函數(shù)的無窮級數(shù)原理

函數(shù)的無窮級數(shù)原理第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)

聚點(diǎn)若對任意給定的,點(diǎn)P

的去心機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱P是E的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E的導(dǎo)集.E的邊界點(diǎn))第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束。。

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作E;第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

整個平面點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.n維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k個坐標(biāo).記作即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月的距離記作中點(diǎn)a

的

鄰域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定為與零元O的距離為第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在D上的n元函數(shù),記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n元函數(shù)點(diǎn),則稱A為函數(shù)(也稱為n重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

設(shè)求證：證:故總有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束要證第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

設(shè)求證：證：故總有要證機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y軸則故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.例3目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.設(shè)n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱n元函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù).連續(xù),第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解:原式例5.求例6.求函數(shù)的連續(xù)域.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題2;4;5(3),(5)(畫圖);8P72題3;4機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月P12題8.間斷點(diǎn)集P72題3.定義域P72題4.令y=kx，若令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則可見極限不存在第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

作業(yè)P115(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)7，9,10第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月備用題1.設(shè)求解法1令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月1.設(shè)求解法2