第10章-期權定價模型與數(shù)值方法課件

第10章期權定價模型與數(shù)值方法第10章10.1

期權基礎概念

1．期權的定義期權分為買入期權（calloption）和賣出期權（putoption）。

買入期權:又稱看漲期權（或敲入期權），它是賦予期權持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價格買入一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。

賣出期權:又稱看跌期權（或敲出期權），它是賦予期權持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價格賣出一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。2．期權的要素期權的四個要素：行權價（exerciseprice或strikingprice）、到期日（maturingdata）、標的資產（underlyingasset）、期權費（optionpremium）。對于期權的購買者（持有者）而言，付出期權費后，只有權利沒有義務；對期權的出售者而言，接受期權費后，只有義務沒有權利。10.1.1

期權及其有關概念10.1期權基礎概念1．期權的定義10.1.1期權3．期權的內在價值買入期權在執(zhí)行日的價值CT為CT=max(ST

－E,0)式中:E表示行權價；ST表示標的資產的市場價。賣出期權在執(zhí)行日的價值PT為PT=max(E－ST,0)根據(jù)期權的行權價與標的資產市場價之間的關系，期權可分為價內期權（inthemoney）(S>E)、平價期權（atthemoney）(S=E)和價外期權（outofthemoney）(S<E)。10.1.1

期權及其有關概念說明期權價格與股票價格相關3．期權的內在價值10.1.1期權及其有關概念說明期權10.2.4

Black-Scholes方程求解BlackScholes微分方程的風險中性定價。在風險中性事件中，以下兩個結論稱為風險中性定價原則:

任何可交易的基礎金融資產的瞬時期望收益率均為無風險利率，即恒有μ=r;

任何一種衍生工具當前t時刻的價值均等于未來T時刻其價值的期望值按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。BlackScholes期權定價公式，歐式買權或賣權解的表達式為式中：10.2.4Black-Scholes方程求解BlackMATLAB中計算期權價格的函數(shù)為blsprice函數(shù)，語法為\[Call,Put\]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)輸入參數(shù)：Price：標的資產市場價格；Strike：執(zhí)行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Volatility：標的資產價格波動率；Yield：（可選）資產連續(xù)貼現(xiàn)利率，默認為0。輸出參數(shù)：Call:Calloption價格；Put：Putoption價格。10.2.4

Black-Scholes方程求解10.2.4Black-Scholes方程求解例10.2

假設歐式股票期權,三個月后到期,執(zhí)行價格95元,現(xiàn)價為100元,無股利支付,股價年化波動率為50%,無風險利率為10%,計算期權價格。代碼如下:10.2.4

Black-Scholes方程求解%標底資產價格Price=100;%執(zhí)行價格Strike=95;%無風險收益率（年化）10%Rate=0.1%剩余時間Time=3/12;%年化波動率Volatility=0.5[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)>>Call=13.70%買入期權>>Put=6.35%賣出期權例10.2假設歐式股票期權,三個月后到期,執(zhí)行價格9510.2.5

影響期權價格的因素分析期權價格受到當前價格S、執(zhí)行價格E、期權的期限T、股票價格方差率σ2及無風險利率r五個因素的影響。下面以歐式看漲期權為例來分析。期權對這五個因素的敏感程度稱為期權的Greeks，其計算公式與計算函數(shù)如下。1.德爾塔（Delta）δ期權δ是考察期權價格隨標的資產價格變化的關系，從數(shù)學角度看，δ是期權價格相對于標的資產價格的偏導數(shù),有計算函數(shù)為blsdelta.m,函數(shù)語法如下：10.2.5影響期權價格的因素分析期權價格受到當前價格S10.2.5

影響期權價格的因素分析[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)輸入參數(shù)：Price：標的資產市場價格；Strike：執(zhí)行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Volatility：標的資產價格波動率；Yield：（可選）資產連續(xù)貼現(xiàn)利率，默認為0。輸出參數(shù)：CallDelta:看漲期權的δ；PutDelta：看跌期權的δ。10.2.5影響期權價格的因素分析[CallDelta,例10.2假設歐式股票期權,三個月后到期,執(zhí)行價格95元,現(xiàn)價為100元,無股利支付,股價年化波動率為50%,無風險利率為10%,計算期權δ。代碼如下:Price=60:1:100;%標底資產價格Strike=95;%執(zhí)行價格Rate=0.1;%無風險收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余時間Volatility=0.5;%年化波動率[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)

例10.2假設歐式股票期權,三個月后到期,執(zhí)行價格95若要分析期權δ與標的資產價格、剩余期限的關系，即不同的Price與Time計算不同的δ三維關系，可以編寫如下代碼：Price=60:1:100;%標底資產價格Strike=95;%執(zhí)行價格Rate=0.1;%無風險收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余時間Volatility=0.5;%年化波動率[Price,Time]=meshgrid(Price,Time);[Calldelta,Putdelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%mesh(Price,Time,Calldelta);mesh(Price,Time,Putdelta);xlabel('StockPrice');ylabel('Time(year)');zlabel('Delta');若要分析期權δ與標的資產價格、剩余期限的關系，即不同的Pri第10章-期權定價模型與數(shù)值方法ppt課件10.2.5

影響期權價格的因素分析2.西塔（Theta）θθ表示期權價格對于到期日的敏感度，稱為期權的時間損耗。10.2.5影響期權價格的因素分析2.西塔（Theta3.維伽（Vega）νν表示方差率對期權價格的影響。4.珞（Rho）ρρ為期權的價值隨利率波動的敏感度，利率增加，使期權價值變大。

5.伽瑪（Gamma）ΓΓ表示δ與標的資產價格變動的關系。10.2.5

影響期權價格的因素分析3.維伽（Vega）ν10.2.5影響期權價格的因素分10.3

B－S公式隱含波動率計算BlackScholes期權定價公式，歐式期權理論價格的表達式：式中：隱含波動率是將市場上的期權交易價格代入權證理論價格BlackScholes模型反推出來的波動率數(shù)值。由于期權定價BS模型給出了期權價格與五個基本參數(shù)之間的定量關系，只要將其中前4個基本參數(shù)及期權的實際市場價格作為已知量代入定價公式，就可以從中解出惟一的未知量，其大小就是隱含波動率。10.3.1

隱含波動率概念10.3B－S公式隱含波動率計算BlackScholes期10.3.2

隱含波動率計算方法隱含波動率是把權證的價格代入BS模型中反算出來的，它反映了投資者對未來標的證券波動率的預期。BlackScholes期權定價公式中已知St(標的資產市場價格)、X(執(zhí)行價格)、r(無風險利率)、T－t(距離到期時間)、看漲期權ct或者看跌期權pt,根據(jù)B－S公式計算出與其相應的隱含波動率σyin。數(shù)學模型為式中:求解方程fc(σyin)=0,fp

(σyin)=0的根。本質上是非線性方程10.3.2隱含波動率計算方法隱含波動率是把權證的價格代10.3.3

隱含波動率計算程序利用fsolve函數(shù)計算隱含波動率，fsolve是MATLAB最主要內置的求解方程組的函數(shù)，具體fsolve的使用方法可以參看相關函數(shù)說明。例10.4假設歐式股票期權，3個月后到期，執(zhí)行價格95元，現(xiàn)價為100元，無股利支付，股價年化波動率為50%，無風險利率為10%，計算期權價格。計算結果如下：假設目前其期權交易價格為Call=15.00元，Put=7.00元，分別計算其相對應的隱含波動率。>>[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)>>Call=13.6953Put=6.349710.3.3隱含波動率計算程序利用fsolve函數(shù)計算隱步驟1：建立方程函數(shù)?？礉q期權隱含波動率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其語法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)程序代碼如下:functionf=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)%ImpliedVolatitityCallObj%codebyariszheng@2009-8-3[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%存在一個波動率使得下列等式成立%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0f=Call-Callprice;10.3.3

隱含波動率計算程序步驟1：建立方程函數(shù)。functionf=ImpliedV看跌期權隱含波動率方程的M文件為ImpliedVolatitityPutObj.m,其語法如下:f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)程序代碼如下:functionf=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)%ImpliedVolatitityCallObj%codebyariszheng@2009-8-3%根據(jù)參數(shù)，使用blsprice計算期權價格[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0%目標使得尋找X使得目標函數(shù)為0f=Put-Putprice;10.3.3

隱含波動率計算程序看跌期權隱含波動率方程的M文件為ImpliedVolati步驟2：求解方程函數(shù)。求解方程函數(shù)的M文件為ImpliedVolatility.m,其語法如下：\[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)function[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)%ImpliedVolatility%codebyariszheng@2009-8-3Volatility0=1.0;%優(yōu)化算法初始迭代點;%CallPrice對應的隱含波動率[Vc,Cfval]=fsolve(@(Volatility)ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,CallPrice),Volatility0);%CallPrice對應的隱含波動率[Vp,Pfval]=fsolve(@(Volatility)ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,PutPrice),Volatility0);10.3.3

隱含波動率計算程序步驟2：求解方程函數(shù)。function[Vc,Vp,Cf步驟3：函數(shù)求解。M文件TestImpliedVolatility.M代碼如下：%TestImpliedVolatility%市場價格Price=100;%執(zhí)行價格Strike=95;%無風險利率Rate=0.10;%時間（年）Time=0.25;CallPrice=15.0;%看漲期權交易價格PutPrice=7.0;%看跌期權交易價格%調用ImpliedVolatility函數(shù)[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)10.3.3

隱含波動率計算程序步驟3：函數(shù)求解。%TestImpliedVolatili隱含波動率與期權價格關系圖Price=100;Strike=95;Rate=0.10;Time=1.0;Volatility=0:0.1:2.0;n=length(Volatility);Call=zeros(n,1);Put=zeros(n,1);fori=1:n[Call(i),Put(i)]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility(i));endsubplot(2,1,1)plot(Volatility,Call,'-*');legend('CallPrice')subplot(2,1,2)plot(Volatility,Put,'-o');legend('PutPrice')隱含波動率與期權價格關系圖Price=100;第10章-期權定價模型與數(shù)值方法ppt課件知識脈絡圖期權定價理論數(shù)值實現(xiàn)期權定價函數(shù)blsprice.m影響期權價格因素的計算函數(shù)blsdelta.mblsgamma.mblslambda.mblsrho.mblstheta.mblsvega.m隱含波動率計算知識脈絡圖期權定價理論數(shù)值實現(xiàn)期權定價函數(shù)blsprice.10.4期權二叉樹模型二叉樹期權定價模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已經成為金融界最基本的期權定價方法之一。二叉樹模型的優(yōu)點在于其比較簡單直觀，不需要太多的數(shù)學知識就可以應用。10.4.1

二叉樹模型的基本理論二叉樹模型首先把期權的有效期分為很多很小的時間間隔Δt，并假設在每一個時間間隔Δt內證券價格只有兩種運動的可能：從開始的S上升到原來的u倍，即到達Su；下降到原來的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1。價格上升的概率假設為p，下降的概率假設為1－p。相應地，期權價值也會有所不同，分別為fu和fd，如右圖所示。

Δt

時間內資產價格的變動10.4期權二叉樹模型二叉樹期權定價模型是由J.C.Cox期權二叉樹模型定價計算方法單階段情形多階段情形無風險原則無套利原則期權二叉樹模型定價計算方法單階段情形無風險原則無套利原則10.4.2

二叉樹模型的計算在MATLAB的finance工具箱中提供二叉樹模型計算期權價格的函數(shù)binprice，其語法如下：\[AssetPrice,OptionValue\]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)輸入參數(shù)：Price：標的資產市場價格；Strike：執(zhí)行價格；Rate：無風險利率；Time：距離到期時間；Increment:每個階段的時間間隔，例如1年分12階二叉樹，每階段時長1個月；Volatility：波動率；Flag:期權種類標記，flag=1看漲期權，flag=0看跌期權；DividendRate：（可選）分紅率；Dividend：（可選）分紅金額向量；ExDiv：（可選）額外份額金額。輸出參數(shù)：AssetPrice：標的資產價格；OptionValue：期權價格。10.4.2二叉樹模型的計算在MATLAB的10.4.2

二叉樹模型的計算例10.5

假設歐式股票期權,六個月后到期,執(zhí)行價格95元,現(xiàn)價為100元,無股利支付,股價年化波動率為50%,無風險利率為10%,則期權價格代碼如下:%標底資產價格Price=100;%執(zhí)行價格Strike=95;%無風險收益率（年化）Rate=0.1;%10%%剩余時間Time=6/12;%;%看漲期權

flag=1;%每階段間個1個月Increment=1/12;%波動率

Volatility=0.5;%調用binprice函數(shù)[AssetPrice,OptionValue]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,flag)10.4.2二叉樹模型的計算例10.5假設歐式股票期運行結果期權價格二叉樹走勢圖標的資產價格二叉樹走勢圖運行結果期權價格二叉樹走勢圖標的資產價格二叉樹走勢圖知識脈絡圖期權二叉樹定價模型計算函數(shù)binprice.m算例實驗知識脈絡圖期權二叉樹定價模型計算函數(shù)binprice.m算例10.5期權定價的蒙特卡羅方法10.5.1模擬基本思路以歐式期權f(t,S)（即期權價值只與兩個狀態(tài)變量：資產價格S和時間t有關，且利率為常數(shù)）為例，以說明蒙特卡羅模擬的基本方法：①從初始時刻的標的資產價格開始，直到到期T，為S取在風險中性事件跨越整個有效期的一條隨機路徑，這就給出了標的資產價格路徑的一個實現(xiàn)；②計算出這條路徑下期權的回報；③重復①、②，得到許多樣本結果，即風險中性事件中的期權回報的值；④計算這些樣本回