2022年湖南省婁底市漣源湄江鎮(zhèn)第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022年湖南省婁底市漣源湄江鎮(zhèn)第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.張三和李四打算期中考試完后去旅游，約定第二天8點(diǎn)到9點(diǎn)之間在某處見面，并約定先到者等候后到者20分鐘或者時(shí)間到了9點(diǎn)整即可離去，則兩人能夠見面的概率是（

）A． B． C． D．參考答案：B略2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“時(shí)，從“到”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為（

）A.

B．

C．

D．參考答案：D略4.正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，則直線AD1與EF所成角的余弦值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，故，所以直線AD1與EF所成角的余弦值是．選C．

5.若點(diǎn)（2，2）不在x﹣（4a2+3a﹣2）y﹣4＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】根據(jù)點(diǎn)（2，2）不在x﹣（4a2+3a﹣2）y﹣4＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，列出關(guān)于a的不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：點(diǎn)（2，2）不在x﹣（4a2+3a﹣2）y﹣4＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，根據(jù)二元一次不等式（組）與平面區(qū)域可知：點(diǎn)坐標(biāo)適合不等式即2﹣2（4a2+3a﹣2）﹣4≥0，可得：4a2+3a﹣1≤0所以a∈[﹣1，]，故選：D．6.過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的外接圓方程是 A．

B．C．

D．ks5u參考答案：D7.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=（

）A．7

B.15

C.31

D.8參考答案：B8.圖2是判斷閏年的流程圖，以下年份是閏年的為（

）A.1995年

B.2000年

C.2100年

D.2005年參考答案：B略9.矩形兩邊長分別為、，且，則矩形面積的最大值是

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.從一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，則以這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的概率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.＝

.參考答案：略12.①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線也是異面直線③若平面外兩點(diǎn)到平面的距離相等，則過這兩點(diǎn)的直線必平行于該平面；w.w.w..c.o.m

④.棱錐截去一個(gè)小棱錐后剩余部分是棱臺(tái).其中，不正確的命題的序號(hào)是________

參考答案：略13.已知集合，則集合M∩N=______.參考答案：{1,2,3,4}試題分析：兩集合的交集為兩集合相同的元素構(gòu)成的集合，所以考點(diǎn)：集合交集運(yùn)算14.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為____；參考答案：【分析】由對(duì)六藝“禮、樂、射、御、書、數(shù)”進(jìn)行全排列，基本事件的總數(shù)，再分類求得滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解?！驹斀狻坑深}意，對(duì)六藝“禮、樂、射、御、書、數(shù)”進(jìn)行全排列，基本事件的總數(shù)為種，滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排包含的基本事件個(gè)數(shù)：當(dāng)?shù)谝还?jié)是“數(shù)”，共有種不同的排法；當(dāng)?shù)诙?jié)是“數(shù)”，共有種不同的排法,所以滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為。【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的綜合應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中合理分類求解滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。15.從中得出的一般性結(jié)論是_____________。參考答案：注意左邊共有項(xiàng)

16.直線y=2b與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為．參考答案：

【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用條件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故答案為．17.已知直線l1：3x﹣y+2=0，l2：x+my﹣3=0，若l1⊥l2，則m的值等于．參考答案：3【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】利用直線相互垂直的充要條件即可得出．【解答】解：∵l1⊥l2，∴3×=﹣1，解得m=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線相互垂直的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？參考答案：由題意知∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，

……2分在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝10(海里)，……6分又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得

……9分＝300＋1200－2×10×20×＝900，

……11分∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))．

……13分答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．

……14分注：如果認(rèn)定△DBC為直角三角形，根據(jù)勾股定理正確求得CD，同樣給分．19.（本小題滿分14分）如圖，點(diǎn)是橢圓：的左焦點(diǎn)，、分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，三角形的面積為，（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）對(duì)于軸上的點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅲ)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、(、異于橢圓的左右頂點(diǎn))，若以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案：（Ⅰ）由，即由，得

，,解得,,,即橢圓的方程為；…………3分（Ⅱ）,,設(shè),則,,,,,,………5分,,即；…7分(Ⅲ)聯(lián)立消得:,設(shè),即，，…………9分若以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，則，即，…………11分展開整理得：，即，通分化簡得，即，分解得，得或，即或，當(dāng)時(shí)，直線，即直線過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線，即直線過定點(diǎn)，但與右頂點(diǎn)重合，舍去，綜合知：直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.…………14分20.（本小題滿分12分）某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段：，，…，后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上的及格）和平均分。參考答案：

（1）第四組的頻率為（2）60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為所以抽樣學(xué)生的合格率為75％平均分：∴估計(jì)這次考試的平均分7121.（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上.(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩不同點(diǎn),交軸于點(diǎn)，已知為定值.參考答案：（1）由焦點(diǎn)在圓上得:所以拋物線：

同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上可解得：得橢圓：

總之，拋