三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短 (整理)

三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短(整理)三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短一、知識(shí)點(diǎn)概述截長(zhǎng)補(bǔ)短是指在幾何題目中，當(dāng)出現(xiàn)線段和的情況時(shí)，可以考慮通過截取一段線段并加上一段等于原線段的線段，將原問題轉(zhuǎn)化為線段等量的問題。二、例題講解1.已知：如圖，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求證：AC=AB+BD．證明：可以通過截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法兩種方法證明。截長(zhǎng)法：在AC上截取AF=AB，連接DF。在△ABD和△AFD中，根據(jù)SAS準(zhǔn)則可以得到△ABD≌△AFD，進(jìn)而得到∠B=∠AFD，BD=FD。又因?yàn)椤螧=2∠C，所以∠AFD=2∠C。因?yàn)椤螦FD是△DFC的一個(gè)外角，所以∠AFD=∠C+∠FDC。因?yàn)椤?=∠2，所以∠FDC=∠C，進(jìn)而得到∠AFD=2∠C=∠B。因此，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠FDC+∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。在△ADE和△ADC中，因?yàn)椤螮=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），進(jìn)而得到AE=AC。因此，AC=AB+BD。補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AB到E，使BE=BD，連接DE。因?yàn)锽E=BD，所以∠E=∠BDE。因?yàn)椤螦BD是△BDE的一個(gè)外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。因?yàn)椤螦BD=2∠C，所以∠E=∠C。在△ADE和△ADC中，因?yàn)椤螮=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），進(jìn)而得到AE=AC。因此，AC=AB+BE=AB+BD。2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求證：CD=AD+BC．證明：在△ADE和△BCE中，因?yàn)椤螦=∠B=90°，所以AD=BC。因?yàn)镈E平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠BCE=∠CDE。因?yàn)椤螦ED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。因此，四邊形CDED是一個(gè)內(nèi)接四邊形。根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，可以得到∠CDE=180°-∠EDC-∠CED=180°-∠A/2-∠B/2=90°-∠C/2。因?yàn)椤螧CE=∠CDE，所以∠BCE=90°-∠C/2。在△ABC中，∠A=90°，所以∠C=180°-∠A-∠B=90°。因此，∠BCE=45°。在△BCE中，因?yàn)镃E平分∠BCD，所以∠CED=∠BCE/2=22.5°。在△ADE中，因?yàn)镈E平分∠ADC，所以∠EDC=∠AED/2=22.5°。因此，∠CDE=∠CED+∠EDC=45°。在△ACD中，因?yàn)椤螦=∠B=90°，所以AC=AD+CD。因?yàn)锳D=BC，所以CD=AC-AD=BC+AD=BC+CD。3.已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F(xiàn)分別為CD，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，連接EF．求證：EF=BF+DE．證明：在△ABD和△AEF中，因?yàn)锳D=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，∠EAF=45°，所以△ABD≌△AEF（AAS），進(jìn)而得到BD=EF。在△BFC和△AED中，因?yàn)锳D=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，所以△AED≌△BFC（AA），進(jìn)而得到DE=BF。因此，EF=BD+DE=BF+DE。4.已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分線AD，CE交于點(diǎn)O．求證：AC=AE+CD．證明：在△ABD和△AEC中，因?yàn)椤螦BD=∠AEC，∠BAC=∠BAC，AD=AE，所以△ABD≌△AEC（AAS），進(jìn)而得到BD=EC。在△BDC和△ABC中，因?yàn)椤螧DC=∠ABC/2=30°，所以∠CBD=∠BCD-∠BDC=60°-30°=30°。因此，∠BDC=∠CBD=30°。在△BDC和△AEC中，因?yàn)锽D=EC，∠BDC=∠CBD，所以△BDC≌△AEC（SAS），進(jìn)而得到CD=AE。因此，AC=AE+CD。5.已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：CE=BD/2。證明：在△ABC中，因?yàn)锳B=AC，∠A=90°，所以△ABC是一個(gè)等腰直角三角形。在△BDC中，因?yàn)镃E⊥BD，所以∠CEB=90°。在△BEC中，因?yàn)椤螧CE=∠BDC/2，∠CEB=90°，所以△BEC是一個(gè)直角三角形。因此，根據(jù)勾股定理，可以得到BE=BC/√2，CE=BC/√2。在△ABD中，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=45°。因此，△ABD是一個(gè)等腰直角三角形，AD=BD。在△BDE中，因?yàn)椤螧ED=90°，∠BDE=45°，所以△BDE是一個(gè)等腰直角三角形，BE=BD/√2，DE=BD/√2。因此，CE=BD/√2=BD/2。證明：1.根據(jù)題目條件，可得：∠FDC=∠CDF=FCBD=FCAC=AF+FC=AB+BD2.如圖，在CD上截取CF=CB，且CE平分∠CBD，可得：∠1=∠2CF=CBCE=CE根據(jù)SAS準(zhǔn)則，可得△CFE≌△CBE，因此∠CFE=∠B。又因?yàn)椤螧=90°，所以∠CFE=∠DFE=90°。同時(shí)，∠A=90°，所以∠DFE=∠A。又因?yàn)镈E平分∠ADC，所以∠3=∠4。根據(jù)AAS準(zhǔn)則，可得△DEF≌△DEA，因此DF=AD。最終，CD=DF+CF=AD+BC。3.如圖，延長(zhǎng)FB到G，使BG=DE，連接AG，可得：∠ABG=∠D=90°AB=ADBG=DE根據(jù)SAS準(zhǔn)則，可得△ABG≌△ADE，因此AG=AE，∠1=∠2。又因?yàn)椤螧AD=90°，∠EAF=45°，所以∠2+∠3=45°，∠1+∠3=45°，即∠GAF=45°。又因?yàn)椤螱AF=∠EAF，根據(jù)SAS準(zhǔn)則，可得△AGF≌△AEF，因此GF=EF。最終，GF=BF+BG=EF=BF+DE。4.如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，可得：∠1=∠2，∠3=∠4AE=AFAO=AO根據(jù)SAS準(zhǔn)則，可得△AEO≌△AFO，因此∠5=∠6。又因?yàn)椤螦BC=60°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠B=120°。因此，∠2+∠3=60°，∠AOC=180°-60°=120°，∠5=∠6=∠7=∠8=60°。根據(jù)ASA準(zhǔn)則，可得△OFC≌△ODC，因此CF=CD。最終，AC=AF+FC=AE+CD。5.如圖，延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可得：∠BEF=∠BEC=90°∠CAF=∠BAD=90°根據(jù)題目條件，CE⊥BD，因此∠3=∠4。又因?yàn)椤?+∠4=∠B=90°，所以∠1=∠5?！唷鰽BP≌△EBP（SAS）∴∠AEB=∠ABP=∠EBP∴∠AED=∠C∵∠A+∠C=180°∴∠AED=∠A+∠C=180°-∠B∴∠AEB=∠B∴△AEB是一個(gè)等腰三角形∴BD=DE∴CD=CE+ED=CE+BD=BA+BD（如果延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使CF=CD，連接DF也可進(jìn)行證明）4.證明：如圖，在△DAE中，∠DAF=∠EAF=45°，∠ADE=90°AFEBDC∵AF平分∠DAE∴∠FAB=∠EAF=45°∴△FAB是一個(gè)等腰直角三角形∴FB=AB在△DEF中，∠DFE=45°，∠DEF=90°∴△DEF是一個(gè)等腰直角三角形∴DF=EF∴AE=AD+DE=AD+BD+DF=AB+DF∴AE=BE+DF（如果連接CF，利用三角形全等證明也可）在△ABD中，因?yàn)锳B=BE，∠ABD=∠EBD，所以△ABD≌△EBD，從而AD=DE=AC-BD，再由△AEC和△DEC的相似性可得CE=AC×DE/AD=AC×(AC-BD)/BD，代入CF=CE+EF=CE+AF-AE=CE+AF-AD-BE=AC×(AC-BD)/BD+AF-AC+BD=AF+BD=AB+AF即可。2.在△ABD中，因?yàn)锳B=BE，∠ABD=∠EBD，所以△ABD≌△EBD，從而AD=DE=BD×sin∠B=BD×sin(∠B+∠D)=BD×sin∠C=AC×sin∠B，又因?yàn)椤螧AC=60°，所以AC=2AB，代入得AD=AB×√3，所以AC=AB+AD=AB+BD×√3，再由直角三角形ABE可得BD=AB/cos∠B，代入得AC=AB+AB×√3×cos∠B，又因?yàn)椤螦BC=80°，所以cos∠B=sin10°/sin80°，代入得AC=AB+BD。3.在△ABD中，因?yàn)椤螦BD=∠CBD，所以AD/BD=AC/BC，又因?yàn)椤螦=100°，所以∠BDC=80°，所以BD=CD=sin80°/sin20°×BC，代入得AD=AC×sin80°/sin20°-BC，又因?yàn)椤螦BC=40°，所以∠CBD=20°，所以BC=BD/sin20°×sin80°，代入得AD=AC×sin80°/sin20°-BD/sin20°×sin80°，又因?yàn)椤螩BD=20°，所以∠BCE=70°，所以∠BEC=60°，所以△AEC為等邊三角形，所以AC=CE=BC/sin70°，代入得AD=CE×sin80°-BD×sin80°/sin20°，又因?yàn)椤螦BD=∠EBD，所以△ABD≌△EBD，從而AD=DE=CE-BE=CE-AB，代入得AC=AD+CE=CE+BD×sin80°/sin20°=AB+BC/sin70°+BD×sin80°/sin20°，再由直角三角形BDC可得BC=BD×sin20°，代入得AC=AB+BD×(sin80°/sin20°+cos70°)，又因?yàn)閟in80°/sin20°=4sin20°cos20°/sin20°=4cos20°，cos70°=sin20°，代入得AC=AB+BD×(4cos20°+sin20°)。4.在△ABD中，因?yàn)椤螦BD=∠CBD，所以AD/BD=AC/BC，又因?yàn)椤鰾DC為等腰直角三角形，所以BD=CD=BC/√2，代入得AD=AC/√2-BC/2，又因?yàn)椤螧DC=90°，所以∠BCE=45°，所以△BCE為45°-45°-90°三角形，所以CE=BC，代入得AD=BC/√2-BC/2，又因?yàn)镃F=AF+AC，所以CF=BD×√2+AD+BC=BD×(√2+1)+AC/√2，代入得CF=AB+BD×(2+√2)。方法一：在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，再證明CE=DE。接著，我們可以使用延長(zhǎng)線法證明BE=CE。具體來說，我們可以延長(zhǎng)AB到E，使BE=BD，然后證明△ADE≌△ADC。證明略。方法二：我們可以在AE上截取AF=AD，證明△CDA≌△CFA，再證明BE=FE。證明略。在B