2022-2023學年北京市通州區(qū)高二下學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市通州區(qū)高二下學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題1．書架上層放有4本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書，從書架上任取數(shù)學書和語文書各1本，不同取法的種數(shù)為（

）A．9 B．12 C．20 D．24【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算可得結(jié)果.【詳解】分兩步完成：第一步，從上層取1本數(shù)學書，有4種不同的取法；第二步，從下層取1本語文書，有5種不同的取法，由分步乘法計數(shù)原理得共有種不同的取法.故選：C2．計算：（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D3．二項式的展開式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由二項式定理求解.【詳解】二項式，.故選：B4．已知，則（

）A．127 B．128 C．255 D．256【答案】B【分析】分別令和，兩式相加即可求解.【詳解】令得，；令可得，；兩式相加可得，，所以，故選：B.5．已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，所以.故選：A7．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表以及導(dǎo)數(shù)的運算法則運算可得答案.【詳解】，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：C8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖像如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．當時， B．當時，C．當時，取得極大值 D．當時，取得最大值【答案】D【分析】由的圖像得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到和為的兩根，結(jié)合函數(shù)極值的定義分別判斷各個選項即可.【詳解】由的圖像可知在上單調(diào)遞減,，A正確；由的圖像可知在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，所以，B正確,C正確;在處取得極大值，但不是的最大值，故D錯誤.故選：D.9．某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當每瓶飲料的利潤最大時，瓶子的半徑為（

）A．4.5cm B．5cm C．5.5cm D．6cm【答案】D【分析】寫出利潤關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出利潤最大時的的取值.【詳解】設(shè)每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點，于是在，只可能使得最大.故選：D10．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為，即在區(qū)間上恒成立，求出不等式右邊的最小值可得答案.【詳解】，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，因為，所以，則.故選：B二、雙空題11．一質(zhì)點A沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則這段時間內(nèi)的平均速度為m/s；時的瞬時速度為m/s．【答案】68【分析】先利用平均速度的計算公式求解平均速度，再求出的導(dǎo)數(shù)，將代入計算可得答案．【詳解】，，物體在這段時間內(nèi)的平均速度，，則，當時，，即質(zhì)點在時的瞬時速度為，故答案為：6；8．三、填空題12．已知函數(shù)，則單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【分析】解不等式，可得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，令在上單調(diào)遞減.故答案為：四、雙空題13．已知，則；．【答案】－23【分析】令可得，根據(jù)組合知識，5個中取四個提供與相乘，也可5個中取5個提供與相乘，合并同類項可得.【詳解】令，則，即；根據(jù)組合知識，含的項為：，即.故答案為：；.五、填空題14．從0，2，4中任取2個數(shù)字，從1，3，5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則其中奇數(shù)的個數(shù)為．【答案】84【分析】根據(jù)題意，分從0，2，4中選出的數(shù)字沒有0和有0，利用排列和組合結(jié)合分類計數(shù)原理求解.【詳解】解：由題意，分2類討論：第一類是從0，2，4中選出的數(shù)字沒有0，則從2，4中任取2個數(shù)字有種方法，從1，3，5中任取2個數(shù)字有種方法，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個，第二類是從0，2，4中選出的數(shù)字有0，則從2，4中任取1個數(shù)字有種方法，從1，3，5中任取2個數(shù)字有種方法，則組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個，則共有個符合條件的奇數(shù)，故答案為：8415．已知函數(shù)，，給出下列四個結(jié)論：①若，則；②若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；③若關(guān)于x的方程在區(qū)間上無解，則；④若點M，N分別在函數(shù)和的圖象上，則一定存在M，N關(guān)于直線對稱.其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②④【分析】對于①：求導(dǎo)分析的符號，的單調(diào)性，即可判斷①是否正確；對于②：，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可判斷②是否正確；對于③：若在上無解，在上無解，即可判斷③是否正確；對于④：由于點，分別在函數(shù)和的圖象上，設(shè)，，若點與點關(guān)于對稱，則,，進而可得，即在上有解，即可判斷④是否正確.【詳解】對于①：，因為，所以當時，，單調(diào)遞減，若，則，所以，故①錯誤；對于②：，，若，則，單調(diào)遞增，故②正確；對于③：若在上無解，則在上無解，所以在上無解，設(shè)，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以或，故③錯誤；對于④：因為點，分別在函數(shù)和的圖象上，所以設(shè)，，若點與點關(guān)于對稱，則,，又點在圖象上，則，所以在上有解，令，，，所以在上，單調(diào)遞增，所以，又，所以方程在上有解，故④正確．故答案為：②④．六、解答題16．從4名女生3名男生中選出3名學生去參加一項創(chuàng)新大賽．(1)選出3名學生中，恰有1名男生的選法有多少種？(2)選出3名學生中，既有女生又有男生的選法有多少種？(3)選出3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法有多少種？【答案】(1)18(2)30(3)25【分析】（1）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算可得結(jié)果；（2）分兩類計數(shù)再相加可得結(jié)果；（3）分三類計數(shù)再相加可得結(jié)果.【詳解】（1）從3名男生中選出1名的選法有種，從4名女生選出2名的選法有種，所以選出的3名學生中，恰有1名男生的選法為．（2）選出的3名學生中，有1名女生2名男生的選法有種，有2名女生1名男生的選法有種，所以選出的3名學生中，既有女生又有男生的選法為種．（3）選出的3名學生中，女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙不在內(nèi)的選法有種；女生中的甲不在內(nèi)且男生中的乙在內(nèi)的選法有種；女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙也在內(nèi)的選法有種，所以選出的3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法為種．17．已知二項式為．(1)求該二項式的展開式的中間兩項；(2)求該二項式的展開式中項的系數(shù).【答案】(1)(2)84【分析】（1）根據(jù)題意得到的展開式的中間兩項為第4項和第5項，然后代入二項式展開式的通項公式即可求解；（2）先寫出二項式展開式的通項，然后根據(jù)題意求出的值，代入即可求解.【詳解】（1）因為二項式為，所以的展開式的中間兩項為第4項和第5項．所以的展開式的第4項是．第5項是．（2）因為二項式為，所以展開式的通項是．根據(jù)題意，得，所以．所以的展開式中的系數(shù)是．18．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)極大值為；極小值為(2)最大值為，最小值為．【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，得出的根，列表即可得解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及極值求函數(shù)最大最小值即可.【詳解】（1）因為，定義域為，所以．令，解得，或．當x變化時，，的變化情況如下表所示．x－11＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為．（2）由（1）知，在區(qū)間上有極小值為．因為，．所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為．19．已知函數(shù)，．(1)若，求a的值；(2)當時，求曲線在點處的切線方程；(3)若在時取得極值，求a的值.【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）首先求導(dǎo)得，根據(jù)即可解出值；（2）代入得，求出其導(dǎo)數(shù)，計算出切點縱坐標和切線斜率即可得到切線方程；（3）由題意代入，解出，再證明時，取得極值.【詳解】（1）因為，定義域為，所以．因為，所以．所以．（2）當時，．所以．所以，．所以曲線在點處的切線方程為．（3）因為在時取得極值，所以，即，所以．當時，．令，即，得；令，即，得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在時取得極大值，符合題意．所以．20．已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，求證：，，恒有．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再分，，，討論求解；（2）由時，，利用導(dǎo)數(shù)法求得當時的最值即可得到證明.【詳解】（1）解：因為，定義域為，所以．令，解得，或．①當，即時，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．②當，即a≥0時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．③當，即時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．④當，即時，當x變化時，，的變化情況如下表所示．x2＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當a≥0時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）當時，．當時，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上的最小值是．因為，．所以.所以在區(qū)間上的最大值是．所以，，恒有．【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于含參求單調(diào)區(qū)間問題，一般是求導(dǎo)后分兩類：第一類是能因式分解的根據(jù)根的大小分情況討論，第二類是不能因式分解的，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用根的分布討論求解.21．已知函數(shù)．(1)求的零點；(2)設(shè)，．（?。┤粼趨^(qū)間上存在零點，求a的取值范圍；（ⅱ）當時，若在區(qū)間上的最小值是0，求a的值．【答案】(1)零點是0；(2)（?。?；（ⅱ）a的值為．【分析】（1）由即可求解零點；（2）（?。η髮?dǎo)，再對分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求解的范圍；（ⅱ）對分類討論，求出的最小值，從而可得的值．【詳解】（1）因為，令，即，解得，所以的零點是0；（2）（?。┮驗?，所以，所以，①當時，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．所以在區(qū)間上不存在零點，不符合題意．②當時，令，即，得．若，即時，．所以．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，所以在區(qū)間上不存在零點，不符合題意．若，即時，令，得；令，得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為，所以存在，使得．當，．所以存在，使得．由零點存在性定理，存在，使得．所以在區(qū)間上存在零點．綜上所述，a的取值范圍是；（ⅱ）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當時，取得極小值，也是最小值．①當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上最小值為．所以．所以．②當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在區(qū)間上最小值為．所以．所以，不符合題意．③當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上