三角形全等之截長補短 (整理)

三角形全等之截長補短(整理)三角形全等之截長補短一、知識點概述截長補短是指在幾何題目中，當出現線段和的情況時，可以考慮通過截取一段線段并加上一段等于原線段的線段，將原問題轉化為線段等量的問題。二、例題講解1.已知：如圖，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求證：AC=AB+BD．證明：可以通過截長法和補短法兩種方法證明。截長法：在AC上截取AF=AB，連接DF。在△ABD和△AFD中，根據SAS準則可以得到△ABD≌△AFD，進而得到∠B=∠AFD，BD=FD。又因為∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。因為∠AFD是△DFC的一個外角，所以∠AFD=∠C+∠FDC。因為∠1=∠2，所以∠FDC=∠C，進而得到∠AFD=2∠C=∠B。因此，根據三角形內角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠FDC+∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。在△ADE和△ADC中，因為∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），進而得到AE=AC。因此，AC=AB+BD。補短法：延長AB到E，使BE=BD，連接DE。因為BE=BD，所以∠E=∠BDE。因為∠ABD是△BDE的一個外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。因為∠ABD=2∠C，所以∠E=∠C。在△ADE和△ADC中，因為∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），進而得到AE=AC。因此，AC=AB+BE=AB+BD。2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點E為AB邊上一點，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求證：CD=AD+BC．證明：在△ADE和△BCE中，因為∠A=∠B=90°，所以AD=BC。因為DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠BCE=∠CDE。因為∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。因此，四邊形CDED是一個內接四邊形。根據四邊形內角和定理，可以得到∠CDE=180°-∠EDC-∠CED=180°-∠A/2-∠B/2=90°-∠C/2。因為∠BCE=∠CDE，所以∠BCE=90°-∠C/2。在△ABC中，∠A=90°，所以∠C=180°-∠A-∠B=90°。因此，∠BCE=45°。在△BCE中，因為CE平分∠BCD，所以∠CED=∠BCE/2=22.5°。在△ADE中，因為DE平分∠ADC，所以∠EDC=∠AED/2=22.5°。因此，∠CDE=∠CED+∠EDC=45°。在△ACD中，因為∠A=∠B=90°，所以AC=AD+CD。因為AD=BC，所以CD=AC-AD=BC+AD=BC+CD。3.已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分別為CD，BC邊上的點，且∠EAF=45°，連接EF．求證：EF=BF+DE．證明：在△ABD和△AEF中，因為AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，∠EAF=45°，所以△ABD≌△AEF（AAS），進而得到BD=EF。在△BFC和△AED中，因為AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，所以△AED≌△BFC（AA），進而得到DE=BF。因此，EF=BD+DE=BF+DE。4.已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分線AD，CE交于點O．求證：AC=AE+CD．證明：在△ABD和△AEC中，因為∠ABD=∠AEC，∠BAC=∠BAC，AD=AE，所以△ABD≌△AEC（AAS），進而得到BD=EC。在△BDC和△ABC中，因為∠BDC=∠ABC/2=30°，所以∠CBD=∠BCD-∠BDC=60°-30°=30°。因此，∠BDC=∠CBD=30°。在△BDC和△AEC中，因為BD=EC，∠BDC=∠CBD，所以△BDC≌△AEC（SAS），進而得到CD=AE。因此，AC=AE+CD。5.已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長線于點E．求證：CE=BD/2。證明：在△ABC中，因為AB=AC，∠A=90°，所以△ABC是一個等腰直角三角形。在△BDC中，因為CE⊥BD，所以∠CEB=90°。在△BEC中，因為∠BCE=∠BDC/2，∠CEB=90°，所以△BEC是一個直角三角形。因此，根據勾股定理，可以得到BE=BC/√2，CE=BC/√2。在△ABD中，因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=45°。因此，△ABD是一個等腰直角三角形，AD=BD。在△BDE中，因為∠BED=90°，∠BDE=45°，所以△BDE是一個等腰直角三角形，BE=BD/√2，DE=BD/√2。因此，CE=BD/√2=BD/2。證明：1.根據題目條件，可得：∠FDC=∠CDF=FCBD=FCAC=AF+FC=AB+BD2.如圖，在CD上截取CF=CB，且CE平分∠CBD，可得：∠1=∠2CF=CBCE=CE根據SAS準則，可得△CFE≌△CBE，因此∠CFE=∠B。又因為∠B=90°，所以∠CFE=∠DFE=90°。同時，∠A=90°，所以∠DFE=∠A。又因為DE平分∠ADC，所以∠3=∠4。根據AAS準則，可得△DEF≌△DEA，因此DF=AD。最終，CD=DF+CF=AD+BC。3.如圖，延長FB到G，使BG=DE，連接AG，可得：∠ABG=∠D=90°AB=ADBG=DE根據SAS準則，可得△ABG≌△ADE，因此AG=AE，∠1=∠2。又因為∠BAD=90°，∠EAF=45°，所以∠2+∠3=45°，∠1+∠3=45°，即∠GAF=45°。又因為∠GAF=∠EAF，根據SAS準則，可得△AGF≌△AEF，因此GF=EF。最終，GF=BF+BG=EF=BF+DE。4.如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，可得：∠1=∠2，∠3=∠4AE=AFAO=AO根據SAS準則，可得△AEO≌△AFO，因此∠5=∠6。又因為∠ABC=60°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠B=120°。因此，∠2+∠3=60°，∠AOC=180°-60°=120°，∠5=∠6=∠7=∠8=60°。根據ASA準則，可得△OFC≌△ODC，因此CF=CD。最終，AC=AF+FC=AE+CD。5.如圖，延長CE，交BA的延長線于點F，可得：∠BEF=∠BEC=90°∠CAF=∠BAD=90°根據題目條件，CE⊥BD，因此∠3=∠4。又因為∠1+∠4=∠B=90°，所以∠1=∠5?！唷鰽BP≌△EBP（SAS）∴∠AEB=∠ABP=∠EBP∴∠AED=∠C∵∠A+∠C=180°∴∠AED=∠A+∠C=180°-∠B∴∠AEB=∠B∴△AEB是一個等腰三角形∴BD=DE∴CD=CE+ED=CE+BD=BA+BD（如果延長AB到點F，使CF=CD，連接DF也可進行證明）4.證明：如圖，在△DAE中，∠DAF=∠EAF=45°，∠ADE=90°AFEBDC∵AF平分∠DAE∴∠FAB=∠EAF=45°∴△FAB是一個等腰直角三角形∴FB=AB在△DEF中，∠DFE=45°，∠DEF=90°∴△DEF是一個等腰直角三角形∴DF=EF∴AE=AD+DE=AD+BD+DF=AB+DF∴AE=BE+DF（如果連接CF，利用三角形全等證明也可）在△ABD中，因為AB=BE，∠ABD=∠EBD，所以△ABD≌△EBD，從而AD=DE=AC-BD，再由△AEC和△DEC的相似性可得CE=AC×DE/AD=AC×(AC-BD)/BD，代入CF=CE+EF=CE+AF-AE=CE+AF-AD-BE=AC×(AC-BD)/BD+AF-AC+BD=AF+BD=AB+AF即可。2.在△ABD中，因為AB=BE，∠ABD=∠EBD，所以△ABD≌△EBD，從而AD=DE=BD×sin∠B=BD×sin(∠B+∠D)=BD×sin∠C=AC×sin∠B，又因為∠BAC=60°，所以AC=2AB，代入得AD=AB×√3，所以AC=AB+AD=AB+BD×√3，再由直角三角形ABE可得BD=AB/cos∠B，代入得AC=AB+AB×√3×cos∠B，又因為∠ABC=80°，所以cos∠B=sin10°/sin80°，代入得AC=AB+BD。3.在△ABD中，因為∠ABD=∠CBD，所以AD/BD=AC/BC，又因為∠A=100°，所以∠BDC=80°，所以BD=CD=sin80°/sin20°×BC，代入得AD=AC×sin80°/sin20°-BC，又因為∠ABC=40°，所以∠CBD=20°，所以BC=BD/sin20°×sin80°，代入得AD=AC×sin80°/sin20°-BD/sin20°×sin80°，又因為∠CBD=20°，所以∠BCE=70°，所以∠BEC=60°，所以△AEC為等邊三角形，所以AC=CE=BC/sin70°，代入得AD=CE×sin80°-BD×sin80°/sin20°，又因為∠ABD=∠EBD，所以△ABD≌△EBD，從而AD=DE=CE-BE=CE-AB，代入得AC=AD+CE=CE+BD×sin80°/sin20°=AB+BC/sin70°+BD×sin80°/sin20°，再由直角三角形BDC可得BC=BD×sin20°，代入得AC=AB+BD×(sin80°/sin20°+cos70°)，又因為sin80°/sin20°=4sin20°cos20°/sin20°=4cos20°，cos70°=sin20°，代入得AC=AB+BD×(4cos20°+sin20°)。4.在△ABD中，因為∠ABD=∠CBD，所以AD/BD=AC/BC，又因為△BDC為等腰直角三角形，所以BD=CD=BC/√2，代入得AD=AC/√2-BC/2，又因為∠BDC=90°，所以∠BCE=45°，所以△BCE為45°-45°-90°三角形，所以CE=BC，代入得AD=BC/√2-BC/2，又因為CF=AF+AC，所以CF=BD×√2+AD+BC=BD×(√2+1)+AC/√2，代入得CF=AB+BD×(2+√2)。方法一：在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，再證明CE=DE。接著，我們可以使用延長線法證明BE=CE。具體來說，我們可以延長AB到E，使BE=BD，然后證明△ADE≌△ADC。證明略。方法二：我們可以在AE上截取AF=AD，證明△CDA≌△CFA，再證明BE=FE。證明略。在B