北京大學(xué)量子力學(xué)課件-第22講

第二十二講

自旋

(1)電子自旋存在的實驗事實

A.Stern-Gerlach實驗（1922年）Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一束處于基態(tài)的銀原子通過這樣的場時，發(fā)現(xiàn)僅分裂成二束，即僅二條軌道（兩個態(tài)）。

1

而人們知道，銀原子（）基態(tài)，所以沒有軌道磁矩。而分成二個狀態(tài)（二個軌道）表明,存在磁矩。這磁矩在任何方向上的投影僅取二個值。這只能是電子本身的，這磁矩稱為內(nèi)稟磁矩。與之相聯(lián)系的角動量稱為電子自旋，它是電子的一個新物理量，也是一個新的動力學(xué)變量。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講2北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講3

B.堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)原子光譜中有一譜線，波長為5893?。但精細(xì)測量發(fā)現(xiàn)，實際上，這是由兩條譜線組成??

4北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講5

C.反常塞曼效應(yīng)（AnomalousZeemaneffect）原子序數(shù)為奇數(shù)的原子，其多重態(tài)是偶數(shù)，在弱磁場中分裂的光譜線條數(shù)為偶數(shù)條如鈉和的兩條光譜線。在弱磁場中分裂為條和條。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應(yīng)。

D.在弱磁場中，能級分裂出的多重態(tài)的相鄰能級間距，并不一定為，而是。

6

對于不同能級，可能不同，而不是簡單為( 被稱為因子)。根據(jù)這一系列實驗事實，G.Uhlenbeck）（烏倫貝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假設(shè)①電子具有自旋，并且有內(nèi)稟磁矩，它們有關(guān)系

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②電子自旋在任何方向上的測量值僅取兩個值

，所以以為單位，則（而）北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講8

現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對論性理論自然得到?？紤]到輻射修正

現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出9

(2)自旋－微觀客體的一個動力學(xué)變量

A.電子的自旋算符和它的矩陣表示

由于電子具有自旋，實驗發(fā)現(xiàn)，它也具有內(nèi)稟磁矩

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講10假設(shè)：自旋算符有三個分量，并滿足角動量所具有的對易關(guān)系

a.對易關(guān)系

b.由于它在任意方向上的分量的測量值，僅取二個數(shù)值，所以假設(shè)：自旋算符有三個分量，并滿足角11

于是

是一常數(shù)

c.

矩陣形式由于其分量僅取二個數(shù)值，也即本征值僅二北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講12

個，所以可用矩陣表示。

ⅰ.若選作為力學(xué)量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然為對角矩陣，而對角元就是它的本征值

13相應(yīng)的本征矢其對應(yīng)的表示為，

ⅱ.在表象中的矩陣表示

相應(yīng)的本征矢14

這只要將作用于的基矢并以基矢展開，從展開系數(shù)來獲得.由

得系數(shù)矩陣為轉(zhuǎn)置得

這只要將作用于的基矢并15以及

16其系數(shù)矩陣為轉(zhuǎn)置得對于在方向上的分量為

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講17北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講18

d.

PauliOperator；為方便起見，引入泡利算符

于是，在表象中有（或稱Pauli表象）

d.PauliOperator；為方便起見，19稱為泡利矩陣由此得

稱為泡利矩陣20北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講21（2）考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述

A.

自旋波函數(shù)（電子的自旋態(tài)）對于的本征方程為在其自身表象

22

而相應(yīng)本征態(tài)的表示為北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講23

是的本征值為的本征態(tài)在表象中的表示；是的本征值為的本征態(tài)在表象中的表示。顯然正交對于任何一旋量在表象中，其表示為北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講24而和可由與標(biāo)積獲得北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講25

B.考慮自旋后狀態(tài)的描述由于電子除了之外，還有第四個動力學(xué)變量，它的特點僅取二個值，而。所以，可在表象中表示體系波函數(shù)。對處于某狀態(tài)的體系可按自旋波函數(shù)展開。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講26這即在表象中表示。

如令

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講27則表象中的表示為若是歸一化的態(tài)矢量，則

則表象中的表示為28

代表體系處于而自旋向上的幾率密度代表體系處于而自旋向下的幾率密度如同一般變量可分離型一樣，當(dāng)對和 是變量可分離型的，則其特解為

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講29

C．考慮自旋后，力學(xué)量的表述而在表象中，的表示為

C．考慮自旋后，力學(xué)量的表述30

而在表象中的表示為

所以方程 在表象中可表為

而在表象中的表示為31北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講32

直接由在表象中表示來獲得表象中的表示

33

例：求算符在表象中的表示北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講34

對任一算符的平均值為北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講35

例：求在態(tài)矢量中的平均值解：在表象中表示

36

而

37北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講38（3）考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤方程

A.

動能項在非相對論極限下，電子的動能為當(dāng)計及電子的自旋后，波函數(shù)是兩分量。并注意到

（3）考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤39我們有而置于電磁場中時，則

我們有40

B.自旋－軌道耦合項

由Dirac方程可以證明，當(dāng)電子在中心力場中運動，哈密頓量（在非相對論極限下）中將出現(xiàn)自旋－軌道耦合項（Thomas項）（核提供的庫侖屏敝場和自旋的作用導(dǎo)致），

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講41

C．電子置于電磁場中的哈密頓量

D.處于中心場中的電子，并置于電磁場中的薛定諤方程為

C．電子置于電磁場中的哈密頓量42

應(yīng)該注意，在表象中，這時是兩分量的，即

（1，2，3項是對角矩陣）應(yīng)該注意，在表象中，這時是兩43北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講44§7.3堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)引進電子自旋后，我們就能夠利用量子力學(xué)理論來解釋原子光譜中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)及在外電磁場中的現(xiàn)象

（1）總角動量

A.總角動量引入：當(dāng)考慮電子具有自旋后電子在中心力場中的

Hamiltonian為

§7.3堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)45

由于自旋－軌道耦合項，和都不是運動常數(shù).

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講46因此，()不能構(gòu)成力學(xué)量完全集但即引入而

47由于有心勢所以，彼此對易北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講48

因此可作為力學(xué)量的完全集（如無，可選）

B.的共同本征矢的表示（在表象中）北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講49

1.它是

的本征函數(shù)取

50

2．它們是的本征函數(shù)因此3．由

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講51

在表象中矩陣表示北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講52北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講53即得的本征值北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講54

由此可見，取確定值，而不具有確定值，它們?nèi)≈禐?/p>

55

事實上，上述就是基矢以基矢展開。

事實上，上述就是56即從A表象

B表象

a,b就是平常稱的幺正變換系數(shù)

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講57

于是在中心勢中，考慮了電子的自旋，則其特解

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講58北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講59

例：電四極矩電四極矩算符在原子物理和原子核物理中，測量的電四極矩給出的值的定義為（對于一個電荷均勻分布的帶電體，其大小，符號，反映了體系的形狀）先看

例：電四極矩60

由

61

而注意到與自旋無關(guān)，而是正交的

62北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第22講63

由此可見，時，，這是由于算符是角動量為的算符。當(dāng)它作用于后，態(tài)將從當(dāng)