《數(shù)學(xué)分析(II)》課程教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)分析(II)》教學(xué)大綱【課程編號(hào)】BJ25102【課程類別】專業(yè)基礎(chǔ)課【學(xué)分?jǐn)?shù)】7【開(kāi)設(shè)學(xué)期】2【學(xué)時(shí)數(shù)】110【適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，信息與計(jì)算科學(xué)【先修課程】先修課程：數(shù)學(xué)分析(I)，高等代數(shù)，解析幾何一、課程性質(zhì)與任務(wù)性質(zhì)：本課程是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)研究能力有著重要的意義，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、概率論、實(shí)變函數(shù)與泛函分析等后繼課程的階梯。對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)本課程也為深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。

任務(wù)：本課程的任務(wù)是使學(xué)生獲得極限論、一元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)與多元函數(shù)微積分學(xué)等方面的系統(tǒng)知識(shí)。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生：1

對(duì)極限的思想和方法有較深刻的認(rèn)識(shí)，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。2

正確理解數(shù)學(xué)分析的基本概念，基本上掌握數(shù)學(xué)分析中的論證方法，獲得較熟練的演算技能和初步應(yīng)用能力。3對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，能應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的有關(guān)知識(shí)深入淺出地處理好中學(xué)教材。二、課程的基本要求1、正確理解以下概念和它們之間的聯(lián)系函數(shù)、極限、連續(xù)、一致連續(xù)、實(shí)數(shù)集的確界、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分、兩類曲面積分、兩類廣義積分的斂散性、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。2、正確理解以下基本定理和公式，并能正確應(yīng)用極限的主要定理、實(shí)數(shù)的基本定理、微分中值定理、泰勒定理、微積分基本定理、隱函數(shù)存在定理、一致連續(xù)與一致收斂性定理、格林公式、斯托克斯公式三、課程主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配第八章不定積分

[教學(xué)內(nèi)容]：原函數(shù)與不定積分概念，基本積分表，線性運(yùn)算法則，換元積分法，分部積分法，三角函數(shù)有理式的不定積分，幾種無(wú)理函數(shù)的不定積分如

等，幾種不能用初等函數(shù)表示的不定積分。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：13學(xué)時(shí)。第九章定積分

[教學(xué)內(nèi)容]：定積分的引入（曲邊梯形面積與變力作功），定積分定義及幾何意義，可積的必要條件，大和、小和及其性質(zhì)，可積的充要條件，可積函數(shù)類——在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)、在閉區(qū)間只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)有界函數(shù)，定積分性質(zhì)——線性運(yùn)算法則、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)，積分第一中值定理、積分第二中值定理，微積分學(xué)基本定理，牛頓——萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：17學(xué)時(shí)。第十章定積分的應(yīng)用

[教學(xué)內(nèi)容]：簡(jiǎn)單平面圖形面積，曲線的弧長(zhǎng)與弧微分，曲率*，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體體積與側(cè)面積，平均值，物理應(yīng)用（壓力、功、靜力矩與重心等）。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：13學(xué)時(shí)。第十一章反常積分

[教學(xué)內(nèi)容]：無(wú)窮限積分概念，柯西準(zhǔn)則，線性運(yùn)算法則,比較原則，柯西判別法，阿貝爾判別法與狄利克判別法，絕對(duì)收斂，無(wú)窮限積分收斂性判別法。瑕積分概念，瑕積分收斂性判別法。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：13學(xué)時(shí)。第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)[教學(xué)內(nèi)容]：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與和的定義，柯西準(zhǔn)則，收斂的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較原則，比式判別法，根式判別法，一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，萊伯尼茲判別法，阿貝爾判別法與狄利克萊判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的重排定理，條件收斂級(jí)數(shù)的黎曼定理*，級(jí)數(shù)乘法*。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：15學(xué)時(shí)。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)[教學(xué)內(nèi)容]：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)維爾斯特拉斯優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，阿貝爾判別法與狄利克萊判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)可積性與逐項(xiàng)可微性。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：13學(xué)時(shí)。第十四章冪級(jí)數(shù)

[教學(xué)內(nèi)容]：阿貝爾第一定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，一致收斂性，連續(xù)性，逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分，冪級(jí)數(shù)四則運(yùn)算，泰勒級(jí)數(shù)，泰勒展開(kāi)的條件，初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)，近似計(jì)算，用冪級(jí)數(shù)定義正弦與余弦函數(shù)*，復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉公式*。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：13學(xué)時(shí)。第十五章傅立葉級(jí)數(shù)

[教學(xué)內(nèi)容]：三角級(jí)數(shù)，三角函數(shù)系的正交性，傅立葉級(jí)數(shù)，貝塞爾不等式，黎曼—勒貝格定理，傅立葉級(jí)數(shù)的部分和公式，按段光滑以2π為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，按段光滑以2L為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，一致收斂性定理*，傅立葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分*，維爾斯特拉斯函數(shù)逼近定理*。[教學(xué)時(shí)數(shù)]：13學(xué)時(shí)。五、考核方式及成績(jī)構(gòu)成閉卷考試，平時(shí)占30%,考試占70%六、推薦教材與參考書目1授課教材:數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè))(第三版)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社,2001年。該教材是面向21世紀(jì)課程教材，普通高等教育“九五”國(guó)家教委重點(diǎn)教材，獲國(guó)家優(yōu)秀獎(jiǎng)。2指導(dǎo)書目：(1)數(shù)學(xué)分析教程，常庚哲、史濟(jì)懷，高等教育出版社，2003年。推薦理由：本書是“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，書中對(duì)當(dāng)代理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)中的分支作了純數(shù)學(xué)分析的介紹?？晒┹^為優(yōu)秀的學(xué)生閱讀，增加對(duì)數(shù)學(xué)分析的了解與興趣。(2)數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解(