2023年河北省石家莊二十八中中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共16小題，共42.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點有四條直線，借助直尺和三角板判斷，與直線平行的是()

A.B.C.D.

2.下列運算中，一定正確的是()

A.B.

C.D.

3.如果，下列各式中不正確的是()

A.B.C.D.

4.與計算結(jié)果相同的是()

A.B.C.D.

5.與互為倒數(shù)的是()

A.B.C.D.

6.如圖是一個正方體的表面展開圖，所有相對面的數(shù)字之和相等，則的值是()

A.

B.

C.

D.

7.如圖中，要在對角線上找兩點，，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)有甲、乙、丙三種方案，

甲：只需要滿足

乙：只需要滿足

丙：只需要滿足

則正確的方案是()

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、丙才是C.只有甲、乙才是D.只有乙、丙才是

8.如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點表示的數(shù)是()

A.

B.

C.

D.

9.若取，計算的結(jié)果是()

A.B.C.D.

10.如圖，點是正六邊形對角線上的一點，且，則正六邊形的面積為()

A.

B.

C.

D.隨著點的變化而變化

11.若實數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，其中，則正確的結(jié)論是()

A.B.C.D.

12.如圖，已知，點在內(nèi)部，點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，則下列結(jié)論中不正確的是()

A.

B.

C.

D.，，三點所構(gòu)成的三角形是等腰三角形

13.如圖，在中，，，平分交于點，平分交于點下列選項中不一定正確的是()

A.

B.四邊形是平行四邊形

C.四邊形的面積等于的面積

D.

14.為了解學(xué)生課外閱讀情況，某校隨機抽取了一個班的名學(xué)生，對他們一周的課外閱讀時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，則該班學(xué)生一周課外閱讀時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()

讀書時間小時及以下小時小時小時小時及以上

學(xué)生人數(shù)

A.，B.，C.，D.，

15.若的運算結(jié)果為整式，則“”中的式子不能為()

A.B.C.D.

16.如圖所示，在中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，與交于點，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、，作直線，分別交、于點、，則、兩點之間的距離為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共3小題，共10.0分）

17.的相反數(shù)是______．

18.小明為全班六一兒童節(jié)的活動準備獎品，獎品每個元，獎品每個元，購買獎品個，獎品個，共元．

若，則______；

若同時購買兩種獎品，則小明共有______種不同的選購方案．

19.如圖，矩形中，，，點為射線上的一個動點，將沿翻折，點的對應(yīng)點為．

若點落在邊上，則______；

在點運動過程中，的最小值為______；

若，則線段的長為______．

三、解答題（本大題共7小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

20.本小題分

計算：圓圓在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．

如果被污染的數(shù)字是，請求出的值；

如果計算結(jié)果是如圖所示集中的最大整數(shù)解，請問這個最大整數(shù)解是幾？并求出被污染的數(shù)字．

21.本小題分

“校園安全”越來越受到人們的關(guān)注，我市某中學(xué)對部分學(xué)生就校園安全知識的了解程度，采用隨機抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖根據(jù)圖中信息回答下列問題：

接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有______人，并補全條形統(tǒng)計圖；

扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為______；

若該中學(xué)共有學(xué)生人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計該學(xué)校學(xué)生中對校園安全知識達到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)；

若從對校園安全知識達到“非常了解”程度的名男生和名女生中隨機抽取人參加校園安全知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．

22.本小題分

已知，．

化簡整式，并求時的值；

若．

將因式分解；

若為整數(shù)，直接寫出整式能否被整除．

23.本小題分

如圖，某橋拱截面可視為拋物線的一部分，以為坐標原點、所在直線為軸建立平面直角坐標系在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬米，橋拱頂點到水面的距離是米．

直接寫出、兩點的坐標：______，______；

求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；

要保證高米的小船能夠通過此橋船頂與橋拱的距離不小于米，求小船的最大寬度是多少？

如圖，橋拱所在的拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象，將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在時，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．

24.本小題分

如圖，正方形的邊長是，對角線的中點為沿方向平移得到．

如圖，當點移動到點時，點移動的距離是______，______；

當點移動到點時，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)：

當過中點時，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是______；

、分別是邊、上的點，且，嘉嘉說，當過點時，恰好過點，你認為嘉嘉說的對嗎？請說明理由．

25.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，直線，與軸、軸分別交于點、，直線，與軸、軸分別交于點、，點在直線上

直線過定點嗎？______填“過”或“不過”．

若點、關(guān)于點對稱，求此時直線的解析式；

若直線將的面積分為：兩部分，請求出的值；

當時，將點向右平移個單位得到點，當線段沿直線向下平移時，請直接寫出線段掃過內(nèi)部不包括邊界的整點橫縱坐標都是整數(shù)的點的坐標．

26.本小題分

如圖，在中，，，，半徑為的與射線相切，切點為，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為

的長為______；

求當旋轉(zhuǎn)角為多少時，與相切；

當落在上時，設(shè)點，的對應(yīng)點分別是點，．

畫出旋轉(zhuǎn)后落在射線上時的草圖即可，此時的斜邊所在的直線與的位置關(guān)系是______；

求出的直角邊被截得的弦的長．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：借助直尺和三角板，經(jīng)過刻度尺平移測量，符合題意，

故選：．

根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．

本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：，故A選項不符合題意；

，故B選項不符合題意；

，故C選項不符合題意；

，故D選項符合題意；

故選：．

根據(jù)積的乘方、整式的減法和乘法、完全平方差公式逐項判斷即可．

本題考查了積的乘方、整式的減法和乘法法則、完全平方差公式．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算法則及公式．

3.【答案】

【解析】解：，

，故該選項正確，不符合題意；

B.，

，故該選項不正確，符合題意；

C.，

，故該選項正確，不符合題意；

D.，

，故該選項正確，不符合題意；

故選：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．

本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊都加上或減去同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊都乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

4.【答案】

【解析】解：，

A.，故該選項符合題意；

B.，故該選項不符合題意；

C.，故該選項不符合題意；

D.，故該選項不符合題意；

故選：．

計算，進而根據(jù)各選項的計算結(jié)果即可求解．

本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，有理數(shù)的加、減、乘、除運算，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：

，

，的倒數(shù)為，故A不符合題意；

，的倒數(shù)為，故B符合題意；

，的倒數(shù)為，故C不符合題意；

，的倒數(shù)為，故D不符合題意，

故選：．

先算出題目中式子的結(jié)果，然后將選項中每個式子結(jié)果計算出來，再根據(jù)倒數(shù)的概念，逐一判斷即可．

本題考查有理數(shù)的混合運算，倒數(shù)的概念，熟練計算出每一個式子的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：所有相對面的數(shù)字之和相等，

與相對，與相對，與相對，

，

，

故選：．

先求出相對面的數(shù)字之和，再判斷出所對的數(shù)字為，問題隨之得解．

本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，

，

甲：，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

四邊形為平行四邊形，故甲正確；

乙：由，不能證明≌，不能使四邊形為平行四邊形，故乙不正確；

丙：，

，

，

在和中，

，

≌，

，

四邊形為平行四邊形，故丙正確；

故選：．

只要證明≌，即可解決問題．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：如圖，，，，

，

，

，

．

點表示的數(shù)是．

故選：．

根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．

本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：

，

，

；

故選：．

先合并被開方數(shù)與根指數(shù)都相同的同類根式，把取代入進行求解即可．

本題主要考查實數(shù)的運算，把被開方數(shù)與根指數(shù)都相同的根式合并再代入是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：正六邊形，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

，

過點作于點，

，

，

，

，

故選：．

根據(jù)正六邊形性質(zhì)，得到如下的結(jié)論：各邊相等，各個角相等，從而得到≌，，，得到四邊形是矩形，且面積為，過點作于點，計算，計算即可．

本題考查了正六邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：如圖，，

，互為相反數(shù)，原點在這兩個點構(gòu)成的線段的中點處，

A、，，

，

該選項說法正確，符合題意；

B、，，

，

該選項說法錯誤，不符合題意；

C、，

，

該選項說法錯誤，不符合題意；

D、，，互為相反數(shù)，

，

，

，

該選項說法錯誤，不符合題意；

故選：．

根據(jù)數(shù)軸提供的，，，的正負逐一分析即可．

本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上互為相反數(shù)除外的兩個數(shù)表示的點在原點的兩側(cè)，且到原點的距離相等是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，

，，，，，，

，

，

，，，

，

，

，

，，

，

故選項A，，C正確，

無法判斷、和，

故選項D錯誤，

故選：．

根據(jù)點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，可以得到，，，，，，再利用四邊形內(nèi)角和定理，即可判斷出，，三個選項正確．

本題考查角平分線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和和等腰三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點對稱的相關(guān)知識．

13.【答案】

【解析】解：中，，，

，，，

，，

平分，平分，

，，

，，

，

，

故A正確；

，，

四邊形是平行四邊形，

故B正確；

設(shè)的，之間的距離為，

則四邊形的面積等于，的面積，

四邊形的面積等于的面積，

故C正確；

無法計算，

故D錯誤，

故選：．

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定證明即可．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角的平分線的意義，等腰三角形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：因為全班抽取了人，所以一共有個數(shù)據(jù)，

且表中數(shù)據(jù)已是從小到大排列的，最中間兩個數(shù)據(jù)都是，，所以這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，

這一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是，所以眾數(shù)是．

故選：．

根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義可以直接得到答案．

本題主要考查了眾數(shù)和中位數(shù)，掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：．，是整式，故本選項不符合題意；

B.，是整式，故本選項不符合題意；

C.，是整式，故本選項符合題意；

D.是分式，不是整式，故本選項不符合題意；

故選：．

先代入，再根據(jù)分式的運算法則進行計算，最后根據(jù)求出的結(jié)果得出選項即可．

本題考查了分式的混合運算和整式，掌握分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：，，，

，

以點為圓心，長為半徑畫弧，與交于點，

，

，

由作圖方法可知垂直平分，

，，，

，

∽，

，即，

，

．

故選：．

根據(jù)勾股定理求出根據(jù)作圖可得，可得，垂直平分，即可得到，，易得∽，則，可得，即可得到答案．

本題主要考查了勾股定理，垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理及垂直平分線得到．

17.【答案】

【解析】解：的相反數(shù)是．

故答案為：．

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．

本題考查相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．

18.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意可列方程，

當時，可得方程，解得，

故答案為：；

將變形為，

，為正整數(shù)，

觀察式子，可得只能取偶數(shù)，且，

解得：，，，，，

故有種不同的選購方案，

故答案為：．

根據(jù)題意可得獎品的總價格為，獎品的總價格為，故可得，把代入方程，即可解答；

將變形為，根據(jù)實際意義可得為正整數(shù)，即可解答．

本題考查了二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)，為正整數(shù)來思考是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】或

【解析】解：設(shè)，則，

矩形中，，，沿翻折，點的對應(yīng)點為，

，，

，

解得，

故答案為：．

，

點在以為圓心，以為半徑的圓上，

當，，共線時，取得最小值，

矩形中，，，

，

最小值為，

故答案為：．

當點在射線內(nèi)側(cè)時，

矩形中，，，沿翻折，點的對應(yīng)點為，

，，

，

，

是等邊三角形，

；

當點在射線外側(cè)時，

矩形中，，，沿翻折，點的對應(yīng)點為，

，，

，

，

，

過點作于點，

，，

，

；

故答案為：或．

設(shè)，則，利用勾股定理計算即可．

根據(jù)，判定點在以為圓心，以為半徑的圓上，當，，共線時，取得最小值，根據(jù)勾股定理計算即可．

根據(jù)，分點在射線內(nèi)側(cè)和外側(cè)兩種情況計算即可．

本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：由題意得，

；

由圖可知，最大整數(shù)解是．

設(shè)被污染的數(shù)字為，

由題意，得，

，

，

，

．

所以被污染的數(shù)字是．

【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可．

根據(jù)題意設(shè)被污染的數(shù)字為，列關(guān)于的方程，解方程即可求出答案．

本題考查了有理數(shù)的混合運算、一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握有理數(shù)運算法則和解方程步驟．

21.【答案】

【解析】解：接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，

不了解的人數(shù)有：人，

補圖如圖：

故答案為：；

扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為；

故答案為：；

根據(jù)題意得：

人，

答：該學(xué)校學(xué)生中對校園安全知識達到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為人；

由題意列樹狀圖：

由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有種，恰好抽到名男生和名女生的結(jié)果有種，

恰好抽到名男生和名女生的概率為．

用“基本了解”的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其他了解的人數(shù)，求出不了解的人數(shù)；

用乘以扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所占的比例即可；

用總?cè)藬?shù)乘以達到“非常了解”和“基本了解”程度的人數(shù)所占的比例即可；

畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好抽到個男生和個女生的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．

此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

22.【答案】解：

．

當時原式．

當，時，

．

能，理由如下：

當為偶數(shù)時，設(shè)是整數(shù)，

則，

故整式能被整除．

當為奇數(shù)時，設(shè)是整數(shù)，

則，

故整式能被整除．

綜上所述，整式能被整除．

【解析】去括號，合并同類項化簡，后代入求值．

運用先提取公因式，再套用公式分解即可．

分為偶數(shù)和奇數(shù)分類證明即可．

本題考查了去括號，整式的加減，因式分解，整除，熟練掌握去括號，整式的加減，因式分解是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】

【解析】解：，且點在軸上，

，

根據(jù)拋物線的特點確定拋物線的對稱軸為直線，

點，

故答案為：，．

設(shè)拋物線的解析式為，

把原點代入得，

解得，

此二次函數(shù)的表達式．

二次函數(shù)的表達式，

令得：

，

解得：，，

小船的最大寬度為：米．

根據(jù)平移規(guī)律得到點平移后的對應(yīng)點為，對稱軸平移后的對稱軸為，點平移后的對應(yīng)點為，根據(jù)圖象性質(zhì)，得到函數(shù)在上，滿足隨的增大而減小，

或，

解得或舍去，

故的取值范圍是．

根據(jù)題意，利用拋物線的特點確定拋物線的對稱軸為直線，即可得到答案；由圖象可知拋物線經(jīng)過原點，將原點坐標代入函數(shù)解析式即可求得的值；

根據(jù)題意求出時，所對應(yīng)的之間的距離，也就是小船的最大寬度；

根據(jù)平移規(guī)律得到點平移后的對應(yīng)點為，對稱軸平移后的對稱軸為，點平移后的對應(yīng)點為，根據(jù)圖象性質(zhì)，得到函數(shù)在上，滿足隨的增大而減小，列出不等式組或，求解集即可．

本題考查了拋物線的解析式，拋物線的平移，函數(shù)的增減性，拋物線的應(yīng)用，熟練掌握拋物線的平移，函數(shù)的增減性，拋物線的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】

【解析】解：如圖，

在正方形中，，，平分，

，

，

，

，

點是的中點，

，

點移動的距離是，

由平移得：，，

延長交于點，

，

，

，，

，

，

故答案為：，；

如圖，令中點為點，

由題意知旋轉(zhuǎn)到的位置，

點為的中點，點為的中點，

，

，

由平移得：，

旋轉(zhuǎn)到直線上，

旋轉(zhuǎn)角為，

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，

故答案為：．

嘉嘉的說法不對，理由如下：

如圖，與交于點，

，，

，

，

，

在中，

，

；

∽；

，

，

則，

過點時，不過點，嘉嘉說得不對．

在正方形中，，，平分，求出，利用求出，進而可求出點移動的距離是，利用平移和三角函數(shù)可求得，即可求得；

三角形的中位線性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可得到答案；利用已知求出，再利用相似求出，然后比較，大小即可得出答案．

本題考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．

25.【答案】過

【解析】解：，

當時，，

直線過定點，

故答案為：過；

在中，令，則，

，

點、關(guān)于點對稱，

，

將點的坐標代入，得，

解得，

直線的解析式：；

在中，令，則，

，，

，

，

，

直線過定點，直線過點，

兩直線的交點為，點到軸的距離為，到軸的距離為，

當時，，

解得．

，

，

，

解得；

當時，，

解得，

，

，

，

，

解得，

綜上，的值為或；

當時，直線的解析式為，

將點向右平移