第九章-彈性體振動(dòng)課件

第九章彈性體振動(dòng)彈性體的振動(dòng)：

1、連續(xù)體振動(dòng)

2、振動(dòng)時(shí)處于彈性階段，材料均勻、各相同性連續(xù)體(結(jié)構(gòu))：弦、桿、軸

梁、板、

殼、

一般彈性體研究方法：取微段，列平衡方程離散體的振動(dòng)：

研究每個(gè)自由度處的運(yùn)動(dòng)和外力之間的關(guān)系研究連續(xù)體每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與外力的關(guān)系坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)第九章彈性體振動(dòng)彈性體的振動(dòng)：

1、連續(xù)體振動(dòng)

2、振動(dòng)1樂器為何能發(fā)出不同音調(diào)、不同音色的聲音？樂器為何能發(fā)出不同音調(diào)、2§9-1、弦的振動(dòng)一、弦的振動(dòng)方程

弦長(zhǎng)弦的線質(zhì)量密度弦的張力弦：柔軟；張力近似為常量；略去重力和阻尼；微幅振動(dòng)§9-1、弦的振動(dòng)一、弦的振動(dòng)方程弦長(zhǎng)弦：柔軟；3設(shè)弦只沿y軸振動(dòng)設(shè)弦只沿y軸振動(dòng)4弦的動(dòng)力學(xué)方程為偏微分方程初始條件邊界條件求主振動(dòng)：代入微分方程：波動(dòng)方程二、方程求解弦的動(dòng)力學(xué)方程為偏微分方程初始條件邊界條件求主振動(dòng)：代入微分5（1）（2）初始條件邊界條件C1～C4為待定系數(shù)振型函數(shù)：固有頻率：主振動(dòng)：邊界條件（1）（2）初始條件邊界條件C1～C4為待定系數(shù)振型函數(shù)：6初始條件由振型函數(shù)的正交性方程解(任意振動(dòng))：Ai、Bi為待定系數(shù)，如何確定？主振動(dòng)：振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)：初始條件初始條件由振型函數(shù)的正交性方程解(任意振動(dòng))：Ai、Bi為7音調(diào)：基頻的大小音色：諧波的組成（主振動(dòng)疊加多少）——由激勵(lì)條件確定◎樂器中弦的振動(dòng)弦任意初始條件的振動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？由于主振動(dòng)頻率相差整數(shù)倍，疊加后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)與F和l有關(guān)音調(diào)：基頻的大小◎樂器中弦的振動(dòng)弦任意初始條件的振動(dòng)一定是簡(jiǎn)8解：初始條件例：設(shè)張緊弦在初始時(shí)刻被撥到所示位量，然后無初速地釋放．求弦的自由振動(dòng)．

解：初始條件例：設(shè)張緊弦在初始時(shí)刻被撥到所示位量，9寫出級(jí)數(shù)的前四項(xiàng)寫出級(jí)數(shù)的前四項(xiàng)10連續(xù)體與離散體振動(dòng)求解的區(qū)別與聯(lián)系有限質(zhì)點(diǎn)系連續(xù)體系模型特點(diǎn)理想的質(zhì)剛分離簡(jiǎn)化模型實(shí)際的質(zhì)量剛度連續(xù)分布模型自由度數(shù)有限自由度無限自由度振動(dòng)方程常微分方程組單一偏微分方程頻率方程高次代數(shù)方程超越方程固有頻率有限個(gè)無限個(gè)振型各自由度系數(shù)比振型函數(shù)解特點(diǎn)近似解精確解應(yīng)用復(fù)雜結(jié)構(gòu)工程計(jì)算，實(shí)用簡(jiǎn)單構(gòu)件，精確解，理論探討連續(xù)體與離散體振動(dòng)求解的區(qū)別與聯(lián)系有限質(zhì)點(diǎn)系連續(xù)體系模型特點(diǎn)11桿件——細(xì)而長(zhǎng)的構(gòu)件。一、直桿縱向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程平截面假定、忽略橫向位移。x處微元段dx，考慮線性（小位移）問題?；⒖硕汕髴?yīng)力及內(nèi)力：微元段上的慣性力：

§9-2、桿的縱向振動(dòng)桿件——細(xì)而長(zhǎng)的構(gòu)件?！?-2、桿的縱向振動(dòng)12達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動(dòng)方程：整理得：其中：直桿縱向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程對(duì)等截面直桿：令：表示波的傳播速度波動(dòng)方程(同弦振動(dòng))達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動(dòng)方程：整理得：其中：直桿縱向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程13系數(shù)由邊界和初始條件確定求主振動(dòng)(分離變量)二、方程求解代入微分方程為振型函數(shù)，表示桿振動(dòng)形狀系數(shù)由邊界和初始條件確定求主振動(dòng)(分離變量)二、方程求解代入14位移邊界條件(同弦振動(dòng)邊界)：三、不同邊界條件下的解1、兩端固定桿頻率方程固有頻率位移邊界條件(同弦振動(dòng)邊界)：三、不同邊界條件下的解1、兩端15第一二階振型如圖所示：頻率方程固有頻率振型函數(shù)(主振型)節(jié)點(diǎn)：振型函數(shù)中振幅為零的點(diǎn)。第n階主振型有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)第一二階振型如圖所示：頻率方程固有頻率振型函數(shù)節(jié)點(diǎn)：振型函數(shù)16振動(dòng)全解:Ai、Bi由初始條件確定振動(dòng)全解:Ai、Bi由初始條件確定172、兩端自由桿邊界條件：應(yīng)力邊界頻率方程：固有頻率：主振型：2、兩端自由桿邊界條件：應(yīng)力邊界頻率方程：固有頻率：主振型：18固有頻率：主振型：第一二階振型如圖所示：第n階主振型有n個(gè)節(jié)點(diǎn)固有頻率：主振型：第一二階振型如圖所示：第n階主振型有n個(gè)節(jié)19振動(dòng)全解:Ai、Bi由初始條件確定兩端固定桿：振動(dòng)全解:Ai、Bi由初始條件確定兩端固定桿：203、一端固定、一端自由桿邊界條件：位移邊界頻率方程：固有頻率：主振型：應(yīng)力邊界3、一端固定、一端自由桿邊界條件：位移邊界頻率方程：固有頻率21第一二階振型如圖所示：固有頻率：主振型：振動(dòng)全解:Ai、Bi由初始條件確定第一二階振型如圖所示：固有頻率：主振型：振動(dòng)全解:Ai、Bi22振動(dòng)全解:固有頻率：振動(dòng)全解:固有頻率：23例題求軸向力在時(shí)突然釋放時(shí)的振動(dòng)反應(yīng)初始條件：，各點(diǎn)應(yīng)變：解：將代入：→用乘兩邊沿全桿積分：

例題求軸向力在時(shí)突然釋放時(shí)的振動(dòng)反應(yīng)24利用求得：

第九章-彈性體振動(dòng)ppt課件25帶有端點(diǎn)條件桿的振動(dòng)端點(diǎn)條件：端點(diǎn)帶有彈簧或質(zhì)量。持續(xù)存在的與u成

正比的縱向回復(fù)力持續(xù)存在的與a成

正比的縱向慣性力邊界條件：

由條件1：由條件2：

振型：帶有端點(diǎn)條件桿的振動(dòng)端點(diǎn)條件：端點(diǎn)帶有彈簧或質(zhì)量。持續(xù)存在的26

平截面假定、橫截面繞圓心軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度dx微元段，根據(jù)材料力學(xué)：微元段上的慣性力矩：達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動(dòng)方程：整理得：圓軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程§9-3、圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)§9-3、圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)27對(duì)等直桿，→a為剪切波傳播速度。波動(dòng)方程與直桿縱向振動(dòng)相同通解：4個(gè)常數(shù)由邊界條件及初始條件確定（1）兩端固定的軸固有頻率：主振動(dòng)：

對(duì)等直桿，28（2）兩端自由的軸固有頻率：主振動(dòng)：（3）一端固定、一端自由的軸固有頻率：主振動(dòng)：（2）兩端自由的軸29梁變形：軸向變形薄形長(zhǎng)梁歐拉梁：不考慮剪切變形1、中性軸無軸向變形2、橫截面變形前后均為平面，且垂直于中性軸3、忽略振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩考慮剪切變形的Timoshenko梁,第二條假定不成立彎曲變形：引起垂直于中性軸的平面發(fā)生旋轉(zhuǎn)剪切變形:引起垂直于中性軸的平面與中性軸的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)(不再垂直)深梁§9-4、梁的橫向自由振動(dòng)梁變形：軸向變形薄形長(zhǎng)梁歐拉梁：1、中性軸無軸向變形考慮剪切309.4.1梁的橫向振動(dòng)微分方程平截面假定、忽略軸向位移及截面轉(zhuǎn)動(dòng)、忽略剪切變形。

歐拉梁的變形方程：梁自由振動(dòng)時(shí)分布慣性荷載：得：梁橫向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程第九章-彈性體振動(dòng)ppt課件31對(duì)等直桿，分離變量法求解：代入→兩個(gè)微分方程：解：為振動(dòng)固有頻率為相位角解：為振型函數(shù)表示桿振動(dòng)形狀的主振動(dòng)解：6個(gè)常數(shù)由邊界條件及初始條件確定對(duì)等直桿，329.4.2兩端簡(jiǎn)支梁的橫向振動(dòng)振型函數(shù)：簡(jiǎn)支梁的邊界條件：頻率方程：固有頻率：主振型：全解：

9.4.2兩端簡(jiǎn)支梁的橫向振動(dòng)339.4.3懸臂梁的橫向振動(dòng)懸臂梁的邊界條件：9.4.3懸臂梁的橫向振動(dòng)懸臂梁的邊界條件：34頻率方程：固有頻率：→主振型：

頻率方程：35各種邊界條件下橫梁的固有頻率

兩端自由兩端固定一端固定一端自由一端固定一端簡(jiǎn)支簡(jiǎn)圖邊界條件頻率方程各種邊界條件下橫梁的固有頻率

兩端自由兩端固定一端固定一端固369.4.4考慮軸力影響梁的彎曲振動(dòng)9.4.4考慮軸力影響梁的彎曲振動(dòng)37考慮軸力影響梁的彎曲振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程考慮軸力影響梁的彎曲振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程389.4.5梁的剪切振動(dòng)歐拉梁：不考慮剪切變形1、中性軸無軸向變形2、橫截面變形前后均為平面，且垂直于中性軸3、忽略振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩考慮剪切變形的Timoshenko梁,第二條假定不成立剪切變形:引起垂直于中性軸的平面與中性軸的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)(不再垂直)深梁9.4.5梁的剪切振動(dòng)歐拉梁：1、中性軸無軸向變形考慮剪39梁的純剪切振動(dòng)特點(diǎn)：平截面間只有錯(cuò)動(dòng)，無轉(zhuǎn)動(dòng)，即彎矩造成的彎曲變

形可以忽略.

適用環(huán)境：深梁（l<=2h~3h）

微段平衡：邊界條件：

波動(dòng)方程

分離變量得振型方程:梁的純剪切振動(dòng)特點(diǎn)：平截面間只有錯(cuò)動(dòng)，無轉(zhuǎn)動(dòng)，即彎矩造成的彎40類比：

解完全相同。類比：

解完全相同。41彎曲變形和剪切變形都將引起中性軸的撓曲9.4.6考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的橫向振動(dòng)剪應(yīng)變彎曲變形和剪切變形都將引起中性軸的撓曲9.4.6考慮剪切42第九章-彈性體振動(dòng)ppt課件43利用(1)(2)(3)式中消去Q和g得到y(tǒng)的微分方程由(3)由(1)利用(1)(2)(3)式中消去Q和g得到y(tǒng)的微分方程由(3)44

由(1)(2)將(5)(6)代入(4)由(1)(2)將(5)(6)代入(4)459.4.7彈性地基上梁的振動(dòng)溫克爾假定：

分離變量：

振動(dòng)方程：

解得a后:振型方程：

設(shè)：

振型方程與梁振動(dòng)完全相同。9.4.7彈性地基上梁的振動(dòng)溫克爾假定：

分離變量：

46

9.4.8哈密頓原理在梁橫向振動(dòng)中的應(yīng)用

（1）梁振動(dòng)微分方程設(shè)梁中性軸橫向變形為：；距中性軸y處任意點(diǎn)的軸向位移：→梁的動(dòng)能與勢(shì)能：

47代入哈密爾頓原理：動(dòng)能：式中，(t1,t2時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)給定)勢(shì)能：外力虛功：梁兩端彎矩、剪力的虛功：代入哈密爾頓原理：48代入哈密爾頓原理后：若為位移邊界條件，則邊界上的變分均為零，故有由于變分的任意性，有梁橫向振動(dòng)微分方程：若有力的邊界條件：例如處位移和轉(zhuǎn)角未給定，則有若無外力作用，則有：都可得到相同的振動(dòng)微分方程。代入哈密爾頓原理后：499.4.9主振型的正交性多自由度系統(tǒng)主振型正交性→推廣到連續(xù)彈性體。多自由度系統(tǒng)求和形式→連續(xù)彈性體積分形式。設(shè)為彈性體各階主振型，一般振動(dòng)u可表示為：式中，稱為第i個(gè)廣義坐標(biāo)。設(shè)彈性體的分布質(zhì)量為和分布剛度，則主振型的正交性可表示為：9.4.9主振型的正交性50

對(duì)梁，主振型的正交性可表示為：而對(duì)等截面均質(zhì)梁：主振型正交性的證明（以等截面均質(zhì)梁為例）梁的頻率方程：設(shè)兩個(gè)主振型滿足：分別用和乘上兩式，相減后并沿梁全長(zhǎng)積分：對(duì)右邊第一式進(jìn)行分部積分：

對(duì)梁，主振型的正交性可表示為：51對(duì)右邊第一式進(jìn)行分部積分：同理對(duì)右邊第二式：代入得上式對(duì)梁兩端無論固支、鉸支、自由，右邊均為零，（位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力）故有

對(duì)右邊第一式進(jìn)行分部積分：529.4.10梁的受迫振動(dòng)（以梁為例）梁橫向受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程對(duì)等截面勻質(zhì)直梁，忽略自由振動(dòng)部分，求穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解。基于振型疊加原理求解：（設(shè)主振型已求得）代入得：由于主振型滿足，代入得將上式乘以并沿全梁積分，9.4.10梁的受迫振動(dòng)（以梁為例）53根據(jù)振型正交性，可得設(shè)廣義力：；廣義質(zhì)量：→得解耦單自由度體系受迫振動(dòng)方程：代回得解。根據(jù)振型正交性，可得54例題：計(jì)算簡(jiǎn)支梁在均布簡(jiǎn)諧激振荷載作用下，梁的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。由前知，固有頻率與主振型為：計(jì)算廣義力：計(jì)算廣義質(zhì)量：代入：→→代回得解：例題：計(jì)算簡(jiǎn)支梁在均布簡(jiǎn)諧激振荷載作用559.5彈性體自由振動(dòng)一、一般彈性體的動(dòng)力學(xué)方程物理方程：平衡方程:幾何方程：9.5彈性體自由振動(dòng)一、一般彈性體的動(dòng)力學(xué)方程物理方56幾何方程代入物理方程代入平衡方程：彈性體動(dòng)力學(xué)方程幾何方程代入物理方程代入平衡方程：彈性體動(dòng)力學(xué)方程57二、彈性體動(dòng)力學(xué)變分原理代入幾何方程并在整個(gè)彈性體內(nèi)積分：形變勢(shì)能（彈性變形能、比能）二、彈性體動(dòng)力學(xué)變分原理代入幾何方程并在整個(gè)彈性體內(nèi)積分：形58經(jīng)分部積分和變分運(yùn)算：動(dòng)能：由哈密頓原理:經(jīng)分部積分和變分運(yùn)算：動(dòng)能：由哈密頓原理:59由變分的任意性,可得到每個(gè)括號(hào)內(nèi)的部分等于零動(dòng)力學(xué)方程+力邊界條件由變分的任意性,可得到每個(gè)括號(hào)內(nèi)的部分等于零動(dòng)力學(xué)方程+力邊60彈性體振動(dòng)分析:1、建立運(yùn)動(dòng)微分方程2、求解主振動(dòng)3、求解自由振動(dòng)4、求解強(qiáng)迫振動(dòng)彈性體振動(dòng)分析:1、建立運(yùn)動(dòng)微分方程619.5板的橫向自由振動(dòng)平板：中面為一平面的扁平連續(xù)體薄板：厚度遠(yuǎn)小于中面平面尺寸承受垂直于中面的橫向荷載發(fā)生垂直于中面的橫向撓曲橫向振動(dòng)彈性薄板橫向振動(dòng)小撓度理論的基本假定：1、變形前垂直于中面的直線在變形后仍為直線，長(zhǎng)度不變，并保持與中面垂直2、忽略沿中面垂直方向的法向應(yīng)力3、只記入振動(dòng)時(shí)的慣性力，而略去慣性力矩4、無沿中面內(nèi)方向的變形9.5板的橫向自由振動(dòng)平板：中面為一平面的扁平連續(xù)體62中面撓曲函數(shù)假定(4)結(jié)論:1、u、v沿厚度方向線性分布，并與撓曲面在該處沿x、y方向的斜率有關(guān)2、各點(diǎn)應(yīng)變分量沿厚度方向線性分布，并與撓曲面的曲率或扭曲率有關(guān)9.5.1薄板振動(dòng)微分方程的建立基本微分方程中面撓曲函數(shù)假定(4)結(jié)論:9.5.1薄板振動(dòng)微分方程的63應(yīng)力分量：內(nèi)力分量：抗彎剛度：應(yīng)力分量：內(nèi)力分量：抗彎剛度：64運(yùn)動(dòng)方程(忽略慣性力矩)由(1)(2)可得剪力表達(dá)式代入(3)運(yùn)動(dòng)方程(忽略慣性力矩)由(1)(2)可得剪力表達(dá)式代入(3659.5.1矩形板的橫向自由振動(dòng)等厚度板橫向自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程第九章-彈性體振動(dòng)ppt課件66單向板的振動(dòng)單向板：撓曲函數(shù)只與空間一維坐標(biāo)有關(guān)。板自由振動(dòng)的求解：振型、頻率適用情況：當(dāng)矩形板的兩對(duì)邊無限延伸或相當(dāng)長(zhǎng)，且邊界條件均勻；或矩形板中兩短邊自由，長(zhǎng)邊邊界條件均勻，其遠(yuǎn)離自由邊的板中間部分分析可按單向板處理與梁振動(dòng)微分方程相同單向板的振動(dòng)單向板：撓曲函數(shù)只與空間一維坐標(biāo)有關(guān)。板自由67求解：代入方程得到兩個(gè)常微分方程：其中：令：代入邊界條件可得到頻率方程，求得振型和頻率求解：代入方程得到兩個(gè)常微分方程：其中：令：代入邊界條件可得68固定-固定板：自由－自由板：自由－簡(jiǎn)支板固定－簡(jiǎn)支板：固定－自由板固定-固定板：自由－自由板：自由－簡(jiǎn)支板固定－簡(jiǎn)支板：固定－69單向板頻率系數(shù)單向板頻率系數(shù)70單向板振型系數(shù)單向板振型系數(shù)71四邊簡(jiǎn)支板的振動(dòng)代入方程得到兩個(gè)微分方程：設(shè)：令：其中：w為振動(dòng)固有頻率f為相位角四邊簡(jiǎn)支板的振動(dòng)代入方程得到兩個(gè)微分方程：設(shè)：令：其中：72四邊簡(jiǎn)支板邊界條件（位移與彎矩為零）：設(shè)解為：代入得頻率方程：固有頻率：其中：頻率系數(shù)：與階次及長(zhǎng)寬比有關(guān)四邊簡(jiǎn)支板設(shè)解為：固有頻率：其中：頻率系數(shù)：73固有頻率：通解：對(duì)最低階振型見圖。位移為零的線稱為節(jié)線

固有頻率：

74固支邊界條件（位移與轉(zhuǎn)角為零）：自由邊界條件（彎矩與剪力為零）：難于求得解析解，可查表得固有頻率。例如對(duì)正方形板的固有頻率為四邊固支條件下的固有頻率：振型見圖

其他邊界條件板的振動(dòng)其他邊界條件板的振動(dòng)759.5.2適用于求解各種邊界條件矩形板的梁函數(shù)組合法梁函數(shù)組合法：對(duì)一般邊界條件矩形板固有振動(dòng)分析中，采用的雙向梁函數(shù)組合級(jí)數(shù)逼近的近似方法。當(dāng)矩形板一個(gè)方向特別長(zhǎng)，則另一方向的振型十分接近相應(yīng)邊界條件的梁的振型函數(shù)。當(dāng)兩邊長(zhǎng)度較為接近時(shí)，板的主要區(qū)域的振型也十分接近于兩個(gè)方向相應(yīng)邊界條件梁函數(shù)的乘積。為相應(yīng)邊界條件的梁函數(shù)9.5.2梁函數(shù)組合法：對(duì)一般邊界條件矩形板固有振動(dòng)分析76多項(xiàng)組合法：撓度振型可近似設(shè)為：分別為x、y方向相應(yīng)邊界條件的m與n階梁振型函數(shù)懸臂梁(固定-自由邊界條件)的梁函數(shù)：簡(jiǎn)支梁(簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件)的梁函數(shù)：自由－自由已知待定系數(shù)為如何確定？這時(shí)，梁函數(shù)已經(jīng)滿足位移邊界條件多項(xiàng)組合法：撓度振型可近似設(shè)為：分別為x、y方向相應(yīng)邊界條件77變分方程：將代入變分方程要滿足的代數(shù)方程組：變分方程：將代入變分方程要滿足的代數(shù)方程組：78求解該代數(shù)方程組要保證有非零解：關(guān)于的關(guān)于階奇次線性方程組求解該代數(shù)方程組要保證有非零解：關(guān)于的關(guān)于階奇次線性方程組79例：四邊自由矩形板，由以上公式計(jì)算得前六階頻率和振型如下：例：80第九章-彈性體振動(dòng)ppt課件819.5.3圓板的橫向自由振動(dòng)柱坐標(biāo)下板平衡方程：等厚度圓板振動(dòng)方程：分離變量法求解：代入→將分解為得兩個(gè)方程：或

9.5.3圓板的橫向自由振動(dòng)82設(shè)：