解三角形應用舉例（優(yōu)秀課件）

高度角度距離有關三角形計算距離的測量高度角度距離有關三角形計算距離的測量

1、正弦定理：知識點小結

可以解決的有關解三角形問題：（1）已知兩角和任一邊；（2）已知兩邊和其中一邊的對角。

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC可以解決的有關解三角形的問題：（1）已知三邊；（2）已知兩邊和他們的夾角。2、余弦定理：1、正弦定理：知識點小結可以解決的有關解三經(jīng)緯儀，測量水平角和豎直角的儀器。是根據(jù)測角原理設計的。目前最常用的是光學經(jīng)緯儀。光學經(jīng)緯儀鋼卷尺經(jīng)緯儀，測量水平角和豎直角的儀器。光學經(jīng)緯儀鋼卷尺引例：如圖，A,B兩點在河兩岸，現(xiàn)有經(jīng)緯儀和鋼卷尺兩種工具，如何測量A,B兩點距離？引例：如圖，A,B兩點在河兩岸，現(xiàn)有經(jīng)緯儀和練習1.如圖在鐵路建設中需要確定隧道兩端A,B的距離，請你設計一種測量A,B距離的方法？練習1.如圖在鐵路建設中需要確定隧道兩端A,B的距離，請你設練習2.如圖河流的一岸有條公路，一輛汽車在公路上勻速行駛，某人在另一岸的C點看到汽車從A點到B點用了t秒，請你設計方案求汽車的速度？分析：用引例的方法，可以計算出AC,BC的距離，再測出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以計算出A、B兩點間的距離。公路河流練習2.如圖河流的一岸有條公路，一輛汽車在公路上勻速行駛，某公路河流解：在岸邊選定一點D，測得CD=a,并且在C、D兩點分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，應用正弦定理得計算出AC和BC后，再在⊿ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離公路河流解：在岸邊選定一點D，測得CD=a,并且在C、D兩點測量問題之一：水平距離的測量①兩點間不能到達，又不能相互看到。(如圖1所示)

需要測量CB、CA的長和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的長。②兩點能相互看到，但不能到達。(如圖2所示)

需要測量BC的長、角B和角C的大小，由三角形的內角和，求出角A然后由正弦定理，可求邊AB的長。圖1圖2測量問題之一：水平距離的測量①兩點間不能到達，又不能相互看到③兩點都不能到達③兩點都不能到達1、分析：理解題意，畫出示意圖2、建模：把已知量與求解量集中在一個三角形中3、求解：運用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三子角形，求得數(shù)學模型的解。4、檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。實際問題→數(shù)學問題（三角形）→數(shù)學問題的解（解三角形）→實際問題的解解應用題的一般步驟是：小結1、分析：理解題意，畫出示意圖2、建模：把已知量與求解量集中練習1

如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點的距離是答案解析練習1如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距

在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，在△ACD

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA在△ABC中，由余弦定理，得數(shù)學作業(yè)：1.

A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求AB兩點的距離。2.某人向東方向走了x千米，然后向右轉120°，再朝新方向走了3千米，結果他離出發(fā)點恰好

千米，求x的值。3.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點共圓，求AC的長.數(shù)學作業(yè)：1.A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側2.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為答案解析

∠B＝180°－45°－105°＝30°，√2.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側1233.某人向東方向走了x千米，然后向右轉120°，再朝新方向走了3千米，結果他離出發(fā)點恰好

千米，那么x的值是___.

由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.4答案解析1233.某人向東方向走了x千米，然后向右轉120°，再朝新4.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點共圓，則AC的長為____km.7答案解析4.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩

因為A，B，C，D四點共圓，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，故AC＝7.因為A，B，C，D四點共圓，故AC＝7.高度角度距離有關三角形計算高度和角度的測量高度角度距離有關三角形計算高度和角度的測量解應用題中的幾個角的概念1、仰角、俯角的概念：在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角。如圖：2、方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，如圖解應用題中的幾個角的概念1、仰角、俯角的概念：2、方向角：指解三角形應用舉例（優(yōu)秀ppt課件）問題的本質如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的長，所得結果再加上h.梳理BEAHGDC問題的本質如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α、β、m表練習1:在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝60°

，在塔底C處測得A處的俯角β＝30°。已知鐵塔BC部分的高為28m，求出山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應該設法計算出AB或AC的長DABC練習1:在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝60°CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度約為14米。解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根據(jù)正弦定理，CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度約為14例2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北測遠處一山頂D在西偏北15o的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25o的方向上，仰角為8o，求此山的高度CD.例2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測梳理問題本質是：如圖，已知三棱錐

D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的長．梳理問題本質是：如圖，已知三棱錐D－ABC，DC⊥平面AB練習

如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高CD.解答練習如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在

由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東450相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東750的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東450相距9海里的C處有答：巡邏艇應該沿北偏東830方向去追，經(jīng)過1.5小時才追趕上該走私船.答：巡邏艇應該沿北偏東830方向去追，經(jīng)過1.5小時才追趕上跟蹤訓練1

甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時

海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？解答跟蹤訓練1甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每

如圖所示．設經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC＝at(海里)，如圖所示．設經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，

∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船應沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，當堂訓練當堂訓練1

江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_____m.

設兩條船所在位置分別為A、B兩點，炮臺底部所在位置為C點，30所以AB＝30(m).答案解析1江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同1232.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________________.答案解析

1232.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?03

如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是答案解析3如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在

在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°