2023年江蘇省泰州市數(shù)學(xué)中考試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.計(jì)算等于()

A.B.C.D.

2.書法是我國特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感下列“?！弊值乃姆N篆書圖案中，可以看作軸對稱圖形的是()

A.B.C.D.

3.若，下列計(jì)算正確的是()

A.B.C.D.

4.在相同條件下的多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率為，該事件的概率為下列說法正確的是()

A.試驗(yàn)次數(shù)越多，越大

B.與都可能發(fā)生變化

C.試驗(yàn)次數(shù)越多，越接近于

D.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，在附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定

5.函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值如表所示，則下列函數(shù)表達(dá)式中，符合表中對應(yīng)關(guān)系的可能是()

A.B.

C.D.

6.菱形的邊長為，，將該菱形繞頂點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重疊部分的面積為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）

7.函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．

8.溶度積是化學(xué)中沉淀的溶解平衡常數(shù)常溫下的溶度積約為，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為______．

9.兩個(gè)相似圖形的周長比為：，則面積比為______．

10.若，則的值為______．

11.半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長為______．

12.七班名同學(xué)上周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則______填“”“”“”

13.關(guān)于的一元二次方程的兩根之和為______．

14.二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)在軸右側(cè)，則的值可以是______填一個(gè)值即可

15.小明對數(shù)書九章中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走里到達(dá)城堡邊，再往前走里到達(dá)樹下則該城堡的外圍直徑為______里

16.如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)若是等腰三角形，則的度數(shù)為______．

三、解答題（本大題共10小題，共102.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

計(jì)算：．

解方程：．

18.本小題分

如圖是我國年汽車銷售情況統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的______精確到；這年中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是______年；

小明說：新能源汽車年的銷售量超過前年的總和，所以年新能源汽車銷售量的增長率比年高你同意他的說法嗎？請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖說明你的理由．

19.本小題分

某校組織學(xué)生去敬老院表演節(jié)目，表演形式有舞蹈、情景劇和唱歌種類型小明、小麗人積極報(bào)名參加，從種類型中隨機(jī)挑選一種類型求小明、小麗選擇不同類型的概率．

20.本小題分

如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為，且______，______，則______．

給出下列信息：平分；；請從中選擇適當(dāng)信息，將對應(yīng)的序號(hào)填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明．

21.本小題分

閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式，函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式的解集？

通過思考，小麗得到以下種方法：

方法方程的兩根為，，可得函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為、，畫出函數(shù)圖象，觀察該圖象在軸下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是不等式的解集．

方法不等式可變形為，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖象關(guān)系畫出函數(shù)圖象，觀察發(fā)現(xiàn)；兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)也是、；的圖象在的圖象下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是該不等式的解集．

方法當(dāng)時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?；?dāng)時(shí)，不等式變?yōu)閱栴}轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖象關(guān)系

任務(wù)：

不等式的解集為______；

種方法都運(yùn)用了______的數(shù)學(xué)思想方法從下面選項(xiàng)中選個(gè)序號(hào)即可；

A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合

請你根據(jù)方法的思路，畫出函數(shù)圖象的簡圖，并結(jié)合圖象作出解答．

22.本小題分

如圖，堤壩長為，坡度為：，底端在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂處立有高的鐵塔小明欲測量山高，他在處看到鐵塔頂端剛好在視線上，又在壩頂處測得塔底的仰角為求堤壩高及山高，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到

23.本小題分

某公司的化工產(chǎn)品成本為元千克銷售部門規(guī)定：一次性銷售千克以內(nèi)時(shí)，以元千克的價(jià)格銷售；一次性銷售不低于千克時(shí)，每增加千克降價(jià)元考慮到降價(jià)對利潤的影響，一次性銷售不低于千克時(shí)，均以某一固定價(jià)格銷售一次性銷售利潤元與一次性銷售量千克的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

當(dāng)一次性銷售千克時(shí)利潤為多少元？

求一次性銷售量在之間時(shí)的最大利潤；

當(dāng)一次性銷售多少千克時(shí)利潤為元？

24.本小題分

如圖，矩形是一張紙，其中，小天用該紙玩折紙游戲．

游戲折出對角線，將點(diǎn)翻折到上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)展開后得到圖，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)．

游戲在游戲的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)翻折到上，折痕為；展開后將點(diǎn)沿過點(diǎn)的直線翻折到上的點(diǎn)處；再展開并連接后得到圖，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)特定的角．

請你證明游戲中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

請你猜想游戲中的度數(shù)，并說明理由．

25.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的位置和函數(shù)、的圖象如圖所示以為邊在軸上方作正方形，邊與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，邊與函數(shù)、的圖象分別相交于點(diǎn)、，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，連接．

若，，求函數(shù)的表達(dá)式及的面積；

當(dāng)、在滿足的條件下任意變化時(shí)，的面積是否變化？請說明理由；

試判斷直線與邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上？并說明理由．

26.本小題分

已知：、為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓上，為所對的圓周角．

知識(shí)回顧

如圖，中，、位于直線異側(cè)，．

求的度數(shù)；

若的半徑為，，求的長；

逆向思考

如圖，若為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，求證：為該圓的圓心；

拓展應(yīng)用

如圖，在的條件下，若，點(diǎn)在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在上，滿足的所有點(diǎn)中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變請證明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故選：．

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：，，選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；

故選：．

根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．

本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．

3.【答案】

【解析】解：，故此選項(xiàng)符合題意；

B.，故此選項(xiàng)不合題意；

C.，故此選項(xiàng)不合題意；

D.與無法合并，故此選項(xiàng)不合題意．

故選：．

直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項(xiàng)法則分別化簡，進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項(xiàng)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性．

故選：．

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性解答即可．

本題考查了頻率與概率，掌握頻率的穩(wěn)定性是關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：由表格可知，與的每一組對應(yīng)值的積是定值為，所以是的反比例函數(shù)，

故選：．

根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的坐標(biāo)特征即可判斷．

主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：如圖，將該菱形繞頂點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

連接，相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，，

，，，，

，

，，

，

菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，

，，

，，三點(diǎn)共線，

，

又，

，

，

重疊部分的面積的面積的面積，

重疊部分的面積；

將該菱形繞頂點(diǎn)在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同方法可得重疊部分的面積，

故選：．

分兩種情況：如圖，將該菱形繞頂點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出的長，再根據(jù)菱形的性質(zhì)推出與的長，再根據(jù)重疊部分的面積的面積的面積求解即可．

將該菱形繞頂點(diǎn)在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同方法可得重疊部分的面積．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：由題意得：，

解得：，

故答案為：．

根據(jù)分母不為可得：，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分母不為是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．

9.【答案】：

【解析】解：兩個(gè)相似圖形，其周長之比為：，

其相似比為：，

其面積比為：．

故答案為：：．

由兩個(gè)相似圖形，其周長之比為：，根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案．

此題考查了相似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：

，

，

，

原式．

故答案為：．

直接利用整式的加減運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而把已知代入得出答案．

此題主要考查了整式的加減化簡求值，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：由題意得，半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長是半徑為的圓周長的五分之一，

所以，

故答案為：．

根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，計(jì)算半徑為的圓周長的五分之一即可．

本題考查正多邊形和圓，掌握弧長、圓周長計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：因?yàn)橛袀€(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)應(yīng)是數(shù)據(jù)有小到大排列第、個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由頻數(shù)分布直方圖可知：第組的人數(shù)分別為，，，，，

所以第、個(gè)數(shù)據(jù)都在第組，即，這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)一定小于，

故答案為：．

根據(jù)中位數(shù)的意義解答即可．

本題考查頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)的概念，能從頻數(shù)分布直方圖中獲取有用信息，明確中位數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：，

，

故答案為：．

解一元二次方程得出的值，再進(jìn)行相加，從而取得最終答案．

本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系．

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

即二元一次方程的根為，

由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，

一次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)在軸右側(cè)，

，為異號(hào)，

，

故答案為：答案不唯一．

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．

本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．

15.【答案】

【解析】解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：切圓于，切圓于，連接，

，，里，

里，

里，

，

，

，

里．

城堡的外圍直徑為里．

故答案為：．

由切圓于，切圓于，連接，得到，，里，由勾股定理求出，由，求出里，即可得到答案．

本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，由銳角的正切得到，求出長即可．

16.【答案】或

【解析】解：由折疊得：，，

分三種情況：當(dāng)時(shí)，

，

是的一個(gè)外角，

，

；

當(dāng)時(shí)，

，

是的一個(gè)外角，

，

此種情況不成立；

當(dāng)時(shí)，如圖：

，

，

是的一個(gè)外角，

，

；

綜上所述：若是等腰三角形，則的度數(shù)為或，

故答案為：或．

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，然后分三種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換折疊問題，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：

；

，

方程兩邊都乘，得，

解得：，

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，

所以分式方程的解是．

【解析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；

方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

本題考查了整式的混合運(yùn)算和解分式方程，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解的關(guān)鍵，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解的關(guān)鍵．

18.【答案】

【解析】解：年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，

年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，

年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，

年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，

這年中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是年．

故答案為：，年；

不同意．理由如下：

年新能源汽車銷售量的增長率為：，

年新能源汽車銷售量的增長率為：，

年新能源汽車銷售量的增長率比年低．

將圖中數(shù)據(jù)分別計(jì)算年我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比即可求解；

求出、年新能源汽車銷售量的增長率即可求解．

本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：用樹狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小明、小麗選擇不同類型的有種，

所以小明、小麗選擇不同類型的概率為．

【解析】用樹狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．

20.【答案】

【解析】證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

垂直平分，

，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，

在與中，

，

≌，

，

在與中，

，

≌，

，

又，

，

即，

平分．

故答案為：．

根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等可得出，在求證三角形全等得出角相等，求得，進(jìn)而得出結(jié)論平分．

本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形全等的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵．

21.【答案】

【解析】解：解方程，

得，，

函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為、，

畫出二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，

由圖象可知：當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象位于軸下方，此時(shí)，即．

所以不等式的解集為：．

故答案為：；

上述種方法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，

故答案為：；

當(dāng)時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椋划?dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椋?/p>

畫出函數(shù)和函數(shù)的大致圖象如圖：

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，

當(dāng)時(shí)，不等式一定成立，

不等式的解集為：．

利用題干中的方法，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象解答即可；

依據(jù)解答過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法解答即可；

畫出函數(shù)和函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可求得．

本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，一元二次不等式的解法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，本題是閱讀型題目，理解題干中的解題的思想方法并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：過作于，

坡度為：，

設(shè)，，

，

，

，，

過作于，

則，，

設(shè)，

．

，

，

坡度為：，

：：：，

，

米，

米，

答：堤壩高為米，山高為米．

【解析】過作于，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，過作于，則，，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)一次性銷售千克時(shí)利潤為元；

設(shè)一次性銷售量在之間時(shí)，銷售價(jià)格為，

，

，，

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，

一次性銷售量在之間時(shí)的最大利潤為元；

由知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)一次性銷售量在之間時(shí)，利潤為元，

，

解得，，

當(dāng)一次性銷售為或千克時(shí)利潤為元．

【解析】用銷售量利潤計(jì)算即可；

根據(jù)一次性銷售不低于千克時(shí)，每增加千克降價(jià)元求出銷售單價(jià)，再乘以銷售量即可列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；

根據(jù)中解析式，令，解方程即可．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意確定二次函數(shù)解析式．

24.【答案】證明：由折疊的性質(zhì)可得，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

設(shè)，則，，

，

即，

，

解得，

根據(jù)勾股定理可得，

，

即，

．

解得，

，

，

點(diǎn)為的中點(diǎn)．

解：，理由如下：

連接，如圖：

由折疊的性質(zhì)可知，，

，，

，

，

，

由知，可得，