單位圓與三角函數(shù)線

單位圓與三角函數(shù)線第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月◆教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能目標(biāo)1．有向線段的概念．2．用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值．(二)過程與方法目標(biāo)理解和掌握用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向來表示三角函數(shù)值．(三)情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出三角函數(shù)線，數(shù)形溝邊，發(fā)展思維．◆教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：怎樣用三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值？2．教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)線所表示的三角函數(shù)值的正負(fù)如何確定？第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）復(fù)習(xí)三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義◆教學(xué)過程設(shè)有一個角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標(biāo)系，在角α的終第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義，三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)。由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法

第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月我們首先建立下面的坐標(biāo)系：在觀覽車轉(zhuǎn)輪圓面所在的平面內(nèi)，以觀覽車轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為單位長建立直角坐標(biāo)系。設(shè)P點(diǎn)為轉(zhuǎn)輪邊緣上的一點(diǎn),它表示座椅的位置，記，則由正弦函數(shù)的定義可知，第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月1.單位圓的概念一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則單位圓與x軸的交點(diǎn)分別為A(1，0)，A’(－1，0).而與y軸的交點(diǎn)分別為B(0，1)，B’(0，－1).(二)單位圓、有向線段的概念第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月2.有向線段的概念：帶有方向的線段叫有向線段；有向線段的數(shù)值由其長度大小和方向來決定。如在數(shù)軸上，|OA|=3，|OB|=3=3=-3第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），過P作x軸的垂線，垂足為M；做PN垂直y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P在x軸、y軸上的正射影.(三)用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)三角函數(shù)的定義有點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα,sinα)其中cosα=OM，sinα=ON.這就是說，角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo).以A為原點(diǎn)建立y’軸與y軸同向，y’軸與α角的終邊(或其反向延長線)相交于點(diǎn)T(或T’)，則tanα=AT(或AT’)第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月我們把軸上的向量分別叫做α的余弦線、正弦線和正切線.第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月角α的終邊在四個象限的情況第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。(四)練習(xí)第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例2利用單位圓中的三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角x的集合：

在0～2π之間滿足條件的角x的終邊必須在圖中陰影部分內(nèi)（包括邊界），即Π/3≤x≤2Π/3，故滿足條件的角x的集合為﹛x▏2kk∈z﹜在0～2π之間滿足條件的角x的終邊應(yīng)在圖中陰影部

分（不包括邊界），即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故滿足條件的角x的集合為﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6,k∈z﹜第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.比較大?。?1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函數(shù)線得sin1<sin1.5cos1>cos1.5第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月tan2<tan3第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.利用三角函數(shù)線證明|sinα|+|cosα|≥1.證明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|,MP=ON=|sinα|，因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以|sinα|+|cosα|≥1。第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(五)小結(jié)1.給定任意一個角α，都能在單位圓中作出它的正弦線、余弦線、正切線。2.三角函數(shù)線的位置：正弦線為從原點(diǎn)到α的終邊與單位圓的交點(diǎn)在y軸上的射影的有向線段；余弦線為從原點(diǎn)到α的終邊與單位圓的交點(diǎn)在x軸上的射影的有向線段；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，為有向線段第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月3.特殊情況：①當(dāng)角的終邊在x軸上時，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，這時正弦線與正切線都變成了一點(diǎn)，數(shù)量為零，而余弦線OM=1或－1。②當(dāng)角的終邊在y軸上時，正弦線MP=1或－1余弦線變成了一點(diǎn)，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在。第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月◆作業(yè)利用單位圓中的三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角x的集合：第19頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解答