第一節(jié)　基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積

第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體

的表面積和體積第八章內(nèi)容索引0102強基礎固本增分研考點精準突破課標解讀1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.強基礎固本增分1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

圍成多面體的每一個面都是平面圖形,沒有曲面微點撥1.要掌握棱柱、棱錐各部分的結(jié)構(gòu)特征,計算問題往往轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行解決.2.臺體可以看成是由錐體截得的,但一定要知道截面與底面平行.微思考

有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?提示

不一定.如圖.

旋轉(zhuǎn)體一定有旋轉(zhuǎn)軸(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征微點撥

旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點,弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀.2.空間幾何體的直觀圖用斜二測畫法作立體圖形的直觀圖的步驟:

九十度、畫一半,橫不變,縱減半,平行關系不改變,畫出圖形更直觀(1)在立體圖形中取水平平面,在其中取互相垂直的x軸與y軸,作出水平平面上圖形的直觀圖(保留x'軸與y'軸).(2)在立體圖形中,過x軸與y軸的交點取z軸,并使z軸垂直于x軸與y軸,過

x'軸

與

y'軸

的交點作z軸對應的z'軸,且z'軸垂直于

x'軸

.圖形中與z軸平行(或重合)的線段畫成與z'軸平行(或重合)的線段,且長度

不變

.連接有關線段.

(3)擦去有關輔助線,并把

被面遮擋住的線段

改成虛線(或擦除).

3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

微點撥

一些幾何體表面上的最短距離問題,常常利用幾何體的展開圖解決.4.柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積

微點撥1.求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積時,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決.2.求幾何體的體積時,要注意利用分割、補形與等體積法.微思考

柱體、錐體、臺體體積之間有什么關系?提示

5.祖暅原理“冪勢既同,則積不容異”,這就是說,夾在兩個

平行平面

間的兩個幾何體,如果被平行于這兩個平面的

任意

平面所截,兩個截面的面積

總相等

,那么這兩個幾何體的體積一定相等.

常用結(jié)論1.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形面積的關系:2.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關系為3.正方體與球的切、接常用結(jié)論設正方體的棱長為a,球的半徑為R.(1)若球為正方體的外接球,則2R=a;(2)若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a;(3)若球與正方體的各棱相切,則2R=a.4.長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,其外接球的半徑為R,則自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)2.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)3.用兩平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)4.菱形的直觀圖仍是菱形.(

)××××題組二

雙基自測5.

如圖,圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑,則球與圓柱的體積之比為(

)A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.4∶5答案

B6.如圖,一個漏斗的上面部分是一個長方體,下面部分是一個四棱錐,兩部分的高都是0.5m,公共面ABCD是邊長為1m的正方形,那么這個漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)?(計算漏斗的容積時不考慮漏斗的厚度)研考點精準突破考點一基本立體圖形(多考向探究預測)考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題組(1)給出下列說法:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐;③棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確說法的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2

D.3(2)給出下列說法:①棱柱的側(cè)棱長都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;②存在每個面都是直角三角形的四面體;③棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.其中正確說法的序號有

.

答案

(1)A

(2)②③解析

(1)①不一定,只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線;②錯誤,當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐,如圖所示,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;③錯誤,棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等.(2)①不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;②正確,如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形;③正確,由棱臺的概念可知.規(guī)律方法

辨別空間幾何體的兩種方法

考向2直觀圖題組(1)如圖所示是水平放置的△ABC的直觀圖,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一個(

)A.等邊三角形B.直角三角形C.非等邊的等腰三角形D.鈍角三角形(2)已知△ABC是邊長為a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'的面積為(

)答案

(1)A

(2)A(2)(方法1)根據(jù)題意,建立如圖1所示的平面直角坐標系,再按照斜二測畫法畫出△ABC的直觀圖,如圖2所示.圖1圖2引申探究(變條件變結(jié)論)本題組(2)變?yōu)?已知水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'是邊長為2的正三角形,則△ABC的面積為

.

規(guī)律方法

在斜二測畫法中,要確定關鍵點及關鍵線段的位置,注意“三變”與“三不變”;平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關系是S直觀圖=S原圖形.考向3展開圖例題(1)《增刪算法統(tǒng)宗》中許多數(shù)學問題都是以歌訣的形式出現(xiàn)的.其中有一首“葛藤纏木”,大意是說:有根高2丈的圓木柱,該圓木的底面圓周長為3尺,有根葛藤從圓木的根部向上生長,緩慢地自下而上均勻繞該圓木7周,剛好長的和圓木一樣高.已知1丈等于10尺,則能推算出該葛藤長為(

)A.21尺

B.25尺 C.29尺

D.33尺(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=,CC1=,動點M在棱CC1上,連接MA,MD1,則MD1+MA的最小值為(

)答案

(1)C

(2)C解析

(1)如圖所示,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形ABEF,由題意得AB=2丈=20尺,圓周長BE=3尺,則葛藤均勻繞圓柱7周,葛藤長為規(guī)律方法

多面體表面展開圖可以有不同的形狀,應多實踐,觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系,一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀,借助展開圖,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).對點訓練(1)(2021·新高考Ⅰ,3)已知圓錐的底面半徑為,其側(cè)面展開圖為一個半圓,則該圓錐的母線長為(

)(2)如圖,四棱錐的底面是正方形,頂點P在底面上的射影是底面正方形的中心,側(cè)棱長為4,側(cè)面的頂角為30°.過點A作一截面與PB,PC,PD分別相交于E,F,G,則四邊形AEFG周長的最小值是

.

解析

(1)設圓錐底面半徑為r1,圓錐側(cè)面展開圖半圓所在圓的半徑為r2.(2)依題意,四棱錐為正四棱錐,且每個側(cè)面的頂角為30°,將四棱錐P-ABCD的側(cè)面沿PA展開,如圖,A展開后到A',則PA=4,且∠APA'=120°,則當E,F,G和A,A'在同一直線上時,四邊形AEFG的周長取最小值,最小值為AA'.所以在三角形APA'中,由余弦定理得AA'2=PA2+PA'2-2×PA×PA'×cos

120°=考點二空間幾何體的表面積與體積(多考向探究預測)考向1表面積例題

(1)(2022·山東菏澤二模)民間娛樂健身工具陀螺起源于我國,如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知,底面圓的直徑AB=16cm,圓柱體部分的高BC=8cm,圓錐體部分的高CD=6cm,則這個陀螺的表面積是(

)A.192πcm2

B.252π

cm2C.272πcm2

D.336π

cm2(2)(2023·湖南第二次質(zhì)量檢測)如圖,一種棱臺形狀的無蓋容器(無上底面A1B1C1D1)模型,其上、下底面均為正方形,面積分別為4cm2,9cm2,且A1A=B1B=C1C=D1D.若該容器模型的體積為cm3,則該容器模型的表面積為(

)答案

(1)C

(2)C解析

(1)由題意可得圓錐體的母線長為

,所以圓錐體的側(cè)面積為10×8π=80π(cm2),圓柱體的側(cè)面積為16π×8=128π(cm2),陀螺的底面圓的面積為π×82=64π(cm2),所以此陀螺的表面積為80π+128π+64π=272π(cm2).規(guī)律方法

幾何體表面積的求法

求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何體特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中的邊長關系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積對點訓練為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境,某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示,該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體,正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形.若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為

∶8,則正六棱錐與正六棱柱的高的比值為(

)答案

D考向2體積題組(1)(2022·新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為(≈2.65)(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3

C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3(2)(2021·北京,8)某一時間段內(nèi),從天空降落到地面上的雨水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度,稱為這個時段的降雨量(單位:mm).24h降雨量的等級劃分如下:等級24

h降雨量(精確到0.1)…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中,某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中,該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如圖所示),則這24h降雨量的等級是(

)A.小雨 B.中雨

C.大雨

D.暴雨(3)(多選)(2022·新高考Ⅱ,11)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,E-ACF的體積分別為V1,V2,V3,則(

)A.V3=2V2

B.V3=2V1C.V3=V1+V2

D.2V3=3V1答案

(1)C

(2)B

(3)CD解析

(1)由題意可得,此棱臺的高h=157.5-148.5=9(m).設水庫水位為海拔148.5

m時,相應水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5

m時,相應水面的面積為S2,則S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,接EM,FM,易得BD⊥AC.又ED⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,規(guī)律方法

求空間幾何體的體積的三種方法

考點三與球有關的切、接問題(多考向探究預測)考向1幾何體的外接球例題(1)(2022·山東濟寧二模)一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為(

)A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶4(2)(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱臺的高為1,上、下底面的邊長分別為3和4,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(

)A.100π

B.128π

C.144π

D.192π(3)(2022·新高考Ⅰ,8)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36π,且3≤l≤3,則該正四棱錐體積的取值范圍是(

)答案

(1)A

(2)