天津東麗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

天津東麗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則sin4θ+cos4θ的值為(

) A． B． C． D．1參考答案：C考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題：三角函數(shù)的求值．分析：已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出cos2θ與sin2θ的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．解答： 解：∵cos2θ=2cos2θ﹣1=1﹣2sin2θ=，∴cos2θ=，sin2θ=，則原式=+=．故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．2.某商場(chǎng)有四類食品,其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種,現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：C略3.已知斐波那契數(shù)列的前七項(xiàng)為1、1、2、3、5、8、13．大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)按層從內(nèi)往外都恰是斐波那契數(shù)，現(xiàn)有層次相同的“雅蘇娜”玫瑰花3朵，花瓣總數(shù)為99，假設(shè)這種“雅蘇娜”玫瑰花每層花瓣數(shù)由內(nèi)向外構(gòu)成斐波那契數(shù)列，則一朵該種玫瑰花最可能有（

）層．A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：C由題設(shè)知，斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)之和為20，前7項(xiàng)之和為33，由此可推測(cè)該種玫瑰花最可能有7層．4.若直線與圓相交于A,B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)k=

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.設(shè)曲線在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線垂直，則

A．2

B．

C．

D.參考答案：B6.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．參考答案：B由正弦定理，得：，∴．∴，，∴，．7.設(shè)分程和方程的根分別為和，函數(shù)，則（

）A． B．C． D．參考答案：A略8.已知函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)是增函數(shù)，且f（x）＜0，則g（x）=x2f（x）的單調(diào)情況一定是（）A．在（﹣∞，0）上遞增 B．在（﹣∞，0）上遞減 C．在R上遞減 D．在R上遞增參考答案：A【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)是增函數(shù)則f'（x）＞0在定義域R上恒成立，然后求出導(dǎo)函數(shù)g'（x），討論x，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：∵函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)是增函數(shù)∴f'（x）＞0在定義域R上恒成立∵g（x）=x2f（x）∴g'（x）=2xf（x）+x2f'（x）當(dāng)x＜0時(shí)，而f（x）＜0，則2xf（x）＞0，x2f'（x）＞0所以g'（x）＞0即g（x）=x2f（x）在（﹣∞，0）上遞增當(dāng)x＞0時(shí)，2xf（x）＜0，x2f'（x）＞0，則g'（x）的符號(hào)不確定，從而單調(diào)性不確定故選A．9.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的是．

．

．

．參考答案：令得．10.△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，滿足∠BAD＋C＝90°，則△ABC的形狀一定是A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．等腰或直角三角形參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題:“”的否定是

▲

．參考答案：命題:“”的否定是.【點(diǎn)睛】對(duì)全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定；②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.

12.曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是___________．參考答案：略13.若，則＝．參考答案：答案：

14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件(b為常數(shù)），若x+3y的最大值為4，則實(shí)數(shù)b的值為

．參考答案：

15.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

參考答案：略16.設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的定義域和值域．【分析】f（x）解析式提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，聯(lián)立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案為：﹣17.設(shè)函數(shù)f（x）=|lgx|，若f（a）=f（b），其中0＜a＜b，則a+b取值范圍是．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，則數(shù)形結(jié)合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，利用基本不等式可求a+b的取值范圍．【解答】解：畫出y=|lgx|的圖象如圖：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1，∴﹣lga=lgb，∴ab=1，∴a+b≥2=2，∵a≠b，∴a+b＞2，故答案為：（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查基本不等式的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的取值范圍.參考答案：(1)；(2).分析：第一問首先將代入題中所給的式子，結(jié)合與的關(guān)系，求得，再類比著寫出一個(gè)式子，兩式相減求得，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，得到，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出結(jié)果；第二問利用裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，結(jié)合式子寫出其范圍.詳解：（1）①時(shí)，由，得，②時(shí)，由已知，得，∴，兩式作差，得，又因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以.∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.∴.（2）∵，∴.又因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)最小，，∴.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及裂項(xiàng)相消法求和，在解題的過程中，需要對(duì)題中所給的式子，類比著往前寫或者往后寫一個(gè)，兩式相減，結(jié)合題中的條件，得到相鄰兩項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，從而得到該數(shù)列是等差數(shù)列，之后借助于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果，對(duì)于第二問應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和之后，結(jié)合式子的特征以及n的范圍，求得其值域.19.已知函數(shù)．（Ⅰ）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：20.已知橢圓C：(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F（﹣1，0），左準(zhǔn)線為x=﹣2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．①若直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)P，且滿足，求證：λ+μ為常數(shù)；②若OA⊥OB（O為原點(diǎn)），求△AOB的面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由橢圓的左焦點(diǎn)為F（﹣1，0），左準(zhǔn)線為x=﹣2，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則P（0，k），代入橢圓得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能證明λ+μ為常數(shù)﹣4．②當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，△AOB的面積，當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)OA：y=kx，OB：y=﹣，將y=kx代入橢圓C，得到x2+2k2x2=2，由此利用換元法結(jié)合已知條件能求出△AOB的面積的取值范圍．【解答】解：（1）∵橢圓C：(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F（﹣1，0），左準(zhǔn)線為x=﹣2，∴由題設(shè)知c=1，=2，a2=2c，∴a2=2，b2=a2﹣c2=1，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．證明：（2）①由題設(shè)知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則P（0，k），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l代入橢圓得x2+2k2（x+1）2=2，整理，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，由，，知，，∴λ+μ=﹣=﹣=﹣（定值）．∴λ+μ為常數(shù)﹣4．解：②當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，△AOB的面積，當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)OA：y=kx，OB：y=﹣，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=kx代入橢圓C，得到x2+2k2x2=2，∴，，同理，，，△AOB的面積S△AOB==，令t=k2+1∈[1，+∞），則S△AOB==，令μ=∈（0，1），則=∈[，）．綜上所述，△AOB的面積的取值范圍是[，]．21.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=3，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程．參考答案：【分析】由展開得，再利用互化公式即可得出．【解答】解：由展開得，又ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．22.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，.（1）證明：{an}為等比數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，求的取值范