高數(shù)-第一節(jié)-空間直角系與空間曲面、空間曲線課件

第七章一、空間直角坐標(biāo)系二、空間兩點(diǎn)間的距離三、空間曲面與空間曲線第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束空間直角系與空間曲面、空間曲線第七章一、空間直角坐標(biāo)系二、空間兩點(diǎn)間的距離三、空間曲1ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)2向量在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上3坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)4向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公5例1.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.6例2.

在z軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.在z軸上求與兩點(diǎn)等距解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為7提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且機(jī)動(dòng)8三、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說(shuō)明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-19定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問(wèn)題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=10故所求方程為例3.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所求方程為例3.求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)11例4.研究方程解:

配方得此方程表示:說(shuō)明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.研究方程解:配方得此方程表示:說(shuō)明:如下形式的三元12定義2.一條平面曲線2、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義2.一條平面曲線2、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直133、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過(guò)此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解14定義3.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義3.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l形成的軌15一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2.母線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸164、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方17（1）.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（1）.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動(dòng)18與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截19（2）.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（2）.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q同號(hào))(220（3）.雙曲面(a)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束雙曲線:（3）.雙曲面(a)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平21虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束相交直線:雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z軸22(b)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束圖形(b)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別23（4）.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見(jiàn)書(shū)P316)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（4）.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕24斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于25平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)26特殊情形?

當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束)0(2221++CBA特殊情形?當(dāng)D=0時(shí),Ax+By+27①平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平28例5.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面的法向量為的平面的方29此平面的三點(diǎn)式方程也可寫(xiě)成一般情況:過(guò)三點(diǎn)的平面方程為說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此平面的三點(diǎn)式方程也可寫(xiě)成一般情況30特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開(kāi)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.31例6.求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過(guò)

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程機(jī)動(dòng)