排列組合綜合應用問題課件-參考

排列組合綜合應用題排列組合綜合應用題

引入：前面我們已經(jīng)學習和掌握了排列組合問題的求解方法，下面我們要在復習、鞏固已掌握的方法的基礎上，學習和討論排列、組合的綜合問題。和應用問題。

問題：解決排列組合問題一般有哪些方法？應注意什么問題？

解排列組合問題時，當問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用分類法；當問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用特殊位置法、特殊元素法；上述兩種稱“直接法”,當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除法,采用“間接法”；另外，排列中“相鄰”問題可采用捆綁法；“分離”問題可用插空法、定序問題倍縮法等。解排列組合問題，一定要做到“不重”、“不漏”。引入：前面我們已經(jīng)學習和掌握了排列組合問題問①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；③分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；④分為甲、乙、丙三組，每組4人；⑤分為三組，每組4人。例1：有12人。按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33一、分配問題①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三

小結(jié)：練習1說明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配問題。

1.非平均分配問題中，沒有給出組名與給出組名是一樣的，可以直接分步求；給出了組名而沒指明哪組是幾個，可以在沒有給出組名（或給出組名但不指明各組多少個）種數(shù)的基礎上乘以組數(shù)的全排列數(shù)。

2.平均分配問題中，給出組名的分步求；若沒給出組名的，一定要在給出組名的基礎上除以組數(shù)的全排列數(shù)。

3.部分平均分配問題中，先考慮不平均分配，剩下的就是平均分配。這樣分配問題就解決了。結(jié)論：給出組名(非平均中未指明各組個數(shù)）的要在未給出組名的種數(shù)的基礎上，乘以組數(shù)的階乘。小結(jié)：練習1說明了非平均分配、平均分配以及部分平均分

例2：某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進行混合雙打訓練，兩邊都必須要1男1女，共有多少種不同的搭配方法。

分析：每一種搭配都需要2男2女，所以先要選出2男2女，有C82.C72種；

然后考慮2男2女搭配。

先排男隊員、再排女隊員，所以總的搭配方法有

種。二、搭

配問題先組后排例2：某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進行混合雙例3.

高一要從全年級10名獨唱選手中選出6名在歌詠會上表演，出場安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的安排方法有多少種？三.有條件限制的排列問題例3.高一要從全年級10名獨唱選手中選出6名在歌詠會上表

例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子集的個數(shù)。四、有條件限制的組合問題：

解法1：5個元素中至少有兩個是偶數(shù)可分成三類：①2個偶數(shù)，3個奇數(shù)；②3個偶數(shù)，2個奇數(shù)；③4個偶數(shù)，1個奇數(shù)。所以共有子集個數(shù)為

C42.C53+C43.C52+C44.C51=105

解法2：從反面考慮，全部子集個數(shù)為C95，而不符合條件的有兩類：①5個都是奇數(shù)；②4個奇數(shù)，1個偶數(shù)。所以共有子集個數(shù)為C95-C55-C54.C41=105例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9下面解法錯在哪里?

例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子集的個數(shù)。

至少有兩個偶數(shù)，可先由4個偶數(shù)中取2個偶數(shù)，然后再由剩下的7個數(shù)中選3個組成5個元素集合且滿足至少有2個是偶數(shù)。成以共有子集C42.C73=210(個)

用“具體排”來看一看是否重復，如C42中的一種選法是：選4個偶數(shù)中的2，4，又C73中選剩下的3個元素不6，1，3組成集合{2，4，6，1，3，}；再看另一種選法：由C42中選4個偶數(shù)中的4，6，又C73中選剩下的3個元素選2，1，3組成集合{4，6，2，1，3}。顯然這是兩個相同和子集，所以重復了。重復的原因是分類不獨立。下面解法錯在哪里?例4：已知集合A={1，2，3，4，五、排列組合混合問題：

例5：從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同學和2名女同學分別承擔A，B，C，D，E5項工作。一共有多少種分配方案。

解1：分三步完成，1.選3名男同學有C63種，2.選2名女同學有C42種，3.對選出的5人分配5種不同的工作有A55種，根據(jù)乘法原理C63.C42.A55=14400(種).

解2：把工作當作元素，同學看作位置，1.從5種工作中任選3種（組合問題）分給6個男同學中的3人（排列問題）有C53.A63種,第二步,將余下的2個工作分給4個女同學中的2人有A42種.根據(jù)乘法原理共有C53.A63.A42=14400(種).

亦可先分配給女同學工作,再給男同學分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(種).五、排列組合混合問題：例5：從6名男同學和4名女同學例6.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有+＝602種方法例6.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出解：可

六、化歸策略

例7、25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？

變式7：某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路,從A走到B的最短路徑有多少種?六、化歸策略變式7：某城市的街區(qū)由12個排列組合綜合應用問題課件_參考七、錯位排列例9.

編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有___種.解：

選取編號相同的兩組球和盒子的方法有種,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.故所求方法有15×9＝135種.練習1：4位同學各寫了一張明信片，然后統(tǒng)一收齊放到盒子里，每位同學再去抽取一張，問他們均不拿到自己的有多少種拿法？七、錯位排列例9.編號為1至6的6個小球放入編號為1至6

練習2

用三種不同的顏色填涂如圖3×3方格中的9個區(qū)域，要求每行每列的三個區(qū)域都不同顏色，則不同的填涂方法有多少種？

解：

第一行的涂法種數(shù)是

第二行的涂法相當于三個元素的錯位排列，涂法種數(shù)是2

第三行只有1種涂法共有種練習2用三種不同的顏色填涂如圖3×3方格中的9個八、分類組合,隔板處理例10、從6個學校中選出30名學生參加數(shù)學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問題相當于把個30相同球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問可用“隔板法”處理.解:采用“隔板法”得:八、分類組合,隔板處理例10、從6個學校中選出30名學生練習：

1、將8個學生干部的培訓指標分配給5個不同的班級，每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？2、從一樓到二樓的樓梯有17級，上樓時可以一步走一級，也可以一步走兩級，若要求11步走完，則有多少種不同的走法？練習：2、從一樓到二樓的樓梯有17級，上樓時可以一步走一級，鞏固練習

1.4名優(yōu)等生被保送到3所學校，每所學校至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)為（）。（A)36(B)24(C)12(D)62.若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（）（A)20(B)19(C)10(D)69

3.小于50000且含有兩個5，而其它數(shù)字不重復的五位數(shù)有（）個。（A)(B)(C)(D)

ABB鞏固練習1.4名優(yōu)等生被保送到3所學校，每所學校至少4.某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種A5.對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有：種可能。4.某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正6.有四同學在同一天的上、下參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下各測試一個項目，且不重復。若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人。則不同的安排方式有_________種？分析：上午測試安排方式有下午測試方式分為：（1）若上午測試“臺階”的同學下午測試“握力”的安排方式：2（2）若上午測試“臺階”的同學下午不測試“握力”的安排方式：9264上午項目：“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“臺階”下午項目：“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”6.有四同學在同一天的上、下參加“身高與體重”、“立定跳遠”7.

5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有______種(以數(shù)字作答)．7.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出8、某學習小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有1人參加，則有不同參賽方法______種.解：采用先組后排方法:9、3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護士,不同的分配方法共有多少種?解法一：邊分邊排：解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)生和護士.8、某學習小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參10.15人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。(1)分為三組，每組5人,共有______________種不同的分法。（2）分為甲、乙、丙三組，一組7人，另兩組各4人，共有___________________種不同的分法。（3）分為甲、乙、丙三組，一組6人，一組5人，一組4人，

共有___________________種不同的分法。11.8名同學選出4名站成一排照相，其中甲、乙兩人都不站中間兩位的排法有______________________種。12.某班有27名男生13女生，要各選3人組成班委會和團

支部每隊3人，3人中2男1女，共有________________種

不同的選法。10.15人按照下列要求分配，求不同的分法種例2：求不同的排法種數(shù)。①6男2女排成一排，2女相鄰；②6男2女排成一排，2女不能相鄰；③4男4女排成一排，同性者相鄰；④4男4女排成一排，同性者不能相鄰。分析：

①由2女捆綁成一人與6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22種“捆綁法”

②把6男2女8人全排列，扣去2女“相鄰”就是2女“不相鄰”，所以有A88-A77.A22種。“排除法”

還可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相鄰的7個空位中排2女，所以共有A66.A72種.分離排列問題思考:對于不相鄰的分離排列能否都用“排除法”?若改5男3女排成一列,3女不相鄰,用排除法得對嗎?例2：求不同的排法種數(shù)。分析：①由2女捆綁成一人與6男全排

③4男4女排成一列，同性者相鄰，把4男、4女捆綁成一個排列，然后同性者之間再全排列，所在地共有A22.A44.A44種?！袄壏ā?/p>

④同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù)位，女偶數(shù)位，或者對調(diào)?！嗫偱帕袛?shù)為A22.A44.A44種。③4男4女排成一列，同性者相鄰，把4男、4女④同（一）.有條件限制的排列問題

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？②a,e既不在首位也不在末位，有多少種排法？③a,e排在一起多少種排法？④a,e不相鄰有多少種排法？⑤a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？

解：①（解題思路）分兩步完成，把a,e排在首末兩端有A22種，再把其余3個元素排在中間3個位置有A33種。由乘法共有A22.A33=12(種)排法。優(yōu)先法二.排列組合應用問題（一）.有條件限制的排列問題例