第五章-平面問(wèn)題有限元分析課件

第5章

平面問(wèn)題的有限元分析第5章

平面問(wèn)題的有限元分析5-1引言在有限元法中，把單元與單元之間設(shè)置的相互連接點(diǎn)，稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)。一般用號(hào)碼1、2、…進(jìn)行結(jié)點(diǎn)編號(hào)。結(jié)點(diǎn)可為鉸接、固接或其它形式的連接。結(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)及數(shù)目等均視所研究問(wèn)題的性質(zhì)、描繪變形狀態(tài)的需要和計(jì)算精度的要求等而定。在有限元法中引進(jìn)結(jié)點(diǎn)概念是至關(guān)重要的。有了結(jié)點(diǎn)，才可將實(shí)際連續(xù)體看成是僅在結(jié)點(diǎn)處相互連接的單元集合組成的離散型結(jié)構(gòu)，從而可使研究的對(duì)象轉(zhuǎn)化成可以使用電子計(jì)算機(jī)計(jì)算的教學(xué)模型。由單元、結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為有限元模型。它是有限元分析與計(jì)算的對(duì)象。5-1引言在有限元法中，把單元與單元之間設(shè)置的相互連接5-1-1結(jié)構(gòu)離散化

1、單元?jiǎng)澐诸?lèi)型

單元類(lèi)型：三角形單元、四邊形單元單元數(shù)目：根據(jù)計(jì)算精度要求來(lái)確定結(jié)點(diǎn)設(shè)置：使單元的的結(jié)點(diǎn)編號(hào)盡量靠近有限元模型：由單元、結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成的集合

2、離散化時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

相鄰單元的尺寸盡可能相近；同一單元的最大和最小尺寸之比盡可能接近1，不宜過(guò)大；應(yīng)使全部單元中相關(guān)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)編碼差值為最小；單元?jiǎng)澐謺r(shí)內(nèi)部每個(gè)結(jié)點(diǎn)所連接的單元數(shù)應(yīng)盡量相等5-1-1結(jié)構(gòu)離散化1、單元?jiǎng)澐诸?lèi)型2、離散化時(shí)應(yīng)連續(xù)介質(zhì)的離散連續(xù)介質(zhì)的離散第五章-平面問(wèn)題有限元分析ppt課件對(duì)于二維連續(xù)介質(zhì)，以圖所示的建筑在巖石基礎(chǔ)上的支墩壩為例，用有限單元法進(jìn)行分析的步驟如下：

(1)用虛擬的直線(xiàn)把原介質(zhì)分割成有限個(gè)三角形單元，這些直線(xiàn)是單元的邊界，幾條直線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)。

(2)假定各單元在結(jié)點(diǎn)上互相鉸接，結(jié)點(diǎn)位移是基本的未知量。

(3)選擇位移函數(shù)。

(4)通過(guò)位移函數(shù)，用結(jié)點(diǎn)位移唯一地表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變；再利用廣義虎克定律，用結(jié)點(diǎn)位移可唯一地表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力。

(5)利用能量原理，找到與單元內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)等效的結(jié)點(diǎn)力，再利用單元應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，建立等效結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。

(6)將每一單元所承受的荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上。

(7)在每一結(jié)點(diǎn)建立用結(jié)點(diǎn)位移表示的靜力平衡方程，得到一個(gè)線(xiàn)性方程組：解出這個(gè)方程組，求出結(jié)點(diǎn)位移，然后可求得每個(gè)單元的應(yīng)力。連續(xù)介質(zhì)的有限單元分析包含三個(gè)基本方面：介質(zhì)的離散化、單元特性計(jì)算以及單元組合體的結(jié)構(gòu)分析。(5)利用能量原理，找到與單元內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)等效的結(jié)

3、位移函數(shù)在選擇多項(xiàng)式時(shí)，為了使有限單元法的計(jì)算精度和收斂性得到保障，還需要滿(mǎn)足完備性和連續(xù)性的要求。為了使位移模式盡可能地反映物體中的真實(shí)位移形態(tài)，它應(yīng)滿(mǎn)足下列條件：（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變；（3）位移模式應(yīng)盡可能地反映位移的連續(xù)性。彈性力學(xué)平面問(wèn)題一般選擇多項(xiàng)式函數(shù)作為位移函數(shù)。

3、位移函數(shù)在選擇多項(xiàng)式時(shí)，為了使有限單元法的計(jì)算精度

5-1-2平面問(wèn)題的總勢(shì)能表達(dá)式將第二章的原理用于平面問(wèn)題單元分析時(shí)，其總勢(shì)能表達(dá)式為式中相對(duì)第二章所講的總勢(shì)能表達(dá)式多了一項(xiàng)，它是單元結(jié)點(diǎn)力的外力勢(shì)能。從整體分析角度，由于結(jié)點(diǎn)平衡單元結(jié)點(diǎn)力是不出現(xiàn)的，因此有的數(shù)上沒(méi)有這一項(xiàng)，但從最小勢(shì)能原理作為單元分析和整體分析的推導(dǎo)來(lái)說(shuō)，應(yīng)該包括這一項(xiàng)。(5-1)5-1-2平面問(wèn)題的總勢(shì)能表達(dá)式將第二章的原5-2常應(yīng)變?nèi)切螁卧切螁卧且环N簡(jiǎn)單方便、對(duì)邊界適應(yīng)性強(qiáng)的單元，由于以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)，因此又成為三結(jié)點(diǎn)三角形單元。這種單元的計(jì)算精度較低，使用的時(shí)候必須進(jìn)行精細(xì)的網(wǎng)格劃分，但他仍然是一種常用的單元5-2常應(yīng)變?nèi)切螁卧切螁卧且环N簡(jiǎn)單方便、對(duì)邊界5-2-1單元結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力圖5-2為任一的典型單元。單元局部坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)編號(hào)記作1，2，3逆時(shí)針進(jìn)行標(biāo)記，其對(duì)應(yīng)的整體結(jié)點(diǎn)編號(hào)記作，，。由于平面問(wèn)題局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)是一致的，因此沒(méi)有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，故也可只標(biāo)記整體編號(hào)以便形成點(diǎn)位向量，如圖所示單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移分量，稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)位移，記作圖5-2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?-2）5-2-1單元結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力圖5-2為任一的典型單將三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移按結(jié)點(diǎn)編號(hào)排在一起稱(chēng)為單元結(jié)點(diǎn)位移記作：（5-3）與結(jié)點(diǎn)位移相對(duì)應(yīng)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)上受有2個(gè)其他單元對(duì)它作用的力，稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)力，記作將三個(gè)結(jié)點(diǎn)力按結(jié)點(diǎn)編號(hào)排在一起稱(chēng)為單元結(jié)點(diǎn)力記作：（5-4）（5-5）單元上作用的體積力記為（5-6）將三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移按結(jié)點(diǎn)編號(hào)排在一起稱(chēng)為單元結(jié)點(diǎn)位移記作：（若單元的邊界是物體邊界，并且該邊界有表面力的話(huà)，該表面力記作：（5-7）體積力和表面力表達(dá)式找中矩陣元素均是沿坐標(biāo)方向的分布荷載集度。若單元的邊界是物體邊界，并且該邊界有表面力的話(huà)，該表面力記5-2-2用面積坐標(biāo)建立單元位移場(chǎng)

1、面積坐標(biāo)的定義設(shè)P為三角形單元中的一點(diǎn)，與三個(gè)頂點(diǎn)，，相連，則可將分割3小塊，如圖5-3a所示，分別記這三個(gè)小三角形面積為圖5-3a面積坐標(biāo)示意對(duì)于三角形單元，完全可以同桿系單元一樣，在直角坐標(biāo)下采用廣義坐標(biāo)法建立形函數(shù)及單元位移場(chǎng)。但下面將引入的面積坐標(biāo)除了也可確定點(diǎn)的位置外，對(duì)三角形單元的分析具有許多優(yōu)越性，因此首先介紹面積坐標(biāo)。5-2-2用面積坐標(biāo)建立單元位移場(chǎng)1、面積坐標(biāo)的定義圖5-3b面積坐標(biāo)示意則顯然存在如下恒等關(guān)系等坐標(biāo)軸線(xiàn)有圖5-3b可見(jiàn)，P點(diǎn)位置除了可用直角表示外，也可以用，，中的任意兩個(gè)來(lái)確定。等坐標(biāo)軸線(xiàn)等坐標(biāo)軸線(xiàn)（5-8）圖5-3b面積坐標(biāo)示意則顯然存在如下恒等關(guān)系等坐標(biāo)軸線(xiàn)若令（5-9）那么P點(diǎn)位置就可用量綱參數(shù)，，中的兩個(gè)來(lái)確定，因此可以作為確定點(diǎn)位置的一種坐標(biāo)方法。因此是根據(jù)面積來(lái)定義的，故稱(chēng)，，為面積坐標(biāo)。由上述定義可見(jiàn):面積坐標(biāo)是一種固定于單元的局部坐標(biāo)，它具有如下性質(zhì)：Li+Lj+Lk=1；當(dāng)P在結(jié)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)P在結(jié)點(diǎn)所對(duì)的邊線(xiàn)上時(shí)；當(dāng)P在與邊平行的直線(xiàn)上時(shí)，，，因此稱(chēng)這些直線(xiàn)為等坐標(biāo)線(xiàn)，如圖5-3b所示。若令（5-9）那么P點(diǎn)位置就可用量若以L(fǎng)i和Lj構(gòu)成面積坐標(biāo)系，則單元面積坐標(biāo)系中的圖形是個(gè)直角邊為1的等腰直角三角形，如圖5-4所示。三個(gè)結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為:圖5-4面積坐標(biāo)下的單元結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧娜龡l邊線(xiàn)方程為：?jiǎn)卧涡奶幍淖鴺?biāo)為若以L(fǎng)i和Lj構(gòu)成面積坐標(biāo)系，則單元面積坐

2、面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系單元面積為設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)，則有數(shù)學(xué)可知，三塊小面積為2、面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系單元面積因此有（5-10）因此有（5-10）若將式（5-10）寫(xiě)成矩陣關(guān)系，則有（5-11）由式（5-11）可求得（5-13）（5-12）即式（5-10）和式（5-13）即為兩種坐標(biāo)系間的變換關(guān)系若將式（5-10）寫(xiě)成矩陣關(guān)系，則有（5-11）建立了坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，則按求導(dǎo)法則可得（5-13）利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以證明（5-15）（5-14）式中，，為面積坐標(biāo)的冪，為邊的長(zhǎng)度，為平面問(wèn)題板厚。這些公式將在今后研究三角形單元等參單元計(jì)算中應(yīng)用。建立了坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，則按求導(dǎo)法則可得（5-

3、常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰茍?chǎng)由形函數(shù)的性質(zhì)可知，本結(jié)點(diǎn)為1，它結(jié)點(diǎn)為零，在單元內(nèi)任一點(diǎn)全部形函數(shù)和均為1.而面積坐標(biāo)的性質(zhì)正好與形函數(shù)的性質(zhì)相同，所以常應(yīng)變?nèi)切螁卧男魏瘮?shù)可取面積坐標(biāo)，即由此可得形函數(shù)矩陣為其中（5-15）（5-18）（5-17）為二階單位矩陣3、常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰茍?chǎng)由形函數(shù)的性質(zhì)可知有了形函數(shù)矩陣，則單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移可表示為：有了形函數(shù)矩陣，則單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移可

附、廣義坐標(biāo)法位移函數(shù)對(duì)三角形單元，假定單元內(nèi)的位移分量是坐標(biāo)的線(xiàn)性函數(shù)

則有

利用線(xiàn)性代數(shù)中解方程組的克來(lái)姆法則,可解出待定常數(shù)

附、廣義坐標(biāo)法位移函數(shù)對(duì)三角形單元，假定單元內(nèi)的位移分量是式中行列式:

A為△ijm的面積,只要A不為0,則可由上式解出:式中行列式:A為△ijm的面

式中:

為了書(shū)寫(xiě)方便，可將上式記為:式中:為了書(shū)寫(xiě)方整理上式后可得:

同理:

式中:將三角形單元的位移函數(shù)用矩陣表示：或整理上式后可得:式中:將三角形單元的位移函數(shù)用矩陣?yán)}5-1試求圖5-5所示等腰直角三角形單元的形函數(shù)矩陣N。圖5-5等腰直角三角形單元例題5-1試求圖5-5所示等腰直角三角形單應(yīng)變根據(jù)單元的位移場(chǎng)函數(shù)式（5-20），由幾何方程可以得到單元的應(yīng)變場(chǎng)表達(dá)式：（5-21）式中微分算子矩陣A為（5-22）5-2-3基于最小勢(shì)能原理的單元分析應(yīng)變根據(jù)單元的位移場(chǎng)函數(shù)式（5-20），由幾何方程可以得其中，矩陣稱(chēng)為幾何矩陣。矩陣可以表示為分塊矩陣的形式這里，由此位移模式可得單元中任意一點(diǎn)的應(yīng)變矩陣（5-25）將式（5-19）代入式（5-24）可得（5-24）（5-23）其中，矩陣稱(chēng)為幾何矩陣。矩陣可以表示為分塊矩陣的形式這里可見(jiàn)，由于采用了線(xiàn)性位移函數(shù)，應(yīng)變矩陣是常數(shù)矩陣。因而單元中的應(yīng)力及應(yīng)變式是常數(shù)，這就是把這種單元稱(chēng)為常應(yīng)變單元的原因。若單元中存在初應(yīng)變（由溫度改變或是收縮的因素引起）（5-27）（5-26）可見(jiàn)，由于采用了線(xiàn)性位移函數(shù)，應(yīng)變矩陣是應(yīng)力場(chǎng)由物理方程及式（5-27），可以得到單元的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式：

（5-28）其中為應(yīng)力矩陣，稱(chēng)為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，

應(yīng)力場(chǎng)由物理方程及式（5-27），可以得到單元的應(yīng)力場(chǎng)表將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式，有：

（5-29）其中：

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將換為，換為，則（5-30）變?yōu)椋海?-30）（5-31）將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式，有：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需單元?jiǎng)偠染仃嚕?）單元的應(yīng)變能

（5-32）（2）單元上外力的勢(shì)能

（5-34）（5-33）單元?jiǎng)偠染仃嚕?）單元的應(yīng)變能（5-34）（5-33）由式（5-32）和式（5-34）得到單元的總勢(shì)能為：利用最小勢(shì)能原理，取結(jié)點(diǎn)位移的變分，得到：當(dāng)為內(nèi)部單元時(shí)（5-35）（5-36）當(dāng)單元在邊界處時(shí)（5-37）（5-38）由式（5-32）和式（5-34）得到單元的總勢(shì)能為：利用最小若記：或（5-39）則式（5-36）可改寫(xiě)為（5-41）（5-40）上式即為單元?jiǎng)偠确匠淌?。若記：或?-39）則式（5-36）可改寫(xiě)為（5-41）（5單元?jiǎng)偠染仃嚨娘@式表示對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，其剛度矩陣的顯式：平面應(yīng)變問(wèn)題（5-42）單元?jiǎng)偠染仃嚨娘@式表示對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，其剛度矩陣的顯式：等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣可由式（5-40）計(jì)算獲得，但是對(duì)一些簡(jiǎn)單荷載情況也不按式（5-40）計(jì)算，而是由靜力等效原則直接取得。因此作用在彈性體上的外力，需要移置到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)上成為結(jié)點(diǎn)荷載。荷載移置要滿(mǎn)足靜力等效原則。、

靜力等效原則：指原荷載與結(jié)點(diǎn)荷載在任何虛位移上的虛功都相等。在一定的位移模式下這樣的移置結(jié)果是唯一的，而且總能符合通常理解的對(duì)剛體而言的靜力等效原則。等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣可由式（5-40）計(jì)算獲得，分布邊界力的等效結(jié)點(diǎn)荷載ij邊上均布力pxij邊上三角形荷載px分布邊界力的等效結(jié)點(diǎn)荷載ij邊上均布力pxij邊上三角形荷載分布體積力的等效結(jié)點(diǎn)荷載分布體積力的等效結(jié)點(diǎn)荷載例題5-2試求例題5-1等腰直角三角形單元的剛度矩陣；若在單元邊界點(diǎn)處作用有豎向荷載，試求等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣，設(shè)。解：算例5-1已求出了形函數(shù)N1，N2和N3于是由式（5-24）有

當(dāng)時(shí)，平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題彈性矩陣D彼此相等，即例題5-2試求例題5-1等腰直角三角形單元由式（5-29）可得

因此可得：由式（5-29）可得因此可得：又由（5-40），單元厚度為t=1:又由（5-40），單元厚度為t=1:3.2.6整體剛度矩陣得到了單元?jiǎng)偠染仃嚭?，需要將一系列的將單元組成一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)結(jié)點(diǎn)載荷平衡的原則進(jìn)行分析，得到整體剛度矩陣。整體分析包括以下4個(gè)步驟：（1）建立整體剛度矩陣，（2）根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣，（3）解方程組，求出結(jié)點(diǎn)的位移，（4）根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移，求出單元的應(yīng)變和應(yīng)力。由單元?jiǎng)偠染仃嚨玫秸w剛度矩陣的基本方法是剛度集成法，即整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募伞?.2.6整體剛度矩陣得到了單元?jiǎng)偠染仃嚭?，需要將一系整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成單元編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)局部編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)整體編號(hào)（1）312（2）524（3）532（4）356單元編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)局部編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)整體編號(hào)（1）312（2）5整體編號(hào)

123456

局部編號(hào)0001

00000020003

000000400050006

000000以二單元為例進(jìn)行集裝

整體

123456

局部0001

00000020003

0整體剛度矩陣

其中

K為二階矩陣。整體剛度矩陣其中K為二階矩陣。由上表可以看出，整體剛度矩陣也具有對(duì)稱(chēng)性。同時(shí)它是一個(gè)稀疏矩陣，即其中有大量的零元素，并且非零元素都集中于主對(duì)角線(xiàn)附近呈帶狀。和單元?jiǎng)偠染仃囈粯?，由于位移函?shù)中包含剛體位移，所以整體剛度矩陣也是一個(gè)奇異矩陣。必須要排除剛體位移后，才能變?yōu)檎ň仃嚒Ｓ缮媳砜梢钥闯?，整體剛度矩陣也具有對(duì)稱(chēng)性。同時(shí)它是一個(gè)稀邊界條件的處理

邊界的約束情況

(1)基礎(chǔ)支承結(jié)構(gòu)(2)具有對(duì)稱(chēng)軸的結(jié)構(gòu)（3）具有給定位移邊界的結(jié)構(gòu)邊界條件的處理邊界的約束情況(1)基礎(chǔ)支承結(jié)構(gòu)(2)邊界條件的處理方法

(1)直接代入法按結(jié)點(diǎn)位移已知和待定重新組合方程對(duì)角元素改1法

只能用于給定零位移。邊界條件的處理方法(1)直接代入法按結(jié)點(diǎn)位對(duì)角元素乘大數(shù)法

對(duì)角元素乘大數(shù)法輸入離散模型數(shù)據(jù)按選擇的單元計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚢纯倓偞鎯?chǔ)模式集成總剛按單元循環(huán)計(jì)算單元等效結(jié)點(diǎn)荷載集成結(jié)點(diǎn)荷載列陣引入位移邊界條件解方程組其他輔助計(jì)算結(jié)果輸出、結(jié)束形成K形成P輸入離散模型數(shù)據(jù)按選擇的單元計(jì)算按總剛存儲(chǔ)模式集成總剛按單元525-2-6有限元的收斂性

解的收斂性也可理解為一個(gè)問(wèn)題的解的精度，較粗的分，影響一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解的精度可分成三個(gè)方面：實(shí)際物理問(wèn)題→①理想化力學(xué)模型→②有限元求解方法（解法）→③數(shù)字截?cái)?。此處僅討論解法。緒論中提到，有限元作為一種數(shù)值方法可以認(rèn)為是里茲法（彈性力學(xué)解）的一種特殊形式，不同之處在于有限元法的形函數(shù)（在彈力稱(chēng)試探函數(shù)）是定義于單元（子域）而不是全域。里茲法的收斂條件是要求試函數(shù)具有完全性和連續(xù)性。那么它在有限元法中又是如何具體體現(xiàn)的？可從兩方面：嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證（用變分原理）；物理方面，也就是單元模型問(wèn)題（三角形單元的位移摸式）。5-2-6有限元的收斂性解的收斂性也可１、位移模式的收斂性條件

（1）完備性

條件位移函數(shù)中必須包含剛體位移；位移函數(shù)必須能反映單元的常應(yīng)變狀態(tài)。（2）協(xié)調(diào)性條件位移函數(shù)應(yīng)在單元內(nèi)連續(xù)，在單元之間邊界上要協(xié)調(diào)。不滿(mǎn)協(xié)調(diào)條件的單元不一定不收斂，滿(mǎn)足一定條件的一些非協(xié)調(diào)單元不僅收斂而且收斂速度比協(xié)調(diào)單元還快、精度更高。因此，對(duì)任何單元完備性條件必須滿(mǎn)足，如再滿(mǎn)足協(xié)調(diào)條件的單元稱(chēng)為協(xié)調(diào)元。１、位移模式的收斂性條件（1）完備性條件位移函數(shù)中必須包

用能量變分法可以證明，有限元位移法得到的位移解，總體上不大于真正解。即解具有下限性質(zhì)。位移解下限性質(zhì)可以這樣理解：所劃分單元是原來(lái)連續(xù)體的一部分，具有無(wú)限多個(gè)自由度，在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對(duì)單元的變形進(jìn)行了約束和限制，使單元的剛度較實(shí)際加強(qiáng)了，因此連續(xù)體剛度隨之加強(qiáng)，故求得的近似解總體上（而不是每一點(diǎn)）將小于精度解。又由此可知，桿件結(jié)構(gòu)原本只在結(jié)點(diǎn)約束，且位移模式與假設(shè)者相同（精確方法：力法，位移法），故有限元法對(duì)于桿件結(jié)構(gòu)所求得的是精確解。２、位移法解的下限性質(zhì)

２、位移法解的下限性質(zhì)

位移法解的下限性質(zhì)證明

位移法解的下限性質(zhì)證明

第五章-平面問(wèn)題有限元分析ppt課件第五章-平面問(wèn)題有限元分析ppt課件第五章-平面問(wèn)題有限元分析ppt課件5-3平面矩形單元矩形單元也是常用的單元之一，由于采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧叽螖?shù)的位移模式，故可以更好地反映彈性體的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。(a)直角坐標(biāo)(b)自然坐標(biāo)圖5-9矩形雙線(xiàn)性單元5-3平面矩形單元矩形單元也是常用的單元之一，由圖5-9a所示為有四個(gè)結(jié)點(diǎn)的平面矩形單元，共有8個(gè)結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)。可以直接在直角坐標(biāo)下進(jìn)行分析。為使分析過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，這里引入一個(gè)量綱一的正則坐標(biāo)(自然坐標(biāo))

在正則坐標(biāo)系下原矩形單元映射為邊長(zhǎng)為2的正方形單元如圖5-9b。5-43圖5-9a所示為有四個(gè)結(jié)點(diǎn)的平面矩形單元，共有8個(gè)結(jié)點(diǎn)位

5-3-1用正則坐標(biāo)建立單元位移場(chǎng)廣義坐標(biāo)法

和桿系單元一樣，根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移條件，可設(shè)單元的位移函數(shù)為（5-44）式中為廣義坐標(biāo)，根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移求出，代會(huì)式（5-44）整理后便可獲得以形函數(shù)表達(dá)的位移場(chǎng)。5-3-1用正則坐標(biāo)建立單元位移場(chǎng)廣義坐標(biāo)法將四個(gè)結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入（5-44）式，可以列出八個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量方程，從而得到兩組關(guān)于的四元聯(lián)立方程，即分別解除八個(gè)位移參數(shù)，代回式（5-44），按結(jié)點(diǎn)位移分類(lèi)合并可得：附形函數(shù)求解過(guò)程將四個(gè)結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值代入（5-44）式，可以其中：其中：寫(xiě)成統(tǒng)一表達(dá)式：其中：其中：寫(xiě)成統(tǒng)一需要說(shuō)明的是，位移函數(shù)中二次而不是取平方項(xiàng)或是，基于如下考慮：（1）位移應(yīng)該只與物體受力和變形有關(guān)，和坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，即所選位移函數(shù)應(yīng)該具有“坐標(biāo)不變性”；（2）如果取平方項(xiàng)，則沿單元邊線(xiàn)（另一坐標(biāo)為常數(shù)）位移變化將是坐標(biāo)的二次曲線(xiàn)而此邊線(xiàn)兩相鄰的單元只有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)具有相同的值，有它們只能保證直線(xiàn)的位移變化，不可能保證兩單元具有相同的二次曲線(xiàn)位移變化，也即不能保證相鄰單元位移協(xié)調(diào)。因此，從收斂性可知，取坐標(biāo)平方項(xiàng)是不合適的。需要說(shuō)明的是，位移函數(shù)中二次而不是取平方項(xiàng)試湊法確定形函數(shù)在坐標(biāo)系下，單元的四條邊界線(xiàn)的方程分別為根據(jù)形函數(shù)應(yīng)具有的性質(zhì)：本點(diǎn)處形函數(shù)為1，它點(diǎn)處形函數(shù)為0，例如（5-45）（a）由式（5-45）可知下列函數(shù)且自動(dòng)滿(mǎn)足形函數(shù)它點(diǎn)為零的性質(zhì)（b）試湊法確定形函數(shù)在坐標(biāo)系下，單元的四條邊界代入本點(diǎn)坐標(biāo)且令其等于1可求得（c）將式(c)代回式(b)且引入如下記號(hào)則形函數(shù)可寫(xiě)作可以驗(yàn)證廣義坐標(biāo)法和試湊法的結(jié)果完全相同。形函數(shù)的圖形如圖5-10。（5-46）（5-47）圖5-10雙線(xiàn)性單元形函數(shù)示意圖代入本點(diǎn)坐標(biāo)且令其等于1可求得（c）將式(c)代單元位移函數(shù)有了形函數(shù)，和三角形單元一樣，可由單元結(jié)點(diǎn)位移用下式構(gòu)造單元位移場(chǎng)（5-48）式中形函數(shù)矩陣為（5-49）單元協(xié)調(diào)性從式（5-44）或式（5-47）和式（5-48）可見(jiàn)位移函數(shù)中包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，并且從式（5-47）可驗(yàn)證，故完備性條件滿(mǎn)足。在單元邊界上，位移是按線(xiàn)性變化的，在相鄰單元邊界的結(jié)點(diǎn)位移協(xié)調(diào)的情況下，邊界位移也是協(xié)調(diào)的。因此這種單元式收斂的。單元位移函數(shù)有了形函數(shù)，和三角形單元一樣，可由單元結(jié)點(diǎn)

5-3-2應(yīng)變和應(yīng)力矩陣采用與三角形單元完全相同的分析方法和步驟可得一下結(jié)果：記為：應(yīng)變矩陣5-3-2應(yīng)變和應(yīng)力矩陣采用與三角形單元這里，B矩陣稱(chēng)為幾何矩陣。B矩陣可以表示為分塊矩陣的形式（5-50）其中（5-51）式中、為、方向單元邊長(zhǎng)的一半。這里，B矩陣稱(chēng)為幾何矩陣。B矩陣可以表示為分塊矩陣的形式應(yīng)力矩陣由物理方程及式幾何方程，可以得到單元的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式，其中為應(yīng)力矩陣，D稱(chēng)為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，應(yīng)力矩陣由物理方程及式幾何方程，可以得到單元的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式其中：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將E換為，換為。（5-52）（5-53）將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式其中：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將5-3-3單元?jiǎng)偠染仃嚭腿切螁卧粯?，可以根?jù)最小勢(shì)能原理導(dǎo)出結(jié)點(diǎn)位移向量和結(jié)點(diǎn)力向量之間關(guān)系，即單元的剛度矩陣，可以將其寫(xiě)成分塊的形式。其中如果單元厚度t為常數(shù)，則得到（5-55）（5-54）5-3-3單元?jiǎng)偠染仃嚭腿切螁卧粯?，可以根?jù)最小勢(shì)對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題（5-56）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將E換為，換為。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題（5-56）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將E換單元等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣（5-57）式（5-57）中后一項(xiàng)只有單元處于邊界且受表面力時(shí)才有。和三角形單元一樣，一些簡(jiǎn)單情況的等效荷載也可由靜力等效來(lái)得到。單元等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣（5-57）式（5-57）中后一項(xiàng)只5-5平面等參單元對(duì)于線(xiàn)性邊界問(wèn)題，矩形和三角形單元不僅精度低，而且必然產(chǎn)生離散誤差。如果通過(guò)縮小單元尺寸來(lái)改善計(jì)算結(jié)果，又將使未知量數(shù)目劇增。為了提高精度減少未知量，本節(jié)介紹一種工程有限元分析中廣泛應(yīng)用的“等參數(shù)單元（簡(jiǎn)稱(chēng)等參元）”。等參元的基本思想：首先建立規(guī)整形狀單元（稱(chēng)為母單元）的形函數(shù)，然后利用它做兩件事：（1）根據(jù)坐標(biāo)映射用母單元形函數(shù)和實(shí)際單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定所劃分單元的幾何形狀，這個(gè)實(shí)際劃分單元稱(chēng)為“子單元”；（2）利用母單元形函數(shù)和單元結(jié)點(diǎn)位移建立子單元的位移場(chǎng)。解決了這兩個(gè)問(wèn)題后，利用最小勢(shì)能原理，進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，就可以建立等參元的單元?jiǎng)偠确匠獭?-5平面等參單元對(duì)于線(xiàn)性邊界問(wèn)題，矩形和三角形

在平面問(wèn)題的有限單元法中，最簡(jiǎn)單也是常用的單元是具有三個(gè)結(jié)點(diǎn)的三角形單元，其次是具有四結(jié)點(diǎn)的矩形單元。這兩種單元形狀簡(jiǎn)單、規(guī)整，單元各基本矩陣如N、B、k、R’等的求解比較容易，具有顯式表示。并且三角形單元具有適應(yīng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，能應(yīng)用于曲折的幾何邊界，分布不均勻的材料類(lèi)型和梯度不等的應(yīng)力區(qū)域，但它的精度較低。而矩形單元具有精度較高、形狀規(guī)整、便于實(shí)現(xiàn)計(jì)算自動(dòng)化等優(yōu)點(diǎn)，但它的適應(yīng)性差，不便用于曲線(xiàn)邊界和非正交的直線(xiàn)邊界。對(duì)于材料不均勻的結(jié)構(gòu)和應(yīng)力梯度不等的區(qū)域也難以布置大小不等的網(wǎng)格。5-5-1基本概念現(xiàn)以任意四邊形等參元為例，說(shuō)明等參元的有關(guān)基本概念，為進(jìn)一步介紹打好基礎(chǔ)。在平面問(wèn)題的有限單元法中，最簡(jiǎn)單也是常用的單元是具有三個(gè)1、實(shí)際單元幾何形狀的描述，圖形變換圖5-14b為任一四結(jié)點(diǎn)四邊形單元（子單元）。在直角坐標(biāo)下要用一個(gè)解析的式子描述單元上的任意一點(diǎn)，也即確定其幾何形狀不太容易，為此選用自然坐標(biāo)表示四結(jié)點(diǎn)正方形單元做為參照（母單元），見(jiàn)圖5-14a。通過(guò)映射來(lái)實(shí)現(xiàn)從母單元到子單元之間的圖形變換。其實(shí)質(zhì)是建立兩個(gè)單元上所有點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。(a)母單元及試湊直線(xiàn)方程示意(b)等參元圖5-14四結(jié)點(diǎn)等參元示意1、實(shí)際單元幾何形狀的描述，圖形變換圖5-14b為任一四從母單元映射到任意子單元的映射關(guān)系可借子單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)為（5-58）若記單元任一點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣（簡(jiǎn)稱(chēng)坐標(biāo)矩陣），結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣和單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣分別為則式（5-58）可用矩陣形式表示如下（5-59）式中：為母單元的形函數(shù)矩陣。從母單元映射到任意子單元的映射關(guān)系可借子單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表由式（5-58）或式（5-59）可得如下結(jié)論由母單元形函數(shù)的性質(zhì)可知，通過(guò)映射可得到子單元結(jié)點(diǎn)直角坐標(biāo)母單元中某一坐標(biāo)線(xiàn)代入式（5-58），可得它是以為參變量的子單元整體xy坐標(biāo)系中直線(xiàn)的參數(shù)方程。也即映射結(jié)果是子單元的一條斜直線(xiàn)。母單元的正交坐標(biāo)軸映射到子單元上，得到一個(gè)斜角坐標(biāo)（以后的高階單元為曲線(xiàn)坐標(biāo)）軸，記作軸，因此，現(xiàn)在子單元有兩種坐標(biāo)，是整體坐標(biāo)，而是固定于單元的局部坐標(biāo)。當(dāng)母單元形函數(shù)確定后，再由各種具體問(wèn)題實(shí)際單元?jiǎng)澐炙_定的子單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，由式（5-59）關(guān)系，可映射得到所有實(shí)際單元，因此，關(guān)鍵是建立母單元的形函數(shù)。由于母單元直線(xiàn)經(jīng)式（5-59）映射后仍為直線(xiàn)，而兩個(gè)相鄰子單元的公共邊線(xiàn)有相同的結(jié)點(diǎn)，故映射后的兩子單元相鄰邊線(xiàn)處處吻合，不會(huì)產(chǎn)生分離和重疊。（5-60）由式（5-58）或式（5-59）可得如下結(jié)論（5-60）2、建立單元位移場(chǎng)由于坐標(biāo)既是母元的直角坐標(biāo)，又是等參元的曲線(xiàn)（現(xiàn)在是斜交直線(xiàn)）坐標(biāo)。母元的形函數(shù)是的函數(shù)，因此，等參元的位移場(chǎng)亦可仿母元的位移場(chǎng)建立如下：（5-61b）（5-61a）或式中：為母元的形函數(shù)；為子元中任意一點(diǎn)的位移；為子元的結(jié)點(diǎn)位移。2、建立單元位移場(chǎng)由于坐標(biāo)既是3、幾點(diǎn)說(shuō)明等參元的位移分布與母元的位移分布即使在結(jié)點(diǎn)位移相同的情況下也可能是不同的。單元位移場(chǎng)與單元幾何形狀都是用相同的形函數(shù)構(gòu)造的，并用相同個(gè)數(shù)的結(jié)點(diǎn)參數(shù)來(lái)描述，因此稱(chēng)這類(lèi)單元為等參數(shù)單元。若由結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值構(gòu)造單元幾何形狀所用的形函數(shù)比結(jié)點(diǎn)位移插值構(gòu)造單元位移場(chǎng)的形函數(shù)階次低，并且所用的結(jié)點(diǎn)參數(shù)個(gè)數(shù)少，則稱(chēng)為亞參元。反之，若階次高，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)多，則稱(chēng)為超參元。3、幾點(diǎn)說(shuō)明等參元的位移分布與母元的位移分布即使在結(jié)點(diǎn)位移相4、兩類(lèi)坐標(biāo)系之間導(dǎo)數(shù)的變換關(guān)系

形函數(shù)矩陣[N]只是局部坐標(biāo)ξ,η的顯函數(shù),為求形函數(shù)對(duì)整體坐標(biāo)x,y的偏導(dǎo)數(shù)，必須用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式:或?qū)懗桑海?-62）（5-63）4、兩類(lèi)坐標(biāo)系之間導(dǎo)數(shù)的變換關(guān)系形函數(shù)矩陣將式（5-58）代入式（5-63）則有由式（5-64）可得（5-64）（5-65）將式（5-58）代入式（5-63）則有由式（5-64）可得式中稱(chēng)為雅可比矩陣。而

（5-66）稱(chēng)為雅可比行列式?；谑剑?-65）和

式（5-66）對(duì)于平面問(wèn)題的微分算子矩陣為式中稱(chēng)為雅可比矩陣。而（5-66）稱(chēng)為雅可（5-67）式中（5-68）（5-69）（5-67）式中（5-68）（5-69）雅可比矩陣計(jì)算示例單元a雅可比矩陣計(jì)算示例單元a單元b單元b單元c單元c1、八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元5-5-2幾種常用單元描述和位移模式圖5-15給出了八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元母元與子元示意圖，四邊形等參元四結(jié)點(diǎn)曾加到八結(jié)點(diǎn)，一方面可以進(jìn)一步提高精度，另一面又可擬合曲邊界線(xiàn)，因而此單元用途比較廣。母元的形函數(shù)八結(jié)點(diǎn)四邊形等參元母元是八結(jié)點(diǎn)正方形單元（圖5-15a），除四個(gè)角頂結(jié)點(diǎn)外，還取四邊中點(diǎn)作為新結(jié)點(diǎn)。根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)，可直接由試湊法得到八個(gè)形函數(shù)。下面介紹由低階母元形函數(shù)按統(tǒng)一方法生成高階母元形函數(shù)的步驟。1、八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元5-5-2幾種常用單元描述(a)母單元及試湊法方程示意圖(b)等參元圖5-15八結(jié)點(diǎn)等參元示意(a)母單元及試湊法方程示意圖(b)等參元圖5-15(1)根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)，用試湊法建立邊界上新增結(jié)點(diǎn)函數(shù)。對(duì)八結(jié)點(diǎn)等參元為（2）計(jì)算低階母元函數(shù)在新增結(jié)點(diǎn)處的值，對(duì)八結(jié)點(diǎn)等參元分別為：(1)根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)，用試湊法建立邊界上新

（3）對(duì)低階母元角頂結(jié)點(diǎn)形函數(shù)進(jìn)行“它點(diǎn)為零的修正”。例如八結(jié)點(diǎn)等參元的N1為：（3）對(duì)低階母元角頂結(jié)點(diǎn)形函數(shù)進(jìn)行“它點(diǎn)為零的修不難驗(yàn)證直接試湊和統(tǒng)一方法所得的結(jié)果完全相同。八結(jié)點(diǎn)等單元的全部形函數(shù)為：（5-70）不難驗(yàn)證直接試湊和統(tǒng)一方法所得的結(jié)果完全相同。八或是寫(xiě)成如下形式（5-71）四邊形十二結(jié)點(diǎn)等參元參考教材119頁(yè)【例題5-7】或是寫(xiě)成如下形式（5-71）四邊形十二結(jié)點(diǎn)等參元位移場(chǎng)按照等參元建立位移場(chǎng)思路，八結(jié)點(diǎn)四邊形等參元的位移模式可由八結(jié)點(diǎn)母元形函數(shù)構(gòu)造得到:或（5-73a）（5-73b）位移場(chǎng)按照等參元建立位移場(chǎng)思路，八結(jié)點(diǎn)四邊形等參補(bǔ)充：拉氏族單元（矩形單元）拉格朗日插值：例：邊長(zhǎng)為2其他形函數(shù)自行推出。補(bǔ)充：拉氏族單元（矩形單元）拉格朗日結(jié)點(diǎn)的等效荷載結(jié)點(diǎn)的等效荷載2、六結(jié)點(diǎn)三角形等參元圖5-17給出了用面積坐標(biāo)表示的六結(jié)點(diǎn)三角形母元及六結(jié)點(diǎn)三角形等參元示意。(a)母單元及試湊法方程示意圖(b)等參元圖5-15六結(jié)點(diǎn)三角形等參元示意2、六結(jié)點(diǎn)三角形等參元圖5-17給出了用面積坐標(biāo)母元的形函數(shù)在面積坐標(biāo)下，由直接試湊或統(tǒng)一方法可得六結(jié)點(diǎn)三角形等參元形函數(shù)為（5-74b）（5-74a）角結(jié)點(diǎn)邊中點(diǎn)三角形十結(jié)點(diǎn)等參元參考120頁(yè)【例題5-8】。母元的形函數(shù)在面積坐標(biāo)下，由直接試湊或統(tǒng)一方法可圖形變換根據(jù)等參元定義，子單元形狀可由下式確定或式中又子單元的六個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分量所組成。（5-75）圖形變換根據(jù)等參元定義，子單元形狀可由下式確定位移場(chǎng)根據(jù)等參元定義，六結(jié)點(diǎn)三角形等參元的位移模式，可由母元形函數(shù)構(gòu)造而成。即或（5-76）位移場(chǎng)根據(jù)等參元定義，六結(jié)點(diǎn)三角形等參元的位移模補(bǔ)充：索氏單元（三角形單元）索氏插值：函數(shù)構(gòu)造就是選擇能蓋著其他點(diǎn)的直線(xiàn)的乘積。例：二次單元其他形函數(shù)自行推出。補(bǔ)充：索氏單元（三角形單元）索氏插值三次或三次以上單元例：

其他形函數(shù)自行推出。三次或三次以上單元例：5-5-3等參元單元特性分析建立了上述三個(gè)單元的位移場(chǎng)后，可按統(tǒng)一的單元分析步驟進(jìn)行推導(dǎo)，得出各自的單元?jiǎng)偠染仃嚒?、分析的基礎(chǔ)單元應(yīng)變場(chǎng)式中（5-77）（5-78）（5-79）5-5-3等參元單元特性分析建立了上述三其中（5-80）單元應(yīng)力場(chǎng)單元總勢(shì)能將位移、應(yīng)變和應(yīng)力代入最小勢(shì)能原理表達(dá)式，可得（5-81）（5-82）其中（5-80）單元應(yīng)力場(chǎng)單元總勢(shì)能將位移、應(yīng)變2、微面積及微弧長(zhǎng)的計(jì)算

為由積分得到單元?jiǎng)偠确匠?，尚需解決規(guī)