《計算電磁學(xué)》第三講課件

第三講邊界條件及有限差分法應(yīng)用Dr.PingDU(杜平)E-mail:pdu@SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)7/31/2023第三講邊界條件及有限差分法應(yīng)用Dr.Ping邊界條件及其處理積分形式的麥克斯韋方程微分形式的麥克斯韋方程(3.1a)(3.1b)(3.1c)(3.1d)(3.2a)(3.2b)(3.2c)(3.2d)其中,

H為磁場強(qiáng)度;B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;D為電通量密度；為電荷密度;為電流密度7/31/20232邊界條件及其處理積分形式的麥克斯韋方程微分形式的麥克斯對線性、均勻、各向同性媒質(zhì)，有，。其中、分別為介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。1．不同介質(zhì)分界面上的處理方法在實際問題中，常遇到所分析的場域存在不同介質(zhì)。在不同介質(zhì)分界面上，電通量是連續(xù)的，有其中，為電位，-------------------------------------------------------------------------------------------------------------(3.3)在不同介質(zhì)分界面處，電位也是連續(xù)的。切向電場強(qiáng)度也是連續(xù)的7/31/20233對線性、均勻、各向同性媒質(zhì)，有，圖3-1直線形介質(zhì)分界面處的差分格式對式(3-3)進(jìn)行面積分，并利用二維Gauss定理，得式中，是垂直于區(qū)域S圍線l的外法線矢量。將S區(qū)域各邊上的用其所在邊中心點處的兩點差分表示，可得（3-4）式左邊的積分值。如，對a-a’邊，沿線的積分為(3.4)(3.5)7/31/20234圖3-1直線形介質(zhì)分界面處的差分格式對式(3-3)進(jìn)行面對其他三個邊類似處理，可得經(jīng)過整理，可得從式(3-7)可以看出，在分界面上的等效相對介電常數(shù)為，即取平均值。對于具有角點的介質(zhì)交界面情形(3.7)(3.6)7/31/20235對其他三個邊類似處理，可得經(jīng)過整理，可得從式(3-7)可以看圖3-2含角點的介質(zhì)分界面角點處的電位為(3.8)7/31/20236圖3-2含角點的介質(zhì)分界面角點處的電位為(3.82.邊界條件的處理三類邊界條件第一類邊界條件：當(dāng)網(wǎng)格節(jié)點位于邊界C上時，則取所在位置的值。若節(jié)點不位于邊界C上時，有三種處理辦法。(2)線性插值法(3.10)(3.9)(1)直接轉(zhuǎn)移法7/31/202372.邊界條件的處理三類邊界條件第一類邊界條件：當(dāng)網(wǎng)格圖3-3第一類邊界條件的差分網(wǎng)格(3.11)7/31/20238圖3-3第一類邊界條件的差分網(wǎng)格(3.11)7/30/(3)雙向插值法若，，代入Poisson方程，則有第二類邊界條件：(a)(b)圖3-4第二類邊界條件的差分網(wǎng)格(3.13)(3.12)7/31/20239(3)雙向插值法若，若網(wǎng)格點和邊界點重合，否則，可令，再利用不等距差分公式計算。當(dāng)為0時，為齊次邊界條件。第三類邊界條件：當(dāng)時，降為第二類邊界條件。

(3.15)(3.14)7/31/202310若網(wǎng)格點和邊界點重合，否則，可令，再利圖3-5第二類和第三類邊界條件的差分網(wǎng)格處理辦法：過點O向邊界作垂線PQ，與邊界交于Q點。令OP、PR、VP的長度分別為ah，bh和ch。對點O有，點P的值由點V和R的插值得到，(3.16)(3.17)7/31/202311圖3-5第二類和第三類邊界條件的差分網(wǎng)格處理辦法：過點O代入（3-16）,且由于有由式(3-15),有由式(3-19)和(3-20)，得點O的差分格式為(3.21)(3.18)(3.19)(3.20)7/31/202312代入（3-16）,且由于有由式(3-15),有由式(3-1有限差分法的應(yīng)用(ApplicationoftheFiniteDifferentialMethod)差分方程組的建立分析二維Poisson方程的第一類邊界問題為例。設(shè)場域D為正方形：假設(shè)x方向和y方向的步長相等。,。以這樣的網(wǎng)格離散該區(qū)域，如圖3-6所示。圖3-6正方形區(qū)域的差分網(wǎng)格7/31/202313有限差分法的應(yīng)用(Applicationofth五點差分格式為：提示：用一個例子加以說明；把寫成一維列向量。在確定了網(wǎng)格格式后，就要據(jù)此建立線性方程組。用矩陣符號可寫成，其中，[K]為系數(shù)矩陣，為未知量,[F]為已知量引入x方向的層向量(3.23)(3.22)7/31/202314五點差分格式為：提示：用一個例子加以說明；把寫成一般地，,先確定矩陣[K]。假設(shè)一共有3×3個內(nèi)節(jié)點(N=4)，并以此為例。圖3-7含3×3個內(nèi)節(jié)點的區(qū)域(3.24)7/31/202315一般地，,先確定矩陣[K]。假設(shè)一共有3×3個內(nèi)節(jié)點(N=4對節(jié)點(1,1)，其差分格式為圖3-7含3×3個內(nèi)節(jié)點的區(qū)域?qū)?jié)點(2,1)，其差分格式為對節(jié)點(3,1)，其差分格式為(3.27)(3.25)(3.26)7/31/202316對節(jié)點(1,1)，其差分格式為圖3-7含3×3個內(nèi)節(jié)點的對節(jié)點(1,2)，其差分格式為對節(jié)點(2,2)，其差分格式為對節(jié)點(3,2)，其差分格式為對節(jié)點(1,3)，其差分格式為對節(jié)點(2,3)，其差分格式為對節(jié)點(3,3)，其差分格式為(3.28)(3.31)(3.29)(3.30)(3.32)(3.33)7/31/202317對節(jié)點(1,2)，其差分格式為對節(jié)點(2,2)，其差分格式我們將所有的內(nèi)節(jié)點(,)寫成一列向量，其為系數(shù)矩陣[K]為(3.34)(3.35)7/31/202318我們將所有的內(nèi)節(jié)點(,F為差分方程具有如下特征：?系數(shù)矩陣[K]是大型稀疏矩陣；?矩陣[K]往往是對稱正定的，且其前主子式都大于零；但當(dāng)邊界和網(wǎng)格節(jié)點不重合時，[K]的對稱性將遭到破壞；（如果具有對稱性，則利用這一特性可減少約一半的存儲量）(3.36)7/31/202319F為差分方程具有如下特征：?系數(shù)矩陣[K]是大型稀疏矩陣?K通常不可約，因而方程組不能有其中的一部分單獨求解。差分方程組的求解：(1)直接法，如高斯消元法，LU分解。在MATLAB中，可以用phi=K\F求得。(2)迭代法，Jacobi法，Gauss-Seidel法，SSOR法.若用Jacobi法，第次的近似值可由第次的近似值得到，其公式為若用Gauss-Seidel法，第n+1次的迭代中，部分值是第n次迭代得到的；有些是剛更新的，其公式為(3.37)(3.38)7/31/202320?K通常不可約，因而方程組不能有其中的一部分單獨求解。觀察這兩個公式可以看出，前者需要存儲第n、n+1這兩次迭代的近似值；后者只需要存儲第n+1次的近似值。另外，由《數(shù)值分析》知道，Jacobi法的收斂速度慢于Gauss-Seidel法。為了進(jìn)一步加快迭代速度，我們引入加速因子。由公式(b)構(gòu)造，可構(gòu)造新的迭代公式,這就是所謂的超松弛迭代法(SSOR).(3.39)7/31/202321觀察這兩個公式可以看出，前者需要存儲第n、n+1這兩次迭代的加速因子滿足：。當(dāng)時，公式(3.39)變?yōu)?3.38)。當(dāng)時，迭代公式會發(fā)散。的值對收斂速度有很大影響。對正方形場域的第一類邊值問題，最佳的為其中，l為每邊的節(jié)點數(shù)。對于用矩形網(wǎng)格分割的矩形區(qū)域，假設(shè)每邊的節(jié)點數(shù)分別為l+1，m+1，則(3.40)(3.41)7/31/202322加速因子滿足：。當(dāng)兩個算例(Twonumericalexamples)：算例一：二維區(qū)域中的電位分布(Thepotentialdistributionina2-Ddomain);算例二：矩形波導(dǎo)的截止波長(Thecutoffwavelengthoftherectangularwaveguides).首先分析第一個例子。例1一無限長接地金屬槽，其側(cè)壁及底面電位均為0，頂?shù)碾娢粸?00，如圖3-8所示。計算槽內(nèi)的電位分布。圖3-8無限長接地金屬槽7/31/202323兩個算例(Twonumericalexamples)Analyticalsolution:(1)(矩形區(qū)域，x、y方向長度分別為a，b；上邊界的電位為，其他三個邊界電位均為0)；(2)(矩形區(qū)域，x、y方向長度分別為a，b；右邊界的電位為，其他三個邊界電位均為0)；步驟：(1)離散場域。我們采用正方形網(wǎng)格離散該區(qū)域，每邊的節(jié)點為l+1=5。(3.42)(3.43)7/31/202324Analyticalsolution:(1)(矩形區(qū)域，圖3-9無限長接地金屬槽的差分網(wǎng)格(2)推出采用SSOR法的差分方程形式。在區(qū)域內(nèi)，由于無自由電荷，則f=0。加速因子.(3)給出邊界條件。該問題中，是第一類邊界條件，則直接賦值即可。(4)選初值。令除邊界節(jié)點外的其他節(jié)點電位為0。7/31/202325圖3-9無限長接地金屬槽的差分網(wǎng)格(2)推出采用SSO(5)給定迭代收斂的條件。如可令每個節(jié)點第n和n+1次近似值的誤差絕對值小于。(6)程序流程圖。(7)編寫程序。(8)計算結(jié)果。(Tobecont’d)7/31/202326(5)給定迭代收斂的條件。如可令每個節(jié)點第n和n+1次近似值圖3-10程序流程圖(continued)7/31/202327圖3-10程序流程圖(continued)7/30/2例2用有限差分法求解矩形金屬波導(dǎo)的截止波長和場分布。我們假設(shè)：

?波導(dǎo)壁為完純導(dǎo)體(PEC);?波導(dǎo)內(nèi)的介質(zhì)線性、均勻、各向同性；?波導(dǎo)內(nèi)無自由電荷和傳導(dǎo)電流。?波導(dǎo)工作在匹配狀態(tài)，具有均勻的截面。波導(dǎo)內(nèi)部不存在反射波。由《電磁學(xué)》(《電磁場與電磁波》，《電動力學(xué)》或《工程電磁學(xué)》等)知道，矩形波導(dǎo)內(nèi)傳播的波可分為TE波和TM波。對于這兩類波，可以歸結(jié)為求解相應(yīng)的縱向分量或所描述的問題。以來標(biāo)記縱向分量，波導(dǎo)場的分析是定義在波導(dǎo)橫截面平面內(nèi)的二維標(biāo)量波動方程的定解問題，即(在波導(dǎo)內(nèi)部)邊界條件：(1)對TE波(),;(2)對TM波(),.(3.45)(3.44)7/31/202328例2用有限差分法求解矩形金屬波導(dǎo)的截止波長和場分布。我們分析TE波模式下的截止波長。假設(shè)在x和y方向的步長相等，其差分格式為當(dāng)節(jié)點位于邊界上時，在邊界外側(cè)設(shè)置一排虛設(shè)的網(wǎng)格節(jié)點。其邊界條件是。則差分格式分四種情況(參考圖3-11)：(1)位于左邊界時，差分格式為(2)位于右邊界時，差分格式為(3)位于上邊界時，差分格式為(3.46)(3.47)(3.48)(3.49)7/31/202329分析TE波模式下的截止波長。假設(shè)在x和y方向的步長相等，其差圖3-11矩形金屬波導(dǎo)的差分網(wǎng)格7/31/202330圖3-11矩形金屬波導(dǎo)的差分網(wǎng)格7/30/202330?位于下邊界時，差分格式為拐角：左下拐角：右下拐角：左上拐角：右上拐角：(3.50)(3.51)(3.52)(3.53)(3.54)7/31/202331?位于下邊界時，差分格式為拐角：左下拐角：右下拐角：將以上個差分格式應(yīng)用于網(wǎng)格節(jié)點，可得到網(wǎng)格節(jié)點上的未知量的n個差分方程。這樣，就構(gòu)成了矩陣方程觀察該矩陣方程，可知求解截止波長變?yōu)榍蠼饩仃嘯K]的特征值。截止波長公式為(3.56)(3.55)*矩形波導(dǎo)截止波長的解析解矩形波導(dǎo)中可能存在TE波和TM波。截止波長為(3.57)(;)7/31/202332將以上個差分格式應(yīng)用于網(wǎng)格節(jié)點，可得到網(wǎng)格節(jié)點上補充：如何求矩陣的特征值。對于方陣A來說，其特征值就是滿足的所有λ的值。其中,v為相應(yīng)的本征向量。求取矩陣的特征值可以用直接法和迭代法。其中迭代法有Lanczos法、Davidson法等。這些方法可以在《數(shù)值分析》或《計算方法》等書中找到，在此不再討論?？茖W(xué)計算軟件MATLAB里面提供了求取矩陣本征值(特征值)和本征向量(特征向量)的內(nèi)置函數(shù)eig。例子求矩陣A的特征值和特征向量。其中A為用MATLAB可以得到，其命令為：>>A=[375;483;509];>>eig(A)%求取矩陣A的特征值7/31/202333補充：如何求矩陣的特征值。對于方陣A來說，其特征值就是滿足輸出結(jié)果為ans=15.0000-1.27496.2749

求取矩陣A的特征值和特征向量。>>[v,d]=eig(a)%求取矩陣A的特征值(d)和特征向量(v)；v=-0.5774-0.8802-0.2653-0.57740.2489-0.6395-0.57740.40410.7215d=15.00000