數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史課件

數(shù)學(xué)發(fā)展簡史數(shù)學(xué)發(fā)展簡史1數(shù)學(xué)發(fā)展史大致可以分為四個階段

一、數(shù)學(xué)起源時期二、初等數(shù)學(xué)時期

三、近代數(shù)學(xué)時期四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期數(shù)學(xué)發(fā)展史大致可以分為四個階段2一、數(shù)學(xué)起源時期

（遠(yuǎn)古(4000年前)——公元前5世紀(jì)）

這一時期：建立自然數(shù)的概念；認(rèn)識簡單的幾何圖形；算術(shù)與幾何尚未分開。一、數(shù)學(xué)起源時期3數(shù)學(xué)起源于四個“河谷文明”地域

非洲的尼羅河---埃及：幾何的故鄉(xiāng)西亞的底格里斯河與幼發(fā)拉底河：巴比倫---代數(shù)的源頭；中南亞的印度河與恒河---印度：阿拉伯?dāng)?shù)字的誕生地東亞的黃河與長江----中國

文明程度的主要標(biāo)志之一就是數(shù)學(xué)的萌芽數(shù)學(xué)起源于四個“河谷文明”地域非洲的尼羅河---埃及：幾4記數(shù)刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學(xué)活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上的刻痕。古埃及的象形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前3400年；巴比倫的楔形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前2400年；中國的甲骨文數(shù)字出現(xiàn)在約公元前1600年。古埃及的紙草書和羊皮書及巴比倫的泥板文書記載了早期數(shù)學(xué)的內(nèi)容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股數(shù)”及二次方程求解的記錄。記數(shù)刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學(xué)活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上5數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史ppt課件6萊茵德紙草書(1650B.C.)萊茵德紙草書(1650B.C.)7莫斯科紙草書莫斯科紙草書8古巴比倫的“記事泥板”中關(guān)于

“整勾股數(shù)”的記載”

（馬其頓，1988年）20世紀(jì)在兩河流域有約50萬塊泥版文書出土，其中300多塊與數(shù)學(xué)有關(guān)（約公元前1000年）

（文達(dá)，1982年）古巴比倫的“記事泥板”中關(guān)于

“整勾股數(shù)”的記載”（約公元前9數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史ppt課件10西安半坡遺址中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類活動，那里出土的彩陶上有多種幾何圖形，包括平行線、三角形、圓、長方形、菱形等。西安半坡遺址中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類11數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史ppt課件12數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史ppt課件13埃及—幾何的故鄉(xiāng)

公元前20~17世紀(jì)，埃及已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學(xué)知識，其中包括算術(shù)（乘除法、分?jǐn)?shù)）、幾何、三角，以及有關(guān)一元一次方程、一元二次方程的求解問題、關(guān)于谷倉容積的測定、關(guān)于金字塔斜面傾角的計算等等。他們能求出長方形、三角形、梯形和圓形的面積，其中圓周率求至3.16。埃及—幾何的故鄉(xiāng)公元前20~17世紀(jì)，埃及已經(jīng)積14巴比倫—代數(shù)的源頭會開平方、開立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式,知道了勾股定理，能測量不規(guī)則形面積和截頂角錐體的體積，并推算出圓周率的近似值為。印度—阿拉伯?dāng)?shù)字的誕生地印度數(shù)學(xué)的發(fā)展晚于埃及、巴比倫、希臘和中國．印度人的特殊貢獻(xiàn)有：阿拉伯?dāng)?shù)字是印度人的發(fā)現(xiàn)，他們大約在公元前4世紀(jì)就開始使用這種數(shù)字，直到公元8世紀(jì)才傳入阿拉伯國家，后經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲．用符號“0”表示零是印度人的一大發(fā)明．巴比倫—代數(shù)的源頭印度—阿拉伯?dāng)?shù)字的誕生地15中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》，

（西周，前1100年）（上海圖書館藏）《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的記載中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》，16

二、初等數(shù)學(xué)時期

（前6世紀(jì)——公元16世紀(jì)）

也稱常量數(shù)學(xué)時期，這期間逐漸形成了初等數(shù)學(xué)的主要分支：算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角。該時期的基本成果，構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。這一時期按照地域又分為三個階段：古希臘；東方；歐洲文藝復(fù)興。二、初等數(shù)學(xué)時期171．古希臘（前6世紀(jì)——公元6世紀(jì)）

在公元前7~5世紀(jì)的古希臘，數(shù)學(xué)知識是從埃及傳到那里的。古希臘最早的數(shù)學(xué)家可能是泰利斯。據(jù)說他提出并證明了下列幾何學(xué)基本命題：圓為它的任一直徑所平分；半圓的圓周角是直角；等腰三角形兩底角相等；相似三角形的各對應(yīng)邊成比例；若兩三角形兩角和一邊對應(yīng)相等則兩三角形全等。幾何的系統(tǒng)論述出現(xiàn)在公元前5世紀(jì)，德謨克利特提出了對于他那個時代相當(dāng)深刻的、包含積分萌芽思想的一些論斷。不可公度線段的發(fā)現(xiàn)及隨之建立起來的不可公度比的理論，是希臘數(shù)學(xué)的巨大成就。這種邏輯構(gòu)造方法，顯然超出了經(jīng)驗知識的范圍，是純數(shù)學(xué)最后定形的標(biāo)志。1．古希臘（前6世紀(jì)——公元6世紀(jì)）18古希臘人對數(shù)學(xué)似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學(xué)方面。這在一定程度上應(yīng)當(dāng)歸功于畢達(dá)哥拉斯派和柏拉圖，他們都是數(shù)學(xué)的崇拜者和鼓吹者。據(jù)說柏拉圖在他所創(chuàng)辦的學(xué)園的門口上寫著：“不懂幾何學(xué)者不得入內(nèi)”。據(jù)說，歐幾里得幾何學(xué)中關(guān)于平行線、三角形、多邊形、圓、球和正多面體的許多定理，實際上都是畢達(dá)哥拉斯派的成果。公元前5世紀(jì)，在希臘曾存在過一個被稱為智者派的哲學(xué)派別，他們之中有一些數(shù)學(xué)家提出了三個著名的幾何作圖難題：即只用圓規(guī)和直尺，（1）作一正方形使其面積等于一已知圓的面積；（2）作一立方體使其體積等于一已知立方體的兩倍；（3）三等分一任意角。

古希臘人對數(shù)學(xué)似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學(xué)方面。公元19畢達(dá)哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“萬物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯(公元前580年～公元前500年)“萬物皆數(shù)”20TheSchoolofAthensbyRaphael這是“拉斐爾(意大利藝術(shù)大師（RaffaelloSanzio，1483-1520）)畫室”第二房間左面的壁畫“雅典的學(xué)院”（SchoolofAthens/Scolad’Atene），617×219cm，1510-1500年完成；它在上面那幅壁畫“圣事爭論”的對面；畫面以表現(xiàn)古代雅典柏拉圖的學(xué)苑（Academy/Academia）為背景，將地中海沿岸各國的古今著名學(xué)者熔于一爐；學(xué)者們的姿態(tài)以當(dāng)時的“七藝”（語法、修辭、邏輯、數(shù)學(xué)、幾何、音樂和天文）而各具情態(tài)。背景大廳兩側(cè)的壁龕雕塑，左面是阿波羅，右面是雅典娜。TheSchoolofAthensbyRaphae21柏拉圖與亞里士多德倡導(dǎo)邏輯演繹的結(jié)構(gòu)柏拉圖與22歐幾里得五條公理

1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量減等量，其差相等；4.彼此能重合的物體是全等的；5.整體大于部分。五條公設(shè)

1.過兩點能作且只能作一直線；2.線段(有限直線)可以無限地延長；3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；4.凡是直角都相等；5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交。(Euclid,公元前330年～前275年)歐幾里得五條公理(Euclid,公元前330年～前27523各卷簡介

第一卷：幾何基礎(chǔ)。重點內(nèi)容有三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個命題是畢達(dá)哥拉斯定理的正逆定理；

第二卷：幾何與代數(shù)。講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當(dāng)于余弦定理。

第三卷：本卷闡述圓，弦，切線，割線，圓心角，圓周角的一些定理。

第四卷：討論圓內(nèi)接和外切多邊形的做法和性質(zhì)；

第五卷：討論比例理論，多數(shù)是繼承自歐多克斯的比例理論,被認(rèn)為是"最重要的數(shù)學(xué)杰作之一"

第六卷：講相似多邊形理論，并以此闡述了比例的性質(zhì)。

第五、第七、第八、第九、第十卷：講述比例和算術(shù)的理論；第十卷是篇幅最大的一卷，主要討論無理量（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。

第十一卷、十二、十三卷：最后講述立體幾何的內(nèi)容.中學(xué)的數(shù)學(xué)全部包括于此各卷簡介中學(xué)的數(shù)學(xué)全部包括于此24阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）

《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190）《圓錐曲線論》25托勒密丟番圖三角學(xué)不定方程托勒密丟番圖三角學(xué)不定方程26《砂粒計算》是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關(guān)的。《球與圓柱》熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的1.5倍。《圓的度量》，利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率π為：22/7>π>223/71，這是數(shù)學(xué)史上最早的，明確指出誤差限度的π值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的等腰三角形的面積（使用的是窮竭法）。

阿基米德《砂粒計算》是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計27《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學(xué)權(quán)重方法再次驗證這個結(jié)論，使數(shù)學(xué)與力學(xué)成功地結(jié)合起來。《論螺線》是阿基米德對數(shù)學(xué)的出色貢獻(xiàn)。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導(dǎo)出幾何級數(shù)和算術(shù)級數(shù)求和的幾何方法。《平面的平衡》是關(guān)于力學(xué)的最早的科學(xué)論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。《浮體》，是流體靜力學(xué)的第一部專著，阿基米德把數(shù)學(xué)推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學(xué)公式表示浮體平衡的規(guī)律?！墩撳F型體與球型體》講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體的體積。

阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)寫下了不可磨滅的一章《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這28阿基米德的墓碑上刻的圖阿基米德的墓碑上刻的圖29此后是千余年的停滯隨著希臘科學(xué)的終結(jié)，在歐洲出現(xiàn)了科學(xué)蕭條，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心移到了印度、中亞細(xì)亞和阿拉伯國家．在這些地方從5世紀(jì)到15世紀(jì)的一千年中間，數(shù)學(xué)主要由于計算的需要而發(fā)展．印度人發(fā)明了現(xiàn)代記數(shù)法（后來傳到阿拉伯，從發(fā)掘出的材料看，中國是使用十進制最早的國家），引進了負(fù)數(shù)．到了16世紀(jì)，歐洲文藝復(fù)興時代，歐洲人向阿拉伯學(xué)習(xí)，并根據(jù)阿拉伯文的翻譯熟識了希臘科學(xué)，從阿拉伯沿襲過來的印度記數(shù)法逐漸在歐洲確定下來，歐洲科學(xué)終于越過了先人的成就．此后是千余年的停滯隨著希臘科學(xué)的終結(jié)，在歐洲出現(xiàn)了科學(xué)蕭條，302．東方（公元2世紀(jì)——15世紀(jì)）中國：西漢（前2世紀(jì)）—宋元時期（公元10世紀(jì)—14世紀(jì)）印度：公元8世紀(jì)—12世紀(jì)阿拉伯國家：公元8世紀(jì)—15世紀(jì)2．東方（公元2世紀(jì)——15世紀(jì)）中國：西漢（前2世紀(jì)）—311）中國西漢（前2世紀(jì)）

——《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》

魏晉南北朝（公元3世紀(jì)——5世紀(jì)）——劉徽、祖沖之出入相補原理，割圓術(shù)，算

1）中國32

《九章算術(shù)》是我國第一部最重要的數(shù)學(xué)專著，大約成書于東漢初期（公元1世紀(jì)）。書中載有246個應(yīng)用題目的解法，涉及算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何等多方面的內(nèi)容。其中所載述的分?jǐn)?shù)四則運算、比例算法、用勾股定理解決一些測量中的問題等，都是當(dāng)時世界最高水平的工作。關(guān)于負(fù)數(shù)的概念和正負(fù)數(shù)加減法則的記載是世界上最早的。書中還講述了開平方、開立方、一元二次方程的數(shù)值解法、聯(lián)立一次方程解法等許多問題?！毒耪滤阈g(shù)》是我國第一部最重要的數(shù)學(xué)專著，大約成書33“中國古代數(shù)學(xué)第一人”劉徽（約公元3世紀(jì)）割圓術(shù)“中國古代數(shù)學(xué)第一人”劉徽（約公元3世紀(jì)）割圓術(shù)34第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”（ICM）

InternationalCongressofMathematicians

第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”（ICM）

Internation35為2002北京“國際數(shù)學(xué)家大會”發(fā)行的

紀(jì)念郵資明信片JP108為2002北京“國際數(shù)學(xué)家大會”發(fā)行的

紀(jì)念郵資明信片JP36該會標(biāo)的涵義？該會標(biāo)的涵義？37第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”會標(biāo)宋刻本《周髀算經(jīng)》，（上海圖書館藏）第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”會標(biāo)宋刻本《周髀算經(jīng)》，38《周髀算經(jīng)》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三股修四經(jīng)隅五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！薄吨荀滤憬?jīng)》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

39中國數(shù)學(xué)史上最先完成

勾股定理的證明趙爽(東漢末至三國時代,生平不詳，約生活于公元3世紀(jì))研究過張衡的天文學(xué)著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過“算術(shù)”。他的主要貢獻(xiàn)是約在222年深入研究了《周牌算經(jīng)》，為該書寫了序言，并作了詳細(xì)注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數(shù)學(xué)史上極有價值的文獻(xiàn)。其中的弦圖相當(dāng)于運用面積的“出入相補”方法，證明了勾股定理。中國數(shù)學(xué)史上最先完成

勾股定理的證明趙爽(東漢末40勾股定理將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦?！弊C明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實?！惫垂啥ɡ韺⒐垂啥ɡ肀硎鰹椋骸肮垂筛髯猿耍⒅?，為弦實。開方除41數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史ppt課件42祖沖之（公元429-500年）祖沖之（公元429-500年）43

宋元時期（公元10世紀(jì)——14世紀(jì)）

宋元四大家——李冶（1192～1279）、秦九韶（約1202～約1261）、楊輝（13世紀(jì)下半葉）、朱世杰（13世紀(jì)末～14世紀(jì)初）天元術(shù)、正負(fù)開方術(shù)——高次方程數(shù)值求解；大衍總數(shù)術(shù)——一次同余式組求解宋元時期（公元10世紀(jì)——14世44楊輝楊輝45秦九韶程序秦九韶程序是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶最先提出的一種解一元高次方程的算法-正負(fù)開方術(shù)。后來在西方被十九世紀(jì)初英國數(shù)學(xué)家威廉·霍納重新發(fā)現(xiàn)，被稱作霍納算法?；艏{在1819年發(fā)表《解所有次方程》論文，被評為“必使發(fā)明人因為發(fā)現(xiàn)此算法而置身于重要發(fā)明家之列”。秦九韶程序秦九韶程序是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶最先提出的一46秦九韶的《數(shù)書九章》“賈憲三角”，

卷一“大衍總數(shù)術(shù)”也稱“楊輝三角”秦九韶的《數(shù)書九章》“47朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——x、y、z、w）

（“天元基金”）朱世杰的《四元玉鑒》

四元高次方程組，（天、地、人、物——48

2）印度

現(xiàn)代記數(shù)法（公元8世紀(jì)）——印度數(shù)碼，有0，負(fù)數(shù)；十進制（后經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，也稱阿拉伯記數(shù)法）數(shù)學(xué)與天文學(xué)交織在一起阿耶波多——《阿耶波多歷數(shù)書》（公元499年）開創(chuàng)弧度制度量婆羅摩笈多——《婆羅摩修正體系》、《肯特卡迪亞格》代數(shù)成就可貴 婆什迦羅——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世紀(jì)）算術(shù)、代數(shù)、組合學(xué)2）印度49

3）阿拉伯國家（公元8世紀(jì)——15世紀(jì)）

花拉子米——《代數(shù)學(xué)》（阿拉伯文《還原與對消計算概要》）曾長期作為歐洲的數(shù)學(xué)課本，“代數(shù)”一詞，即起源于此；阿拉伯語原意是“還原”，即“移項”；此后，代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，主要是解方程。阿布爾．維法奧馬爾．海亞姆阿拉伯學(xué)者在吸收、融匯、保存古希臘、印度和中國數(shù)學(xué)成果的基礎(chǔ)上，又有他們自己的創(chuàng)造，使阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對歐洲文藝復(fù)興時期數(shù)學(xué)的崛起，作了很好的學(xué)術(shù)準(zhǔn)備。

3）阿拉伯國家50花拉子米當(dāng)時阿拉伯天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家工作的情景花拉子米當(dāng)時阿拉伯天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家工作的情景51

3．歐洲文藝復(fù)興時期

（公元16世紀(jì)——17世紀(jì)初）

1）方程與符號

意大利－塔塔利亞、卡爾丹、費拉里

三次方程的求根公式法國－韋達(dá)

引入符號系統(tǒng)，代數(shù)成為獨立的學(xué)科

3．歐洲文藝復(fù)興時期52“算法家”與“算盤家”的比賽韋達(dá)“算法家”與“算盤家”的比賽韋53

2）透視與射影幾何

畫家－布努雷契、柯爾比、迪勒、達(dá)．芬奇數(shù)學(xué)家－阿爾貝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊爾

3）對數(shù)

簡化天文、航海方面煩雜計算，把乘除轉(zhuǎn)化為加減。

蘇格蘭數(shù)學(xué)家－納皮爾2）透視與射影幾何54中世紀(jì)油畫中世紀(jì)油畫55文藝復(fù)興時代的油畫文藝復(fù)興時代的油畫56英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖（違反透視原理）英國畫家柯爾比<泰勒博士透視方法淺說>(1754)

卷首插圖57家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機器大工業(yè)貿(mào)易及殖民地→航海業(yè)空前發(fā)展對運動和變化的研究成了自然科學(xué)的中心→→變量、函數(shù)

1.笛卡爾的坐標(biāo)系（1637年《幾何學(xué)》）

恩格斯：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”三、近代數(shù)學(xué)時期：變量數(shù)學(xué)

（公元17世紀(jì)——19世紀(jì)初）

家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機器大工業(yè)三、近代58<幾何學(xué)>(1637)笛卡爾(R.Descartes,1596-1650)<幾何學(xué)>(1637)笛卡爾(R.Descartes,1559解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物在《幾何學(xué)》里，笛卡爾給出了解析幾何原理，這就是利用坐標(biāo)方法把具有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。解析幾何給出了回答如下問題的途徑：（1）通過計算來解決曲線作圖的幾何問題；（2）求給定某種幾何性質(zhì)的曲線的方程；（3）利用代數(shù)方法證明新的幾何定理；（4）反過來，從幾何的觀點來看代數(shù)方程。因此，解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，在采用坐標(biāo)方法的同時，用代數(shù)方法研究幾何對象。在笛卡爾之前，從古希臘起在數(shù)學(xué)中占優(yōu)勢地位的是幾何學(xué)；解析幾何則使代數(shù)獲得更廣的意義和更高的地位。解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物在《幾何學(xué)》里，笛卡爾給出了60２．牛頓和萊布尼茲的微積分

（17世紀(jì)后半期）

到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。２．牛頓和萊布尼茲的微積分

（17世紀(jì)后半期）61

十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。

62牛頓的一項被廣泛認(rèn)可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻(xiàn)，并首次使用了分式指數(shù)和坐標(biāo)幾何學(xué)得到丟番圖方程的解。他用對數(shù)趨近了調(diào)和級數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅(qū)），并首次有把握地使用冪級數(shù)和反轉(zhuǎn)（revert）冪級數(shù)。他還發(fā)現(xiàn)了π的一個新公式。牛頓：IsaacNewton牛頓的一項被廣泛認(rèn)可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。63萊布尼茨曾討論過負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結(jié)論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學(xué)的基本概念。萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716)萊布尼茨曾討論過負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對數(shù)并不存在，共64數(shù)學(xué)方法的轉(zhuǎn)變幾何方法解析方法數(shù)學(xué)方法的轉(zhuǎn)變幾何方法解析方法65３．微分方程、變分法、微分幾何、

復(fù)變函數(shù)、概率論微分方程論研究的是這樣一種方程，方程中的未知項不是數(shù)，而是函數(shù)。變分法研究的是這樣一種極值問題，所求的極值不是點或數(shù)，而是函數(shù)。微分幾何是關(guān)于曲線和曲面的一般理論。與微分幾何相聯(lián)系的解析幾何在18世紀(jì)也有長足的發(fā)展，被推廣到三維情形，并突破了笛卡爾當(dāng)年解析幾何僅僅作為求解幾何問題的代數(shù)技巧的界限。微積分及其中變量、函數(shù)和極限等概念，運動、變化等思想，使辯證法滲入了全部數(shù)學(xué)；并使數(shù)學(xué)成為精確地表述自然科學(xué)和技術(shù)的規(guī)律及有效地解決問題的得力工具。３．微分方程、變分法、微分幾何、

復(fù)變函數(shù)、概率論微分方程論66萊昂哈德——歐拉：

他對微分方程理論作出了重要貢獻(xiàn)。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，這些計算法被用于計算力學(xué)中。此中最有名的被稱為歐拉方法。在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。自然數(shù)的歐拉函數(shù)被定義為小于并且與互質(zhì)的自然數(shù)的個數(shù)。例如，，因為有四個自然數(shù)1，3，5和7與8互質(zhì)。在分析領(lǐng)域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數(shù)。他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：其中是黎曼函數(shù)。歐拉將虛數(shù)的冪定義為如下公式:這就是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)的中心。在初等分析中，從本質(zhì)上來說，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為“最卓越的數(shù)學(xué)公'”的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數(shù)：他是歐拉-馬歇羅尼公式的發(fā)現(xiàn)者之一，這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數(shù)的時候極為有效。萊昂哈德——歐拉：他對微分方程理論作出了重67歐洲最大的數(shù)學(xué)家---約瑟夫·拉格朗日

近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是對分析數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一。被譽為“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。歐洲最大的數(shù)學(xué)家---約瑟夫·拉格朗日68約瑟夫·拉格朗日：方程解法在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻(xiàn)，推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。他提交給柏林科學(xué)院兩篇著名的論文：《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預(yù)解式)以求解。置換群他試圖尋找五次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅(qū)。數(shù)論在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數(shù)是不多于4個平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。冪級數(shù)在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎(chǔ)方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結(jié)為代數(shù)運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學(xué)。但是由于他沒有考慮到無窮級數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是回避了極限概念，并沒有能達(dá)到他想使微積分代數(shù)化、嚴(yán)密化的目的。不過，他用冪級數(shù)表示函數(shù)的處理方法對分析學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實變函數(shù)論的起點。約瑟夫·拉格朗日：方程解法694．代數(shù)基本定理（1799年）這一時期代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程。18世紀(jì)的最后一年，高斯的博士論文給出了具有重要意義的“代數(shù)基本定理”的第一個證明。該定理斷言，在復(fù)數(shù)范圍里，n次多項式方程有n個根。4．代數(shù)基本定理（1799年）這一時期代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)70高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18歲時發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個新的、概率性質(zhì)的測量結(jié)果。在這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線（正態(tài)分布曲線）。其函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或高斯分布），并在概率計算中大量使用。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18歲時發(fā)現(xiàn)了71“分析”、“代數(shù)”、“幾何”三大分支在18世紀(jì)，由微積分、微分方程、變分法等構(gòu)成的“分析”，已經(jīng)成為與代數(shù)、幾何并列的數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，并且在這個世紀(jì)里，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了代數(shù)和幾何。

第三時期（近代數(shù)學(xué)時期）的基本結(jié)果，如解析幾何、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等，已成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容。“分析”、“代數(shù)”、“幾何”三大分支72

四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代——）進一步劃分為三個階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀階段（1820——1870年）；現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成階段（1870——1950年）；現(xiàn)代數(shù)學(xué)繁榮階段（1950——現(xiàn)在）。這一時期雖然還不到二百年的時間，內(nèi)容卻非常豐富，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了過去所有數(shù)學(xué)的總和。

四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期73現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代——）

１．康托的“集合論”2．柯西、魏爾斯特拉斯等人的“數(shù)學(xué)分析”3．希爾伯特的“公理化體系”4．高斯、羅巴契夫斯基、波約爾、黎曼的“非歐幾何”5．伽羅瓦創(chuàng)立的“抽象代數(shù)”6．黎曼開創(chuàng)的“現(xiàn)代微分幾何”7．龐加萊創(chuàng)立的“拓?fù)鋵W(xué)”8.其它：數(shù)論、隨機過程、數(shù)理邏輯、組合數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、分形與混沌等等。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期的結(jié)果，也成為高校數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，并被科技工作者所使用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代——）74柯西（1789-1857)柯西近代數(shù)學(xué)的領(lǐng)跑者柯西（1789-1857)柯西75單復(fù)變函數(shù)柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。分析基礎(chǔ)柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析，簡稱分析)以來，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論?？挛鳂O限論的功能設(shè)函數(shù)f(x)在點x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x。|<δ時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：|f(x)-A|<ε那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時的極限。常微分方程柯西在分析方面最深刻的貢獻(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題。通常認(rèn)為是柯西提出的三種主要方法，即柯西－利普希茨法，逐漸逼近法和強級數(shù)法，實際上以前也散見到用于解的近似計算和估計?？挛鞯淖畲筘暙I(xiàn)就是看到通過計算強級數(shù)，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。單復(fù)變函數(shù)常微分方程76其他貢獻(xiàn)雖然柯西主要研究分析，但在數(shù)學(xué)中各領(lǐng)域都有貢獻(xiàn)。關(guān)于用到數(shù)學(xué)的其他學(xué)科，他在天文和光學(xué)方面的成果是次要的，可是他卻是數(shù)理彈性理論的奠基人之一。除以上所述外，他在數(shù)學(xué)中其他貢獻(xiàn)如下：1．分析方面：在一階偏微分方程論中行進丁特征線的