信息論與編碼理論第二章

信息論與編碼理論第二章第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院信息量和熵2.1離散變量的非平均信息量2.2離散集的平均自信息量－熵2.3離散集的平均互信息量(mutualinformation)2.4連續(xù)隨機(jī)變量的互信息和熵2.5凸函數(shù)和互信息的凸性(convex)第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院2.1離散變量的非平均信息量第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院輸入，輸出空間定義輸入空間X={xk,k=1,2,…,K},概率記為Q(xk)輸出空間Y={yj,j=1,2,…,J},概率記為ω(yj)聯(lián)合空間XY={xkyj;k=1,2,…,K;j=1,2,…,J},概率為p(xkyj)

P(xkyj)=P(xk|yj)ω(yj)=

P(yj|xk)Q(xk)聯(lián)合概率后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率P(yj|xk)YX第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院非平均互信息量例2.1.1傳送消息碼字P(xk)看到0P(Xk|0)看到01P(Xk|01)看到011P(Xk|011)X1X2X3X4X5X6X7x80000010100111001011101111/81/81/81/81/81/81/81/81/41/41/41/40000001/21/2000000010000第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院每種可能性都是1/8第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院0X1到x4可能性都是1/4X5到x8可能性都是0看到0第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院01X3到x4可能性都是1/2其他可能性都是0第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院011x4可能性是1其他可能性都是0第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院非平均互信息量輸入消息碼字P(xk)收到0P(Xk|0)收到01P(Xk|01)收到011P(Xk|011)X1X2X3X4X5X6X7x80000010100111001011101111/81/41/81/41/161/161/161/161/61/31/61/30000001/32/3000000010000第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院非平均互信息量信息量與后驗(yàn)概率有關(guān)，與先驗(yàn)概率有關(guān)先驗(yàn)概率越大，得到的信息量越小，反之信息量越大中國足球隊(duì)3:0戰(zhàn)勝巴西足球隊(duì)巴西足球隊(duì)3:0戰(zhàn)勝中國足球隊(duì)第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院非平均互信息量例2.1.2輸入消息碼字p(xk)收到0P(Xk|0)收到01P(Xk|01)收到011P(Xk|011)X1X20001111/21/21-pp1/21/21-pp1-p1-p0011ppBSC第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院非平均互信息量第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院條件互信息和聯(lián)合事件互信息三個(gè)事件集的條件互信息定義為可以推廣到任意有限多個(gè)空間情況第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院互信息的可加性系統(tǒng)u1u2u3系統(tǒng)u1u2u3第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院離散變量的非平均自信息量第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院非平均自信息的性質(zhì)非負(fù)體現(xiàn)先驗(yàn)不確定性大小第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院條件自信息和聯(lián)合自信息第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院自信息、條件自信息和互信息I(xk)I(yj)I(xk;yj)第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院參考習(xí)題2.1，2.3，2.4，2.5，2.11第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院2.2離散集的平均自信息量－熵第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院熵-Entropy表示集X中事件出現(xiàn)的平均不確定性，說明一個(gè)事件集合的平均信息量例二元信源的熵例例2.1.1信源的熵例一個(gè)英文字母的熵4.03比特一個(gè)漢字的熵為9.65比特第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院條件熵和聯(lián)合熵

XY獨(dú)立時(shí)有H(X|Y)=H(X)第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院熵的性質(zhì)對稱性非負(fù)性確定性擴(kuò)展性可加性極值性是P上凸函數(shù)第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院熵的性質(zhì)－可加性第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院熵的極值性引理1:lnx≤x-1第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院熵的極值性引理2：H(X|Y)≤H(X)H(U1…UN)≤H(U1)+…+H(UN)第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院熵的凸性H(P)是P的上凸函數(shù)第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院2.3離散集的平均互信息量第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院平均互信息量非負(fù)性對稱性

第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院平均互信息量4.I(X;Y)≤H(X),I(X;Y)≤H(Y)H(X)H(Y)I(X;Y)H(Y|X)H(X|Y)第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院條件互信息第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院信息處理定理Z出現(xiàn)情況下，X和Y獨(dú)立,構(gòu)成一個(gè)馬氏鏈系統(tǒng)1系統(tǒng)2XYZ第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院信息處理定理第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院參考習(xí)題2.7，2.8，2.9，2.14，2.17，2.18第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院2.4連續(xù)隨機(jī)變量的互信息和微分熵第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院連續(xù)隨機(jī)變量的互信息信息處理定理第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院例:求高斯隨機(jī)變量的互信息第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院

第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院隨機(jī)變量的微分熵第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院均勻分布的微分熵第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院高斯分布的微分熵熵功率第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院微分熵的極大化1.峰值功率受限均勻分布微分熵最大2.平均功率受限高斯分布微分熵最大3.平均功率大于等于熵功率第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院微分熵的極大化峰值功率受限第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院微分熵的極大化平均功率受限第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院2.5凸函數(shù)與互信息的凸性第46頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院凸函數(shù)凸集R：a，b屬于R，qa+(1-q)b也屬于R，其中0≤q≤1概率矢量矢量a的所有分量和為1上凸函數(shù)第47頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院凸函數(shù)的性質(zhì)f(a)是上凸的，－f(a)是下凸的f1(a),…,fL(a)是R上的上凸函數(shù)，c1,…,cL是正數(shù)，c1f1(a)+…+cLfL(a)也是上凸函數(shù)f(a)是上凸函數(shù)，E[f(a)]≤f[E(a)],E為求數(shù)學(xué)期望第48頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院K-T條件f(a)是定義域R上的上凸函數(shù)，a是概率矢量。偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，f(a)在R上為極大的充分必要條件第49頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院互信息的凸性p(y|x)給定，I(X;Y)是q(x)的上凸函數(shù)Q(x)給定，I(X;Y)是p(y|x)的下凸函數(shù)第50頁，課件共52頁，