非參數(shù)統(tǒng)計講義

非參數(shù)統(tǒng)計講義（總14頁）--本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可----內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小--第一章緒論本章主要內(nèi)容：1.非參數(shù)方法介紹預(yù)備知識第一節(jié)非參數(shù)方法介紹非參數(shù)方法的概念和實例復(fù)習(xí)參數(shù)方法定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式是已知的，而未知的僅僅是分布函數(shù)具體的參數(shù)值，用樣本對這些未知參數(shù)進行估計或進行某種形式的假設(shè)檢驗，這類推斷方法稱為參數(shù)方法。先來看兩個實例。例供應(yīng)商供應(yīng)的產(chǎn)品是否合格某工廠產(chǎn)品的零件由某個供應(yīng)商供應(yīng)。合格零件標(biāo)準(zhǔn)長度為（土）cm。這也就是說合格零件長度的中心位置為，允許誤差界為，即長度在-之間的零件是合格的。為評估近年來供應(yīng)的零件是否合格，隨機抽查了門二100個零件，它們的長度數(shù)據(jù)X見第一章附表。解答：根據(jù)我們已學(xué)過的參數(shù)統(tǒng)計的方法，如何根據(jù)數(shù)據(jù)來判斷這批零件合格否用參數(shù)數(shù)據(jù)分析方法，在參數(shù)統(tǒng)計中，運用得最多的是正態(tài)分布，所以考慮假設(shè)供應(yīng)商供應(yīng)的零件長度X服從正態(tài)分布，即X~N（呻2）其中兩個參數(shù)均未知，但可用樣本均值估計R，樣本方差估計。2。由已知的數(shù)據(jù)計算可得：零件的平均長度，即樣本均值為X二，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s二。則零件合格的可能性近似等于P(8.4<X<8.6)=中((8.6f)/。)-①((8.4-四)/。)2((8.6-8.9458)/0.1047)—中((8.4-8.4958)/0.1047)牝66%這個說明：約有三分之一的零件不合格，該工廠需要換另一個供銷商了。但這個結(jié)論與實際數(shù)據(jù)符不符合呢這是我們要思考的問題。我們可以對數(shù)據(jù)做一個描述性分析，先對這100個樣本數(shù)據(jù)做一個頻率分布。觀察到：在這100個零件中有91個零件的長度在~之間，所以零件合格的比例為91%,超過66%很多！統(tǒng)計分析的結(jié)論與數(shù)據(jù)不吻合的！這是什么原因呢我們可以作出數(shù)據(jù)的直方圖來分析數(shù)據(jù)的分布情況。由圖知，該數(shù)據(jù)的總體不是近似服從正態(tài)分布的！所以我們對于數(shù)據(jù)的總體分布的假設(shè)錯了！問題就出在假設(shè)總體是正態(tài)分布上！繼續(xù)看直方圖，能否很容易就觀察出來它大概是什么分布呢答案是不易看出，所以試圖先確定數(shù)據(jù)的分布函數(shù)，再利用參數(shù)的方法來分析是不太容易的。例哪一個企業(yè)職工的工資高這里有22名職工的工資情況，其中的12名職工來自企業(yè)1,另外的10名職工來自企業(yè)2。他們的工資(單位：千元)如附表。僅從數(shù)據(jù)來看，顯然企業(yè)1職工的工資較高。根據(jù)我們已學(xué)過的參數(shù)統(tǒng)計的方法，這個問題用什么方法來解決呢（提問）采用參數(shù)數(shù)據(jù)分析方法，假設(shè)企業(yè)1和企業(yè)2職工的工資分別服從正態(tài)分布Ng2）和N（b,o2），則該問題轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗問題：H0:a=b，%:a>b即兩樣本t檢驗。計算可得，檢驗統(tǒng)計量的值t二。若取a二，其臨界值為％5（20）=1.725，不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為二者沒有區(qū)別；若取a二，其臨界值為％（20）=1.325，仍不能拒絕原假設(shè)！計算p值得到的結(jié)論也一樣。這個統(tǒng)計分析的結(jié)論顯然與數(shù)據(jù)不吻合！之所以有問題，就是因為假設(shè)職工的工資服從正態(tài)分布的緣故。一般來說，工資、收入等的分布是不對稱的，并且有一部分人的工資比較高，所以分布的右邊有較長的尾巴。對于以上的這樣的問題，若想用參數(shù)數(shù)據(jù)的分析方法，就不能再假設(shè)總體服從正態(tài)分布，必須給它們賦一個較合理的分布函數(shù)，做到這點對于很多實際問題上是難度比較大的。除了這個辦法之外，我們還可以用另外的處理辦法，例如，非參數(shù)統(tǒng)計、參數(shù)和非參數(shù)方法相結(jié)合等等。這門課，我們主要討論非參數(shù)方法。非參數(shù)統(tǒng)計方法特點非參數(shù)統(tǒng)計方法通常稱為“分布自由”的方法，即非參數(shù)數(shù)據(jù)分析方法對產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體的分布不做假設(shè)，或者僅給出很一般的假設(shè)，例如連續(xù)型分布、對稱分布等一些簡單的假設(shè)，結(jié)果一般有較好的穩(wěn)定性。所以適用范圍非常寬泛。在經(jīng)典的統(tǒng)計框架下，正態(tài)分布一直是最引人注目的，但是對總體的分布不是隨便做出來的，如以上兩例，盲目地做出正態(tài)分布的假設(shè)有時候是起反作用的。當(dāng)數(shù)據(jù)的分布不是很明確，特別當(dāng)樣本含量不大，幾乎無法對分布作推斷的時候，此時使用參數(shù)方法就有一定的風(fēng)險，我們就可以考慮用非參數(shù)的方法。但要注意，非參數(shù)方法是與總體分布無關(guān)，而不是與所有分布無關(guān)！非參數(shù)統(tǒng)計可以處理所有類型的數(shù)據(jù)。我們知道，統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照數(shù)據(jù)類型可以分為兩大類：定性數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)。一般地，參數(shù)統(tǒng)計是處理定量數(shù)據(jù)，如果所收集到的數(shù)據(jù)不符合參數(shù)模型的假定，比如：數(shù)據(jù)只有順序，沒有大小，則很多參數(shù)模型無能為力，此時只能嘗試非參數(shù)方法。例如：研究急性白血病患兒血液中血小板數(shù)與出血癥狀之間的關(guān)系。血小板數(shù)可用數(shù)據(jù)衡量，但出血癥狀則只能分為：明顯、較明顯、有出血點和無這4類。類似于這樣的“等級資料”，參數(shù)方法沒轍，可用非參數(shù)方法中的Spearman等級相關(guān)方法來做。在不知道總體分布的情況下，如何利用數(shù)據(jù)所包含的信息呢一組數(shù)據(jù)最基本的信息就是次序。非參數(shù)統(tǒng)計就是利用這個最基本的信息。如果把數(shù)據(jù)點按從小到大的次序排隊，每一個具體數(shù)目都有它在整個數(shù)據(jù)中的位置，這稱為該數(shù)據(jù)的秩（rank）。非參數(shù)統(tǒng)計的一個基本思想:用數(shù)據(jù)的秩代替數(shù)據(jù)，構(gòu)造統(tǒng)計量進行統(tǒng)計推斷。數(shù)據(jù)有多少個觀察值，就有多少個秩。在一定的假設(shè)條件下，這些和由它們構(gòu)成的統(tǒng)計量的分布是求得出來的，而且和原來的總體分布無關(guān)。就可以進行所需要的統(tǒng)計推斷了。所以說，非參數(shù)統(tǒng)計只是和總體的分布無關(guān)，但和秩以及它們統(tǒng)計量的分布是密切相關(guān)的！另外，其它與總體分布無關(guān)的統(tǒng)計方法也屬于非參數(shù)統(tǒng)計。在考慮非參數(shù)統(tǒng)計量的分布時，我們較多考慮這些統(tǒng)計量的漸近分布，由于利用到一些大樣本方面的定理，得出來的漸近分布都服從正態(tài)分布或是由正態(tài)分布導(dǎo)出的分布，較容易計算和處理。非參數(shù)方法與參數(shù)方法通過剛才上面的解說，不要產(chǎn)生錯覺，認(rèn)為非參數(shù)方法總比參數(shù)方法有效！非參數(shù)方法不是總比參數(shù)方法有效！畢竟非參數(shù)方法利用到的數(shù)據(jù)信息非常有限。如果人們對總體有充分的了解且足以確定其分布類型，則非參數(shù)方法比參數(shù)方法效率低。例如在總體分布族已知的情況下，非參數(shù)統(tǒng)計一般不如參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果精確！另外，在總體分布是均勻分布時，正態(tài)的參數(shù)方法又比非參數(shù)方法好！這點可以通過計算漸近相對效率來說明。非參數(shù)統(tǒng)計的歷史相對參數(shù)統(tǒng)計而言，非參數(shù)統(tǒng)計起步較晚，但有后來者居上的趨勢。非參數(shù)統(tǒng)計的形成主要歸功于20世紀(jì)40年代~50年代化學(xué)家F.Wilcoxon等人的工作。Wilcoxon于1945年提出兩樣本秩和檢驗。1947年Mann和Whitney兩人將結(jié)果推廣到兩組樣本量不等的一般情況。之后，相繼涌現(xiàn)出大量論文。Savage1962年統(tǒng)計的非參數(shù)論文就有3000多項。Pitman于1948年回答了非參數(shù)統(tǒng)計方法相對于參數(shù)方法來說的相對效率方面的問題。1956年，J.L.Hodges和E.L.Lehmann則發(fā)現(xiàn)了一個令人驚訝的結(jié)果，與正態(tài)模型中t檢驗相比較，秩檢驗?zāi)芙?jīng)受住有效性的較小損失。而對于重尾分布所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，秩檢驗可能更為有效。第一本論述非參數(shù)應(yīng)用的書于1956年由出版，有人記載從1956年到1972年，該書被引用了1824次。這也說明非參數(shù)統(tǒng)計在這一時期的發(fā)展是相當(dāng)活躍的。60年代，J.L.Hodges和E.L.Lehmann從秩檢驗統(tǒng)計量出發(fā)，導(dǎo)出了若干估計量和置信區(qū)間。這些方法為后來非參數(shù)方法成功應(yīng)用于試驗設(shè)計數(shù)據(jù)開啟了一道大門。之后，非參數(shù)統(tǒng)計的應(yīng)用和研究獲得了巨大的成功。上世紀(jì)六十年代中后期，Cox和Ferguson最早將非參數(shù)方法應(yīng)用于生存分析。上世紀(jì)70年代到80年代，非參數(shù)統(tǒng)計借助計算機技術(shù)和大量計算獲得了更穩(wěn)健的估計和預(yù)測，以P.J.Huber和F.Hampel為代表的統(tǒng)計學(xué)家從計算技術(shù)的實現(xiàn)角度，為衡量估計量的穩(wěn)定性提出了新準(zhǔn)則。上世紀(jì)90年代有關(guān)非參數(shù)統(tǒng)計的應(yīng)用和研究主要集中在非參數(shù)回歸和非參數(shù)密度領(lǐng)域，其中較有代表性的人物是Silverman和.Fan。非參數(shù)統(tǒng)計主要內(nèi)容非參數(shù)統(tǒng)計可以分成兩個范疇，一個是比較經(jīng)典的基于秩的，以檢驗為主的非參數(shù)統(tǒng)計推斷，而另一部分是近二三十年來發(fā)展的非參數(shù)回歸、非參數(shù)密度估計、自助法以及小波方法等現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計方法。這兩者均不對總體分布做較為確定的假設(shè)，但除此之外，這兩部分內(nèi)容在方法和概念上均沒有多少共同點。我們首先介紹經(jīng)典地基于秩的，以檢驗為主的非參數(shù)統(tǒng)計推斷，這也是我們的主要內(nèi)容，然后介紹現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計的部分內(nèi)容。第二節(jié)預(yù)備知識一、秩統(tǒng)計量1.定義：設(shè)Z.Z是來自連續(xù)分布F(z)的簡單隨機樣本，Z⑴<…<Z(〃)為其次序統(tǒng)計量。定義隨機變量R=r，當(dāng)Z=Z(),i=1,2,???,n。當(dāng)是唯一確定時，稱樣本觀測值Z.有秩R,i=1,2,...,n。(由于F(z)連續(xù)，因而R不唯一確定的概率為0。)i即R.是第i個樣本單元Z在樣本次序統(tǒng)計量(Z),..?%)中的位置。例1：已知一組數(shù)據(jù)，請寫出它們相應(yīng)的秩。20,10,30。解:先將該組數(shù)據(jù)從小到大排列如下：10,20,30。所以10對應(yīng)的秩為1,20對應(yīng)的秩為2,30對應(yīng)的秩為3。200,100,300。解:先將該組數(shù)據(jù)從小到大排列如下：100,200,300。所以100對應(yīng)的秩為1,200對應(yīng)的秩為2，300對應(yīng)的秩為3。注意：這兩組數(shù)據(jù)顯然區(qū)別較大，但他們對應(yīng)的秩卻都是1,2,3。沒有差別II2.性質(zhì)。定理1記R=(R1,…,Rn),集合M={(尸，…,r)|(r，…,r)是(1,…,n)的一個排列}，1n1n則R在沉上均勻分布。證明：易知R僅在沉上取值。對任意一個r=(個…,r)6沉,P{R=r}=P{(R，…,R)=(r，…,r)}1 n1n=P{(Z，…,Z)=(Z ，…,Z )}1 n (r1) (rn)=P{((Z1L"=(Z(1)，…,Z(n))}=P{Zd1<???<Zdn}'其中q=k，當(dāng)「i時，即d,(i=1,...,n)是i在排列r中的位置。又由于(Z,Z，…,Z)d(Z,Z，…,Z),

1 2n=d1 d2dn所以P{R=r}=P{Z1<???<Zn}對任意re沮，上式均成立，所以對任意r，這個概率均相等。而全部這樣的事件互不相容且它們的和是必然事件，故對任意r6沮，有P{R=r}=1/n!。定理2R=(R「氣,…,Rn)的邊緣分布也是均勻分布，特別一維邊緣分布有P(R=r)=<^'當(dāng)’=1，2，~，"時,i0,其他。二維邊緣分布，當(dāng)i。j時，有P(R=r,R=s)=<n(n-P(R=r,R=s)=<n(n-1)

0,當(dāng),豐s,r,s=1,2,…，n時，

其他。證明：當(dāng)r。1,…,n時，P(R=r)=0。i當(dāng)r=1,…,n時，因為(Z,Z，…,Z)d(Z,Z，…,Z),

1 2 n= 2 1 n于是有RdR，類似可證明：RdR,i=2,...,n。1=2 1=i所以，P(R1=r)=P(R=r)=…=P(R=r)。又因為{R.=r}D{R=r}=4，i。j，(考慮n個樣本兩兩不相等)￡p(R=r)=1，ii=11所以P(R=r)=-。類似可證明二維邊緣分布和高維邊緣分布是均勻分布。in定理3對秩統(tǒng)計量R=(R1,R2,…,Rn)，有 n+1E(R)=—^，i=1,2,…,n，i2Var(R)=(n+W-1)，i=1,2,.,n，i 12n+1Cov(R,，R「=一刁須，i,j=1,2，…,n，證明：由上定理可知，對于i=1,2,.,n，sT1 1n(n+1)n+1E(R)=，r—= = inn2 2r=1Var(R)=E(R2)-(ER)2=(n+D(n-'iii 12 '因為0=r=1r=1于是有Cov(R,R)=E(R—ER)(R—ER)=—1—Efr—U1丫ijiijj n(n+1) k2n+1's-—八27由以上三個定理知：僅依賴R的統(tǒng)計量S（R）關(guān)于連續(xù)分布構(gòu)成的分布類是適應(yīng)任何分布的。二、次序統(tǒng)計量1.定義：設(shè)有樣本X=（X"..,Xn）。把X1,…,Xn按由小到大的次序排列為X⑴<X⑵<…<X（）, （1）則（X⑴,X⑵，…,X（n））稱為樣本X的次序統(tǒng)計量，orderstatistics。習(xí)慣上也常把序列（1）的一部分稱為次序統(tǒng)計量。特別，X（,.）常稱為第/個次序統(tǒng)計量。如果X1,…,X.是從分布F中抽取的獨立同分布樣本，則稱（1）是從F中抽出的（大小為〃的）次序樣本。次序統(tǒng)計量在統(tǒng)計問題中有著廣泛的應(yīng)用，其理論也有深入的發(fā)展，也有不少這方面的專著。在一定程度上講，次序統(tǒng)計量的研究已形成數(shù)理統(tǒng)計學(xué)和概率論的一個分支。但有點需要明確：次序統(tǒng)計量既可以用于典型的非參數(shù)統(tǒng)計問題，如找連續(xù)分布函數(shù)的分位數(shù)的置信區(qū)間；也可用于典型的參數(shù)統(tǒng)計問題，如用極差的適當(dāng)倍數(shù)去估計正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。所以從學(xué)科角度，不好把次序統(tǒng)計量的理論與方法說成是非參數(shù)統(tǒng)計的一部分，但很多著作上，卻往往把次序統(tǒng)計量納入其中。所以我們先介紹次序統(tǒng)計量的相關(guān)知識。2.基本分布在應(yīng)用上，最常見的情況是：X1,…,X.是從一個有分布F的總體中抽取的簡單隨機樣本（即獨立同分布樣本）。

<1>.單個次序統(tǒng)計量X官)的分布。以「記X(r)的分布函數(shù)，依定義有F(x)=P(X()<x)=P(X1,…,X中至少有,個小于工)=￡p(X1,…,X〃中恰好有?個小于x)=￡c,Fj(x)(1-F(x))n-jj=r j=rn! 1^ j(Qtr-1(1—t)n-rdt(2)中的最后一個等式是基于以下的(3)式:(r=1,…，n,0<p<1)8Cjpj(1—p)n—j= -— jPtr—(r=1,…，n,0<p<1)j=r 0的證明可依如下方法進行：當(dāng)p=0時，兩邊都是0。又兩邊都是關(guān)于p的可導(dǎo)函數(shù)，且可證其一階導(dǎo)數(shù)相同。注意(2)的積分是一個不完全6積分,其值可查不完全6函數(shù)表。若F有概率密度f，則F(x)也有概率密度f(x)，且frfr(x)=n!(r—1)!(n一r)!Fr-1(x)(1—F(x))n-rf(x)。特例：當(dāng)r=1和r=n，即極小值與極大值的分布：F(x)=1—(1—F(x))n,f(x)=n(1—F(x))n—1f(x)；F(x)=Fn(x),f(x)=nFn-1(x)f(x)。<2>.兩個次序統(tǒng)計量(X⑺,X(s))的聯(lián)合分布。在實用中，最重要的是密度存在的情況，所以只給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合密度函數(shù)的公式，推導(dǎo)可參見陳希孺和柴根象編寫的《非參數(shù)統(tǒng)計教程》P23。f(x,y)=(1)!(n?DR)!Fr-1(x)(F(y)—F(x))s-r—1(1一F(y))n—sf(x)f(y)，當(dāng)X<y時；否則，為0。特別地，全體次序統(tǒng)計量(X⑴,…,X(.))的聯(lián)合密度函數(shù)為/(y，…,y)=n'.f(y)—f(y)，當(dāng)y<...<y時；否則，為0。TOC\o"1-5"\h\z12…n1n 1 n 1 n3.總體分布F為(0,1)均勻分布的情況。當(dāng)總體分布為(0,1)均勻分布U(0,1)時，密度函數(shù)為f(x)=I(01)(x)。此時當(dāng)0<x<1時，有F(x)=X,f(X)= 1)^ )!尤一1(1-X)n-rI (X)r. . n'f(X，y)=(r-1)'(s-r-1)'(n-s)!?一">一小 一')"一"°<X<><1其他處為0。這個情況的重要性并不由于其形式簡單，而是在于下面的定理。定理4設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F在(-8,8)處處連續(xù)。記K=F(X)。則y有分布U(0,1)。證法一：由于分布函數(shù)只?。?,1］之間的值，有：當(dāng)y<0時，P(y<y)=0；當(dāng)y>1時，P(Y<y)=1；當(dāng)0<y<1,集合A={x:F(x)>y}有有限的下確界X。，且由F的連續(xù)性知，F(xiàn)(x0)=y。因而P(Y<y)=P(F(X)<F(x0))=P(X<x}=F邕)=y,0<y<1。最后，由分布函數(shù)的右連續(xù)性知，對于y=0,P(Y<0)=lim^P(Y<y)=lim^y=0。證法二：由于分布函數(shù)只?。?,1］之間的值，有：當(dāng)y<0時，P(Y<y)=0；當(dāng)y>1時，P(Y<y)=1；當(dāng)0<y<1，記x0=sup{x;F(x)<y}，則x0有限，并且由F的連續(xù)性知F(x0)=y。所以，P(Y<y)=P(F(X)<F(x0))=P(X<x0)=F(x0)=y，0<y<1。最后，由分布函數(shù)的右連續(xù)性知，對于y=0，P(Y<0)=lim^P(Y<y)=lim^y=0。注意：由此定理可知，若X(1)<…<X)是從連續(xù)分布F中抽出的次序樣本，而記U(,■=F(x(i)),i=1,2,...,n，則U(1)<…<U(心是從分布R(0,1)中抽出的次序樣本。注意R(0,1)是一個完全確定的分布，與總體分布F無關(guān)。正是這一點導(dǎo)致它在非參數(shù)統(tǒng)計中的應(yīng)用，在理論上說，它可以把某些針對一般分布的問題轉(zhuǎn)化為均勻分布之下的問題。對于均勻分布，還有以下的結(jié)論需引起注意：定理5.隨機變量0服從U(0,1)分布。設(shè)F(x)是任意一個分布函數(shù)，且在(-8,8)上處處連續(xù)，定義F-1(y)=inf{x:F(x)>y}，令&=F-1(0)，則&是服從分布函數(shù)為F(x)的隨機變量。證明：顯然F-1(y)也是一個單調(diào)不減的函數(shù)，并且F(F-1(y))=y。記&的分布函數(shù)為F&(x)，貝UF(x)=P(&<x)=P(F-1(0)<x)=P(0<F(x))=F(x)，所以F(x)=F(x)"旺~F(x)。g注意：以上定理說明，只要能產(chǎn)生服從U(0,1)分布的隨機變量，則對任意在(-8,8)上處處連續(xù)的分布函數(shù)F⑴，就能生成以F(x)為分布函數(shù)的隨機變量.以下定理可做了解：定理6.以X⑴<…<X(n)記U(0,1)中大小為n的次序樣本。又ZfZ為獨立同分布的，Z］有負指數(shù)分布，其密度為e-xI(x>0)，記Y=也-Z「/(n+1-i),=1r=1,2,…,n，則(-logX⑴,...,-log、)蟲《,???匕)。三、假設(shè)檢驗1.顯著性檢驗的基本思想為了對總體的分布類型或分布中的未知參數(shù)作出推斷，首先對它們提出一個假設(shè)H0，然后在H0為真的條件下，通過選取恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量來構(gòu)造一個小概率事件，若在一次試驗中，這個小概率事件居然發(fā)生了，就完全有理由拒絕H0，否則沒有充分的理由拒絕H0，從而接受H0。兩種假設(shè)的選取例2某批發(fā)商欲從廠家購進一批燈泡，根據(jù)合同規(guī)定，燈泡的使用壽命平均不能低于1000小時。已知燈泡使用壽命服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為20小時。在總體中隨機抽取了100個燈泡，得知樣本均值為996小時。批發(fā)商是否應(yīng)該購買這批燈泡3=0.05)即為單個正態(tài)總體均值的U檢驗。假設(shè)檢驗取為H0:心1000,H1:|i<1000計算可得檢驗統(tǒng)計量的值U=-2，查表可得a=0.05,n=100時，該檢驗的拒絕域為(-8,-1.645］。結(jié)論：在a=0.05時，拒絕H0，即我們有充分的理由認(rèn)為這批燈泡的壽命低于1000小時！進一步提出一個問題：若我們將原假設(shè)和備擇假設(shè)換一下，即H0：^<1000，H"|i>1000經(jīng)計算，檢驗統(tǒng)計量U=-2，查表可得a=0.05，n=100時，該檢驗的拒絕域為［1.645,+8)。結(jié)論：在a=0.05時，不能拒絕H0，即這批燈泡的壽命可能低于1000小時！從這個例子我們可以看出，就檢驗結(jié)果而言，拒絕原假設(shè)的理由是充分的，而接受原假設(shè)的理由是不充分的。所以一般把希望拒絕的，有把握拒絕的命題作為原假設(shè)！所以在零假設(shè)和備擇假設(shè)的選取上一定要把握好這個原則！兩類錯誤第一類錯誤：棄真，即：H0是真的，但被拒絕了。犯第一類錯誤的概率計算公式：a(0)=尸｛拒絕H0|H°為真｝第二類錯誤：存?zhèn)?，即：H0是假的，但被接受了。犯第二類錯誤的概率計算公式：P(0)=尸｛接受氣隊為假｝=尸｛接受氣”為真｝樣本容量確定之后，不可能同時讓犯兩類錯誤的概率減少［所以采用的方法是控制犯第一類錯誤的概率，讓犯第二類錯誤的概率盡可能地小。顯著性水平和功效顯著性水平a就是犯第一類錯誤的概率的最大值。即：sup以(9)<a，0e00換句話說：當(dāng)H0為真，拒絕零假設(shè)的最大概率是a，則接受零假設(shè)的最小概率是1-a。檢驗功效就是拒絕錯誤零假設(shè)的概率，即1-P(0)。注：不同于顯著性水平a，若H］是復(fù)雜假設(shè)時，功效不一定唯一！5.p值檢驗的p值就是根據(jù)已知的觀測，犯第一類錯誤的最小概率。若p<a，則拒絕H0；若p>a，則不拒絕H0。那么如何計算p值呢若令r表示檢驗統(tǒng)計量T的觀察值，則在單邊檢驗中，obs當(dāng)T的值越大越能拒絕H0，接受H1時，p值=P(T>t)；當(dāng)T的值越小越能拒絕H0，接受H1時，p值=P(T<t)。而在雙邊檢驗中，p值=2min{P(T>t),P(T<t)}。在本課程中很多地方要計算p值，非常重要。6.置信區(qū)間定義：設(shè)X=(X1,,X〃)為來自總體的樣本，若不論參數(shù)。在參數(shù)空間0中取什么值，"區(qū)間(g(X),g(X))包含6”這個事件的概率，總不小于指定的常1 2數(shù)1-a，即：P(g(X)<0<g(X))>1-a，-切6€0，6 1 2則稱(g1(X),g2(X))是0的置信水平1-a的置信區(qū)間。注意：(1)若1-a為置信水平，對于0<a<a1<1,則1-a1也是置信水平，稱一切置信水平中的最大者為置信系數(shù)。(2)-般而言，a一般取值很小，所以1-a是很接近1的。例如取a=0.05,置信區(qū)間的說明：以的概率保證被估計參數(shù)0包含在區(qū)間(g1(X),g2(X))中。7.置信區(qū)間與假設(shè)檢驗的雙邊檢驗關(guān)系考慮顯著性水平為a的雙邊檢驗H0:0=00,H:0必0得到它的拒絕域為：00<g1(X)或00>g2(X)即： ％0(00<g1(X)或00>g2(X))<a這等價于：P(g(X)<0<g(X))>1-a,TOC\o"1-5"\h\z00 1 0 2即，區(qū)間(g](X),g2(X))是00的置信系數(shù)為1-a的置信區(qū)間！反之，設(shè)(g1(X),g2(X))是參數(shù)0的一個置信系數(shù)為1-a的置信區(qū)間，則對于任意的0€0,有P(g(X)<0<g(X))>1-a, (5)0 1 2考慮顯著性水平為a的雙邊檢驗H0:0=00,H1:0必°由⑸得：％0（g1（X）<00<g2（X））>1-a即有： ％0（00^gi（X）或00>g2（X））<a按顯著性水平為a的假設(shè)檢驗的拒絕域的定義，TOC\o"1-5"\h\z該檢驗的拒絕域為：0<g（X）或0>g（X），接受域為g（X）<0<g（X）。0 1 0 2 1 0 2四、相對效率與漸近相對效率定義1：設(shè)t和匕分別表示兩種檢驗，用來檢驗相同的原假設(shè)和備擇假設(shè)，取相等顯著性水平a和相同功效P，T對T的相對效率定義為比值n/n，其中2 1 1 2n和n分別是檢驗T和T的樣本容量。12 12從定義1可以看出：相對效率越大，則檢驗T越有效|2定義2