揚州大學《線性代數(shù)》11行列式定義課件

上課7/31/20231第一章行列式上課7/31/20231第一章行列式緒論線性代數(shù)是是中學代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。一、課程內(nèi)容“線性”即一次，一次函數(shù)、方程、不等式均稱為線性的。本課程一重要內(nèi)容——解含n個未知數(shù)、m個方程的任一線性方程組。課程給出了一套有關線性方程組的理論，其中用到一些新知識，如矩陣(Ch2)、向量(Ch3)及相關概念。行列式(Ch1)與矩陣概念是人們從求解線性方程組的需要中建立起來的，又遠遠越出求解線性方程組的范圍，成為重要的數(shù)學工具。矩陣在眾多數(shù)學分支以及自然科學、現(xiàn)代經(jīng)濟學、緒論線性代數(shù)是是中學代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。一、課程內(nèi)工程技術等方面也有廣泛應用。教材在Ch4進一步研究矩陣的有關問題，Ch5也以矩陣為工具。二、課程應用線性問題廣泛存在于自然科學、管理科學和技術科學的各個領域，某些非線性問題在一定條件下也可以線性化，在線性問題中一次不等式又可以通過引進新變量轉(zhuǎn)化為等式(“線性規(guī)劃”課程)——即線性方程。因此線性代數(shù)的概念和方法應用廣泛，尤其計算機的應用使得復雜的線性模型得以迅速、準確求解。7/31/20233第一章行列式工程技術等方面也有廣泛應用。教材在Ch4進一步研究矩陣的有關三、課程特點學習方法五、參考書目1.《練習卷》2.《線性代數(shù)學習指導》代數(shù)繁且抽象。只有一步步穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能學好.預習適當筆記適時復習獨立作業(yè)及時小結(jié)四、作業(yè)要求:及時、獨立完成;格式;上交時間.7/31/20234第一章行列式三、課程特點學習方法五、參考書目1.《練習卷》2.《線性代數(shù)第一章行列式7/31/20235第一章行列式第一章行列式7/31/20235第一章行列式來源:解線性方程組考慮用消元法解為了求x1,需先消去x2,于是當時,1.1行列式的定義一.二、三階行列式1.二階行列式7/31/20236第一章行列式來源:解線性方程組考慮用消元法解為了求x1,需先消去x2類似有:這就是兩個未知量兩個方程的線性方程組在條件下的公式解.公式解的缺點:不便于記憶改進方法:引入新記號定義一:令并把此式叫做一個二階行列式.(結(jié)果是個數(shù))等式左端是記號,右端是行列式的算法.(兩行兩列四元素組成)(兩項的代數(shù)和)7/31/20237第一章行列式類似有:這就是兩個未知量兩個方程的線性方程組在條件下的公式解公式解的便于記憶形式記法:(2)x1、x2分子不同,其行列式分別是把系數(shù)行列式中x1、x2的系數(shù)列換成常數(shù)項列(保持原有的上下相對位置)所得行列式.(1)x1,x2分母的行列式由方程中未知數(shù)系數(shù)按其原有的相對位置排成——“系數(shù)行列式”7/31/20238第一章行列式公式解的便于記憶形式記法:(2)x1、x2分子不同,其行定義二:令并把此式叫做一個三階行列式.等式左端是記號,右端是行列式的展式.aij:第i行第j列的元素它可以由一個很簡單的規(guī)則來說明——即三階行列式的對角線規(guī)則.(三行三列九元素組成)(六項的代數(shù)和)2.三階行列式7/31/20239第一章行列式定義二:令并把此式叫做一個三階行列式.等式左端是記號,右端是可以驗證，三元線性方程組的解當D≠0時可以表示為:7/31/202310第一章行列式可以驗證，三元線性方程組的解當D≠0時可以表示為:7/31其中:例1解方程組D＝D1＝D2＝D3＝7/31/202311第一章行列式其中:例1解方程組D＝D1＝D2＝D3＝7/31/202解所以:D＝D1=D2=D3=3×(-1)×(-1)=＋1×2×1＋(-1)×2×1－(-1)×(-1)×1－1×2×(-1)－3×2×1＝－2=2－2－1＋2=1=－12=－97/31/202312第一章行列式解所以:D＝D1=D2=D3=3×(-1)×(-1)=＋1×小結(jié):引入二(三)階行列式使二(三)元線性方程組的公式解具有同樣的規(guī)律.人們自然想把這一規(guī)律推廣到n(n>3)個未知量的線性方程組的解法上.顯然,能否推廣關鍵在于怎樣恰當?shù)囟x——二.n階行列式1.二、三階行列式的推廣四階行列式：42個元素組成n階行列式：n2個元素組成——n階行列式的形式n階行列式的實質(zhì)?7/31/202313第一章行列式小結(jié):引入二(三)階行列式使二(三)元線性方程組的公式解具有表示代數(shù)和——每項組成?共多少項?各項符號?觀察三階行列式展開式的特點思考上述問題：(1)每項組成:(2)多少項:四階行列式共4!＝24項，對角線僅8條，(3)各項符號:四階以上是否適用？取自不同行不同列的三元之積.由排列組合知識，共3!＝6項.有多少不同行、不同列的三元之積?對角線法則.對角線法則對四階以上行列式不適用。為確定行列式展式中各項符號,先介紹排列理論表示代數(shù)和——每項組成?共多少項?各項符號?觀察三階行列式展(1)排列:自然數(shù)1,2,…,n組成的一個有序數(shù)組i1i2…in稱為一個n級(元)排列.例123、231、312、…自然排列:(2)逆序:大數(shù)碼排在小數(shù)碼前面,稱兩者構(gòu)成一個逆序.排列中的逆序總數(shù)稱作逆序數(shù),記2.排列的逆序數(shù)51243、41352、…五級排列.不是排列.1242三級排列,共3!＝6種；一般排列：不按自然數(shù)順序排列.例22+1+1=4;=0;=5;按自然數(shù)順序排列(左數(shù)碼<右數(shù)碼)=n-1+n-2+…+2+1=(1)排列:自然數(shù)1,2,…,n組成的一個有序數(shù)組i1i2(3)

奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列上例③逆序數(shù)為0,是偶排列.n=4k或4k＋1,偶排列;n=4k＋2或4k＋3,奇排列.(4)排列的對換:排列經(jīng)對換后逆序數(shù)改變.奇偶性是否改變?定理1對換改變排列的奇偶性。

證

①對換相鄰數(shù)碼：，②一般對換：，對換(i,j)可看成:i

經(jīng)s+1次相鄰對換得j再經(jīng)s次相鄰對換得奇偶性共改變2s+1次。逆序數(shù)增加或減少1④對換(is,

it)7/31/202316第一章行列式(3)奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列上例③逆序數(shù)為0,是定理2全體n(n>1)級排列的集合中，奇、偶排列各占一半。

證:設n!個排列中奇、偶排列分別有p、q個.將p個奇排列經(jīng)同一對換如(1，2)可得p個偶排列,故p≤q；同理可得q≤p.所以p＝q推論

奇(偶)排列可經(jīng)奇(偶)數(shù)次對換變成自然排列利用排列的逆序數(shù)可確定行列式中各項的符號.先看三階行列式中各項符號有何規(guī)律.各項正負號與列標排列:正號:123,231,312負號:321,213,132(偶排列)(奇排列)定理2全體n(n>1)級排列的集合中，奇、偶排列各占一定義：用符號表示的n階行列式指的是——n!項的代數(shù)和;這些項是一切可能的取自表(1)的不同行與不同列的n個元素的乘積；項的符號為故3.n階行列式記作：7/31/202318第一章行列式定義：用符號表示的n階行列式指的是——n!項的代數(shù)和;這些項determinant簡記作易證：(也可)特別:n=1,一階行列式(與絕對值的區(qū)別!)|a|＝adeterminant簡記作易證：(也可)特別:n=1,一上三角形行列式

下三角形行列式

對角形行列式

例3

4.

特殊行列式＝a11a22…ann＝＝＝a1na2n-1…an120上三角形行列式下三角形行列式對角形行列式例3

4.

例4.用行列式定義計算：

＝2005!＝(－1)2005!＝2005!7/31/202321第一章行列式例4.用行列式定義計算：＝例5.設問dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中項？符號?,求f(x)的最高次項.例6.dx3y2z1列4321,＋.by3x1z4行1234,列2314.－.行1324,ax1y3z2列1132,不是D中項.行1234,＝－90x4(或:行1234,列2134)7/31/202322第一章行列式例5.設問dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2解:根據(jù)定義,D是一個4!＝24項的代數(shù)和.這24項中除了acfh,adeh,bdeg,bcfg四項外,其余項都至少含一個因子0,因而等于零.acfh對應列排列是1234adeh對應列排列是1324bdeg對應列排列是4321bcfg對應列排列是4231例7