高二數(shù)學(xué)選修4-4平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換與極坐標(biāo)系(上課用-公開課課件)

（1）平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換

（二）極坐標(biāo)系1（1）平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換

（二）極坐標(biāo)系1xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?2xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎樣由正弦曲x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。1坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：3x’=x1通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫出其坐標(biāo)變換。設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長變換。24（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫出（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?寫出其坐標(biāo)變換。設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為P’(x’,y’)x’=xy’=3y通常把這樣的變換叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。5（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)P’(x’,y’).稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。6定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換的作用注（1）（2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；（3）在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。7注（1）788991010由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓。思考：在伸縮變換下，橢圓是否可以變成圓？拋物線、雙曲線變成什么曲線？11由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變課堂練習(xí)（2分鐘）課本P8第4、6題12課堂練習(xí)（2分鐘）12四食堂在什么位置？13四食堂在什么位置？13以超市所在直線為X軸以牛奶棚所在直線為Y軸...腦子進(jìn)水了？14以超市所在直線為X軸腦子14從這向北走100米。我知道了。15從這向北走100米。我知道了。15從這向北走100米！出發(fā)點(diǎn)方向距離在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。16從這向北走100米！出發(fā)點(diǎn)方向距離在生活中人們經(jīng)常用極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)極徑極點(diǎn)極軸點(diǎn)O極點(diǎn)射線Ox極軸極徑角極角極角有序?qū)崝?shù)對(duì)極坐標(biāo)逆時(shí)針為正角順時(shí)針為負(fù)角極角是以射線Ox為始邊,射線OM為終邊的角,用弧度制表示17極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)極徑極點(diǎn)極軸點(diǎn)O極點(diǎn)射線Ox極軸極徑角極角極例題解析例1.在極坐標(biāo)系中表示下列坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).由極坐標(biāo)描點(diǎn)的步驟：

(1)先按極角找到點(diǎn)所在射線；

(2)在此射線上按極徑描點(diǎn).18例題解析例1.在極坐標(biāo)系中表示下列坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).由極坐標(biāo)描點(diǎn)例題解析例2.試寫出下列點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo).一點(diǎn)的極坐標(biāo)唯一嗎？表示同一點(diǎn)19例題解析例2.試寫出下列點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo).一點(diǎn)的極坐標(biāo)唯一嗎與直角坐標(biāo)系的聯(lián)系與區(qū)別極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的異同是什么？都是用有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示平面上的點(diǎn).其中的有序?qū)崝?shù)對(duì)意義不同.直角系的坐標(biāo)與平面上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的;極坐標(biāo)系的坐標(biāo)與平面上點(diǎn)多對(duì)一的;有沒有辦法使極坐標(biāo)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)？除極點(diǎn)(0,)外，限制20與直角坐標(biāo)系的聯(lián)系與區(qū)別極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的異同是什么？都探索已知一點(diǎn),與它關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)如何表示？若M的坐標(biāo)為,則M’的坐標(biāo)可以是21探索已知一點(diǎn),與它關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)如何表示？若M的探索已知一點(diǎn),與它關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)如何表示？若M的坐標(biāo)為,則M’的坐標(biāo)可以是22探索已知一點(diǎn),與它關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)如何表示？若M的坐標(biāo)為極徑的推廣負(fù)的極徑有意義嗎？“負(fù)”的意義是什么？標(biāo)準(zhǔn)之下3攝氏度與-3攝氏度.方向相反與與若M的坐標(biāo)為則M的坐標(biāo)也可以是特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)），認(rèn)為≥

0。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。23極徑的推廣負(fù)的極徑有意義嗎？“負(fù)”的意義是什么？標(biāo)準(zhǔn)之下3攝極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)極徑點(diǎn)O極點(diǎn)射線Ox極軸角極角有序?qū)崝?shù)對(duì)極坐標(biāo)逆時(shí)針為正角順時(shí)針為負(fù)角終邊上取M終邊反向延長線上取M24極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)極徑點(diǎn)O極點(diǎn)射線Ox極軸角極角有序?qū)崝?shù)對(duì)極坐2525在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位26在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并x=ρcosθ,y=ρsinθ27x=ρcosθ,y=ρsinθ271.極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2.極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.互化公式的三個(gè)前提條件：281.極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;互化公式的三個(gè)前提條件：2已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。29已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。293030作業(yè)：《優(yōu)化方案》做到第9頁31作業(yè)：《優(yōu)化方案》做到第9頁313232點(diǎn)的軌跡設(shè)M(x,y)是直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)M按某種規(guī)律在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),所留下的運(yùn)動(dòng)軌跡,反映在圖形上就是一條曲線.Oxy所謂某種規(guī)律：M(x,y)坐標(biāo)之間所滿足一定關(guān)系式.某個(gè)方程

若要用一個(gè)方程刻畫坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線C,則方程與曲 線之間應(yīng)當(dāng)滿足怎樣的關(guān)系？33點(diǎn)的軌跡設(shè)M(x,y)是直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)M按某種規(guī)律曲線與方程定義.在直角坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的方程;曲線C是方程的曲線.34曲線與方程定義.在直角坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程極坐標(biāo)方程定義.在極坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點(diǎn)的極坐標(biāo)都是方程的解;方程的解為極坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的極坐標(biāo)方程;曲線C是方程的曲線.這樣推廣合理嗎？為什么？35極坐標(biāo)方程定義.在極坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程問題探索極軸所在直線的極坐標(biāo)方程是什么？曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上;極點(diǎn)符合方程不符合方程極坐標(biāo)的不唯一性導(dǎo)致了上述情況.這個(gè)方程合理嗎？36問題探索極軸所在直線的極坐標(biāo)方程是什么？曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都極坐標(biāo)方程定義.在極坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點(diǎn)的所有極坐標(biāo)中,至少有一個(gè)是方程的解;方程的解為極坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的極坐標(biāo)方程;曲線C是方程的曲線.37極坐標(biāo)方程定義.在極坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程求曲線的極坐標(biāo)方程步驟1、設(shè)點(diǎn)M(ρ,θ)是曲線上任意一點(diǎn)；2、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于ρ,θ的方程，并化簡(jiǎn)；3、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。38求曲線的極坐標(biāo)方程步驟1、設(shè)點(diǎn)M(ρ,θ)是曲線上任意一點(diǎn)；例題解析例2.求以

為圓心,半徑為的圓的極坐標(biāo)方程.解:如圖所示:設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為即則39例題解析例2.求以為圓心,半徑為例題解析例3.如圖,求過,與極軸夾角為的直線方程.解:則,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,若點(diǎn)P位于極軸上方,在中,40例題解析例3.如圖,求過例題解析例4.設(shè)質(zhì)點(diǎn)M為射線OA上的動(dòng)點(diǎn),已知M沿方向作勻速

運(yùn)動(dòng),同時(shí)射線OA又繞著它的端點(diǎn)O作等角速度旋轉(zhuǎn), 求質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡方程.阿基米德螺線解:設(shè)點(diǎn)M的初始位置為,以O(shè)為極點(diǎn),以射線OM0為極軸,設(shè)M的運(yùn)動(dòng)速度為v,設(shè)OA的角速度為,時(shí)間為t,則有41例題解析例4.設(shè)質(zhì)點(diǎn)M為射線OA上的動(dòng)點(diǎn),已知M沿練習(xí)求下圖中的圓的極坐標(biāo)方程,半徑都是aP42練習(xí)求下圖中的圓的極坐標(biāo)方程,半徑都是aP42練習(xí)求下列直線的極坐標(biāo)方程．(1)過極點(diǎn)與點(diǎn)(2)過點(diǎn)且與極軸垂直(3)過點(diǎn)且與極軸平行43練習(xí)求下列直線的極坐標(biāo)方程．(1)過極點(diǎn)與點(diǎn)(2)過點(diǎn)設(shè)兩點(diǎn)，則由余弦定理得：極坐標(biāo)系下兩點(diǎn)間的距離公式???OxAB44設(shè)兩點(diǎn)，則由余弦定理得：極Ex2.3.3兩種坐標(biāo)的互化45Ex2.3.3兩種坐標(biāo)的互化45引入已知點(diǎn)的極坐標(biāo)，如何得到其直角坐標(biāo)？例如：設(shè)其直角坐標(biāo)為,46引入已知點(diǎn)的極坐標(biāo)，如何得到其直角坐標(biāo)？例如：設(shè)其直角坐標(biāo)極坐標(biāo)直角坐標(biāo)則有：一般地,設(shè)點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn),其極坐標(biāo)為,如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)直角坐標(biāo)為,如何證明？47極坐標(biāo)直角坐標(biāo)則有：一般地,設(shè)點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn),其時(shí),P的直角坐標(biāo)為：P在極點(diǎn),顯然成立;時(shí),P的坐標(biāo)可改寫為時(shí),則48時(shí),P的直角坐標(biāo)為：P在極點(diǎn),顯然成立;時(shí),P的坐標(biāo)可改寫極坐標(biāo)直角坐標(biāo)則有：一般地,設(shè)點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn),其極坐標(biāo)為,如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)直角坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)是唯一的。49極坐標(biāo)直角坐標(biāo)則有：一般地,設(shè)點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn),其例題解析例1.將下列極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：極坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)50例題解析例1.將下列極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：極坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角直角坐標(biāo)極坐標(biāo)則由：一般地,設(shè)點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn),其直角坐標(biāo)為,如圖建立極坐標(biāo)系,設(shè)極坐標(biāo)為,點(diǎn)的直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)，不是唯一的。51直角坐標(biāo)極坐標(biāo)則由：一般地,設(shè)點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn),其例題解析例2.將下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)：直角坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)

由點(diǎn)所在象限確定極角的值52例題解析例2.將下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)：直角坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)方程定義.在極坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程 之間滿足:曲線C上的點(diǎn)的所有極坐標(biāo)中,至少有一個(gè)是方程的解;方程的解為極坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上;則稱：方程為曲線C的極坐標(biāo)方程;曲線C是方程的曲線.53極坐標(biāo)方程定義.在極坐標(biāo)系中,如果曲線C和二元方程例題解析例3.化直角組表方程為極坐標(biāo)方程.解:由,得或者表示極點(diǎn)，故所求極坐標(biāo)方程為表示直線,過極點(diǎn)54例題解析例3.化直角組表方程為例題解析例4.化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程.解2時(shí),由