遼寧省大連市重點(diǎn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2019—2020學(xué)年度下學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分第=1\*ROMANI卷（選擇題,共60分）一、單選題(共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=3+4i，則z的虛部為（A.5B.52C.-52.已知α,β是兩個(gè)不同平面，直線l?β，則“α//β”是“l(fā)//α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，是《算經(jīng)十書》中最重要的一種，其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，計(jì)算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積的計(jì)算公式為弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(簡稱為弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(簡稱為弧田弦)圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田弦的長，“矢”等于弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弦長AB等于6m，其弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為eq\f(7,2)m2，則cos∠AOB＝()A．eq\f(1,25)B．eq\f(3,25)C．eq\f(1,5)D．eq\f(7,25)4．黑板上有一道有正解的解三角形的習(xí)題，一位同學(xué)不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，…，解得b＝eq\r(6)，根據(jù)以上信息，你認(rèn)為下面哪個(gè)選項(xiàng)可以作為這個(gè)習(xí)題的其余已知條件()A．A＝30°,B＝45°B．c＝1，cosC＝eq\f(1,3)C．B＝60°，c＝3D．C＝75°，A＝45°5.若tan(α＋80°)＝4sin420°，則tan(α＋20°)的值為(）A．－eq\f(\r(3),5)B．eq\f(\r(3),5)C．eq\f(\r(3),19)D．eq\f(\r(3),7)6.把復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的向量OA,OB分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后,重合于向量OM且模相等,已知,則復(fù)數(shù)z1的代數(shù)式和它的輻角主值分別是()A.,B.C.D.7.在三棱錐A－BCD中，△ABC和△BCD都是邊長為2eq\r(3)的等邊三角形，且平面ABC⊥平面BCD，則三棱錐A－BCD外接球的表面積為()A．8πB．12πC．16πD．20π8.已知不共線向量OA，OB夾角為α，OA=1，OB=2，OP=(1-t)OA，OQ=tOB(0≤t≤1)，PQ在t=A.(0,π3)B.(π3,二、多選題(共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全選對(duì)得滿分，漏選得3分，選錯(cuò)得0分）9．對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是()A．若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形B．若A＞B，則sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC是鈍角三角形10.已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，則α的值為()A．eq\f(π,16)B．eq\f(11π,16)C．eq\f(9π,16)D．eq\f(7π,16)11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對(duì)邊，已知A＝eq\f(π,3)，a＝7，則以下判斷正確的是（）A.△ABC的外接圓面積是eq\f(49π,3)；B.bcosC＋ccosB＝7；C.b＋c可能等于16；D.作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，則|AA′|的最大值是7eq\r(3).12.已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O.將△ABD沿BD折起，使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是()A.DM與BC不可能垂直B.BD⊥CMC.存在一個(gè)位置，使△CDM為等邊三角形D.直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°第Ⅱ卷（非選擇題,共90分）三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．）13.已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=14.已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，則φ的值是15.若△ABC的面積為eq\f(eq\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；eq\f(c,a)的取值范圍是________．16.如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將ΔABM沿直線AM翻折成ΔAB1M，連結(jié)B1D，①②翻折過程中，CN的長是定值；③若AB=BM，則AM⊥B④若AB=BM=1，當(dāng)三棱錐B1三棱錐B1-AMD的外接球的表面積是四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.(滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝4tanxsin(eq\f(π,2)－x)cos(x－eq\f(π,3))－eq\r(3).(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的單調(diào)性．18.(滿分12分）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足sinA＋eq\r(3)cosA＝2.(1)求角A的大??；(2)現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a＝2；②B＝eq\f(π,4)；③c＝eq\r(3)b.試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫出你的方案并以此為依據(jù)求△ABC的面積．(寫出一種方案即可)19.(滿分12分）設(shè)z+1為關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虛根,i是虛數(shù)單位.(1)當(dāng)z=-1+i時(shí),求p,q的值;(2)若q=1,在復(fù)平面上,設(shè)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,復(fù)數(shù)2-4i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,試求|MN|的取值范圍.20.(滿分12分）如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB//EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知AB=3，EF=1.（1）求證：平面DAF⊥平面CBF；（2）設(shè)幾何體F-ABCD、F-BCE的體積分別為V1、V2，求21.(滿分12分）某市規(guī)劃一個(gè)平面示意圖為如右圖五邊形ABCDE的一條自行車賽道，ED，DC，CB，BA，AE為賽道(不考慮寬度)，BE為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝eq\f(2π,3)，DE＝4km，BC＝CD＝eq\r(3)km.(1)求服務(wù)通道BE的長度；(2)當(dāng)∠AEB＝eq\f(π,4)時(shí)，求賽道BA的長度．22．(滿分12分）如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，且AD⊥BC，四邊形ABB1A1為正方形．(1)求證：A1C∥平面AB1D；(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離．

2019—2020學(xué)年度下學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)答案1——8.CADDDBDC9.ABD10.AC11.ABD12.BCD13.914.－eq\f(π,6)15.eq\f(π,3)(2，＋∞)16.②④17.(1)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，f(x)＝4tanxcosxcos(x－eq\f(π,3))－eq\r(3)＝4sinxcos(x－eq\f(π,3))－eq\r(3)＝4sinx(eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx)－eq\r(3)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)sin2x－eq\r(3)＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)－eq\r(3)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,3))．所以，f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z.所以，當(dāng)x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]時(shí)，f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,12)，eq\f(π,4)]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－eq\f(π,4)，－eq\f(π,12)]上單調(diào)遞減．18.(1)依題意得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝1，∵0<A<π，∴eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(4π,3)，∴A＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,6).(2)參考方案：選擇①②.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2eq\r(2).∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\r(3)＋1.19.(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,則方程x2+px+q=0的兩根分別為i,-i.由根與系數(shù)的關(guān)系有i∴p=0,q=1;(2)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),若q=1,則z+1,z+1是方程x2+px+1=0的兩虛數(shù)根.則z+1=a+1+bi=a+1-bi.由題意可得:(z+1)z+1=(a+1)2+b2=1.令a+1=cosθ,∵復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,復(fù)數(shù)2-4i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,∴|MN|=(=10sin(θ+20.（1）如圖,矩形ABCD中，CB⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∵CB∩BF=B，CB、BF?平面CBF，∴AF⊥平面CBF，∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF.另解：也可證明BF⊥平面ADF.幾何體F-ABCD是四棱錐、F-BCE是三棱錐，過點(diǎn)F作FH⊥AB，交AB于H.∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FH⊥平面ABCD.則V1=∴V21.解(1)如圖，連接BD，在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝9，∴BD＝3.∵BC＝CD，∠BCD＝eq\f(2π,3)，∴∠CBD＝∠CDB＝eq\f(π,6)，又∠CDE＝eq\f(2π,3)，∴∠BDE＝eq\f(π,2)，在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝5.故服務(wù)通道BE的長度為5km.(2)在△BAE中，∠BAE＝eq\f(2π,3)，BE＝5，∠AEB＝eq\f(π,4)，由正弦定理得，eq\f(BE,sineq\f(2π,3))＝eq\f(BA,sineq\f(π,4))，即eq\f(5,eq\f(eq\r(3),2))＝eq\f(BA,eq\f(eq\r(2),2))，得BA＝eq\f(5eq\r(6),3)，故賽道BA的長度為eq\f(5eq\r(6),3)km.22.(1)連接BA1，交AB1于點(diǎn)E，再連接DE，由已知得，四邊形ABB1A1為正方形，E為A1B的中點(diǎn)，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE∥A1C，又DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC為它們的交線，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B