)由式(5-52)可得，DCT的IDCT為（5-63）由式（7-63）可見，IDCT可由 的2N點的IDFT來實現(xiàn)。最后要注意的是二維DCT的頻譜分布，其譜域分布與DFT相差一倍，如圖7-11所示。從圖中可以看出，對于DCT而言，(0,0)點對應于頻譜的低頻成分，(N-1,N-1)點對應于高頻成分，而同階的DFT中，(N／2,N／2)點對應于高頻成分（注：此頻譜圖中未作頻譜中心平移）。

由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它們實現(xiàn)快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不過，由于FFT及IFFT中要涉及到復數(shù)運算，因此這種FCT及IFCT算法并不是最佳的。圖5-11DFT和DCT的頻譜分布（a）DFT頻譜分布；（b）DCT頻譜分布圖象變換－離散余弦變換離散余弦變換－簡化傅立葉變換的重要方法，圖像壓縮與傳輸中用。虛數(shù)傅立葉變換項為零時，不需計算，只需計算余弦項，是傅立葉變換的特例。數(shù)字圖象處理圖象變換－頻域增強數(shù)字圖象處理圖象變換－頻域增強數(shù)字圖象處理圖像增強的目的主要包括：①消除噪聲，改善圖像的視覺效果；②突出邊緣，有利于識別和處理。前面是關于圖像空間域增強的知識，下面介紹頻率域增強的方法。假定原圖像為f(x，y)，經傅立葉變換為F(u，v)。頻率域增強就是選擇合適的濾波器H(u,v)對F(u,v)的頻譜成分進行處理，然后經逆傅立葉變換得到增強的圖像g(x,y)。

頻率域增強的一般過程如下：

DFTH(u，v)IDFTf(x，y)F(u，v)F(u，v)H(u，v)g(x，y)

濾波圖象變換－圖像的頻率域增強數(shù)字圖象處理

圖像的平滑除了在空間域中進行外，也可以在頻率域中進行。由于噪聲主要集中在高頻部分，為去除噪聲改善圖像質量，濾波器采用低通濾波器H(u,v)來抑制高頻成分，通過低頻成分，然后再進行逆傅立葉變換獲得濾波圖像，就可達到平滑圖像的目的。常用的頻率域低濾波器H(u,v)有四種：1．理想低通濾波器設傅立葉平面上理想低通濾波器離開原點的截止頻率為D0，則理想低通濾波器的傳遞函數(shù)為由于高頻成分包含有大量的邊緣信息，因此采用該濾波器在去噪聲的同時將會導致邊緣信息損失而使圖像邊模糊。

圖象變換－頻率域平滑數(shù)字圖象處理2．Butterworth低通濾波器

n階Butterworth濾波器的傳遞函數(shù)為：它的特性是連續(xù)性衰減，而不象理想濾波器那樣陡峭變化，即明顯的不連續(xù)性。因此采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減小，沒有振鈴效應產生。

圖象變換－Butterworth低通濾波器數(shù)字圖象處理3．指數(shù)低通濾波器指數(shù)低通濾波器是圖像處理中常用的另一種平滑濾波器。它的傳遞函數(shù)為：采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度較用Butterworth濾波產生的大些，無明顯的振鈴效應。圖象變換－指數(shù)低通濾波器數(shù)字圖象處理

4.梯形低通濾波器

梯形低通濾波器是理想低通濾波器和完全平滑濾波器的折中。它的傳遞函數(shù)為：它的性能介于理想低通濾波器和指數(shù)濾波器之間，濾波的圖像有一定的模糊和振鈴效應。圖象變換－梯形低通濾波器數(shù)字圖象處理a)出現(xiàn)虛假輪廓的圖b)理想低通濾波器平滑結果c)巴特沃斯濾波器平滑結果圖像的邊緣、細節(jié)主要位于高頻部分，而圖像的模糊是由于高頻成分比較弱產生的。頻率域銳化就是為了消除模糊，突出邊緣。因此采用高通濾波器讓高頻成分通過，使低頻成分削弱，再經逆傅立葉變換得到邊緣銳化的圖像。常用的高通濾波器有：

1）理想高通濾波器二維理想高通濾波器的傳遞函數(shù)為

圖象變換－頻率域銳化數(shù)字圖象處理2）巴特沃斯高通濾波器

n階巴特沃斯高通濾波器的傳遞函數(shù)定義如下

H(u，v)=1/[1+(D0/D(u，v))2n]3）指數(shù)濾波器指數(shù)高通濾波器的傳遞函數(shù)為圖象變換－巴特沃斯高通濾波器數(shù)字圖象處理4）梯形濾波器

梯形高通濾波器的定義為四種濾波函數(shù)的選用類似于低通。理想高通有明顯振鈴現(xiàn)象，即圖像的邊緣有抖動現(xiàn)象；Butterworth高通濾波效果較好，但計算復雜，其優(yōu)點是有少量低頻通過，H(u，v)是漸變的，振鈴現(xiàn)象不明顯；指數(shù)高通效果比Butterworth差些，振鈴現(xiàn)象不明顯；梯形高通會產生微振鈴效果，但計算簡單，較常用。一般來說，不管在圖像空間域還是頻率域，采用高頻濾波不但會使有用的信息增強，同時也使噪聲增強。因此不能隨意地使用。

圖象變換－巴特沃斯高通濾波器數(shù)字圖象處理a)原圖

b)巴特沃斯濾波器增強c)轉移函數(shù)加1個常數(shù)得到的結果圖象變換數(shù)字圖象處理

人眼的視覺特性：分辨的灰度級介于十幾到二十幾級之間；彩色分辨能力可達到灰度分辨能力的百倍以上。

彩色增強技術是利用人眼的視覺特性，將灰度圖像變成彩色圖像或改變彩色圖像已有彩色的分布，改善圖像的可分辨性。彩色增強方法可分為偽彩色增強和假彩色增強兩類。