大數(shù)定律和中心極限定理

大數(shù)定律和中心極限定理第1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月蒲豐投針問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律當投針次數(shù)n很大時，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得π的近似值.針長L線距a第2頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月定義:

設(shè){Xn}為隨機變量序列，a是一個常數(shù)，若對于任意>0,

有則稱{Xn}依概率收斂于a?？捎洖椤?大數(shù)定律一、依概率收斂意思是:當a時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大。即第3頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾個常用的大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨立的隨機變量序列，且有相同的數(shù)學期望，及方差2>0，則即對任何>0,

證明:

由切比雪夫不等式這里故第4頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月伯努里大數(shù)定律

設(shè)進行n次獨立重復試驗，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，記fn=nA/n為n次試驗中事件A發(fā)生的頻率，則證明:

設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理：第5頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月辛欽大數(shù)定律

若{Xk,k=1,2,...}為獨立同分布隨機變量序列,EXk=<,k=1,2,…

則當隨機變量序列X1,X2,...,Xn,…獨立同分布時,有如下更實用的結(jié)論：例

在擲骰子過程中，以Xn記第n次擲出的點數(shù)，在依概率收斂意義下，求的極限。第6頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月下面我們再舉一例說明大數(shù)定律的應(yīng)用.定積分的概率計算法求的值第7頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們介紹均值法，步驟是1)產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)rn,2)計算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似積分值求的值第8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們介紹均值法，步驟是1)產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)rn,2)計算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似積分值求的值第9頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)如何近似計算？請思考.問：若求的值第10頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性第11頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月一、依分布收斂定義設(shè){Xn}為隨機變量序列，X為隨機變量，其對應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x),F(x)。若在F(x)的連續(xù)點，有則稱{Xn}依分布收斂于X。記為§2中心極限定理若隨機變量序列{Xn}之和的標準化變量則稱隨機變量序列{Xn}滿足中心極限定理。第12頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月二、幾個常用的中心極限定理1、獨立同分布的中心極限定理設(shè){Xn}為獨立同分布隨機變量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,

則{Xn}滿足中心極限定理。此時有因此，當n充分大時其中Fn(x)為的分布函數(shù)。第13頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月例1將一顆骰子連擲100次，試估算點數(shù)之和大于500的概率。解:設(shè)Xk為第k次擲出的點數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨立同分布。并且由獨立同分布的中心極限定理知：第14頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月2、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機變量n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布，則證明:設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由獨立同分布的中心極限定理,結(jié)論即可得證。即第15頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月例：華師學生10000名，在周一晚上去自習的概率為0.7，假設(shè)彼此自習是相互獨立的，設(shè)X為周一晚上華師學生去上自習的人數(shù)。（1）寫出X的分布；（2）用切貝謝夫不等式估算周一晚上華師學生上自習的人數(shù)在6800~7200之間的概率的近似值；（3）用棣莫弗-拉普拉斯定理計算周一晚上華師學生上自習人數(shù)在6800~7200之間的概率的近似值。解:（1）

第17頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）（3）第18頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月例2一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk(k=1,2,…,20),

設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都服從U(0,10)分布。記V=，求V大于105的近似值。例3一船舶在某海區(qū)航行，已知每次遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的沖擊，問其中有29000~30500次縱搖角大于加3度的概率是多少？例4設(shè)每個學生有0名、1名、2名家長參加家長會的概率分別為0.05、0.8、