第一節(jié)　基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積

第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體

的表面積和體積第八章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡單的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

圍成多面體的每一個(gè)面都是平面圖形,沒有曲面微點(diǎn)撥1.要掌握棱柱、棱錐各部分的結(jié)構(gòu)特征,計(jì)算問題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決.2.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的,但一定要知道截面與底面平行.微思考

有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?提示

不一定.如圖.

旋轉(zhuǎn)體一定有旋轉(zhuǎn)軸(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征微點(diǎn)撥

旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點(diǎn),弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀.2.空間幾何體的直觀圖用斜二測(cè)畫法作立體圖形的直觀圖的步驟:

九十度、畫一半,橫不變,縱減半,平行關(guān)系不改變,畫出圖形更直觀(1)在立體圖形中取水平平面,在其中取互相垂直的x軸與y軸,作出水平平面上圖形的直觀圖(保留x'軸與y'軸).(2)在立體圖形中,過x軸與y軸的交點(diǎn)取z軸,并使z軸垂直于x軸與y軸,過

x'軸

與

y'軸

的交點(diǎn)作z軸對(duì)應(yīng)的z'軸,且z'軸垂直于

x'軸

.圖形中與z軸平行(或重合)的線段畫成與z'軸平行(或重合)的線段,且長度

不變

.連接有關(guān)線段.

(3)擦去有關(guān)輔助線,并把

被面遮擋住的線段

改成虛線(或擦除).

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

微點(diǎn)撥

一些幾何體表面上的最短距離問題,常常利用幾何體的展開圖解決.4.柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積和體積

微點(diǎn)撥1.求棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積時(shí),要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決.2.求幾何體的體積時(shí),要注意利用分割、補(bǔ)形與等體積法.微思考

柱體、錐體、臺(tái)體體積之間有什么關(guān)系?提示

5.祖暅原理“冪勢(shì)既同,則積不容異”,這就是說,夾在兩個(gè)

平行平面

間的兩個(gè)幾何體,如果被平行于這兩個(gè)平面的

任意

平面所截,兩個(gè)截面的面積

總相等

,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.

常用結(jié)論1.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形面積的關(guān)系:2.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系為3.正方體與球的切、接常用結(jié)論設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為R.(1)若球?yàn)檎襟w的外接球,則2R=a;(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球,則2R=a;(3)若球與正方體的各棱相切,則2R=a.4.長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,其外接球的半徑為R,則自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)2.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)3.用兩平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)4.菱形的直觀圖仍是菱形.(

)××××題組二

雙基自測(cè)5.

如圖,圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑,則球與圓柱的體積之比為(

)A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.4∶5答案

B6.如圖,一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長方體,下面部分是一個(gè)四棱錐,兩部分的高都是0.5m,公共面ABCD是邊長為1m的正方形,那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)?(計(jì)算漏斗的容積時(shí)不考慮漏斗的厚度)研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一基本立體圖形(多考向探究預(yù)測(cè))考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題組(1)給出下列說法:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐;③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確說法的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2

D.3(2)給出下列說法:①棱柱的側(cè)棱長都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;②存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體;③棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中正確說法的序號(hào)有

.

答案

(1)A

(2)②③解析

(1)①不一定,只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線;②錯(cuò)誤,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐,如圖所示,它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體;③錯(cuò)誤,棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長不一定相等.(2)①不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;②正確,如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個(gè)面都是直角三角形;③正確,由棱臺(tái)的概念可知.規(guī)律方法

辨別空間幾何體的兩種方法

考向2直觀圖題組(1)如圖所示是水平放置的△ABC的直觀圖,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一個(gè)(

)A.等邊三角形B.直角三角形C.非等邊的等腰三角形D.鈍角三角形(2)已知△ABC是邊長為a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'的面積為(

)答案

(1)A

(2)A(2)(方法1)根據(jù)題意,建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,再按照斜二測(cè)畫法畫出△ABC的直觀圖,如圖2所示.圖1圖2引申探究(變條件變結(jié)論)本題組(2)變?yōu)?已知水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'是邊長為2的正三角形,則△ABC的面積為

.

規(guī)律方法

在斜二測(cè)畫法中,要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置,注意“三變”與“三不變”;平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系是S直觀圖=S原圖形.考向3展開圖例題(1)《增刪算法統(tǒng)宗》中許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣的形式出現(xiàn)的.其中有一首“葛藤纏木”,大意是說:有根高2丈的圓木柱,該圓木的底面圓周長為3尺,有根葛藤從圓木的根部向上生長,緩慢地自下而上均勻繞該圓木7周,剛好長的和圓木一樣高.已知1丈等于10尺,則能推算出該葛藤長為(

)A.21尺

B.25尺 C.29尺

D.33尺(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=,CC1=,動(dòng)點(diǎn)M在棱CC1上,連接MA,MD1,則MD1+MA的最小值為(

)答案

(1)C

(2)C解析

(1)如圖所示,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形ABEF,由題意得AB=2丈=20尺,圓周長BE=3尺,則葛藤均勻繞圓柱7周,葛藤長為規(guī)律方法

多面體表面展開圖可以有不同的形狀,應(yīng)多實(shí)踐,觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系,一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀,借助展開圖,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2021·新高考Ⅰ,3)已知圓錐的底面半徑為,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線長為(

)(2)如圖,四棱錐的底面是正方形,頂點(diǎn)P在底面上的射影是底面正方形的中心,側(cè)棱長為4,側(cè)面的頂角為30°.過點(diǎn)A作一截面與PB,PC,PD分別相交于E,F,G,則四邊形AEFG周長的最小值是

.

解析

(1)設(shè)圓錐底面半徑為r1,圓錐側(cè)面展開圖半圓所在圓的半徑為r2.(2)依題意,四棱錐為正四棱錐,且每個(gè)側(cè)面的頂角為30°,將四棱錐P-ABCD的側(cè)面沿PA展開,如圖,A展開后到A',則PA=4,且∠APA'=120°,則當(dāng)E,F,G和A,A'在同一直線上時(shí),四邊形AEFG的周長取最小值,最小值為AA'.所以在三角形APA'中,由余弦定理得AA'2=PA2+PA'2-2×PA×PA'×cos

120°=考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積(多考向探究預(yù)測(cè))考向1表面積例題

(1)(2022·山東菏澤二模)民間娛樂健身工具陀螺起源于我國,如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知,底面圓的直徑AB=16cm,圓柱體部分的高BC=8cm,圓錐體部分的高CD=6cm,則這個(gè)陀螺的表面積是(

)A.192πcm2

B.252π

cm2C.272πcm2

D.336π

cm2(2)(2023·湖南第二次質(zhì)量檢測(cè))如圖,一種棱臺(tái)形狀的無蓋容器(無上底面A1B1C1D1)模型,其上、下底面均為正方形,面積分別為4cm2,9cm2,且A1A=B1B=C1C=D1D.若該容器模型的體積為cm3,則該容器模型的表面積為(

)答案

(1)C

(2)C解析

(1)由題意可得圓錐體的母線長為

,所以圓錐體的側(cè)面積為10×8π=80π(cm2),圓柱體的側(cè)面積為16π×8=128π(cm2),陀螺的底面圓的面積為π×82=64π(cm2),所以此陀螺的表面積為80π+128π+64π=272π(cm2).規(guī)律方法

幾何體表面積的求法

求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何體特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境,某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示,該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體,正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形.若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為

∶8,則正六棱錐與正六棱柱的高的比值為(

)答案

D考向2體積題組(1)(2022·新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(≈2.65)(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3

C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3(2)(2021·北京,8)某一時(shí)間段內(nèi),從天空降落到地面上的雨水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度,稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量(單位:mm).24h降雨量的等級(jí)劃分如下:等級(jí)24

h降雨量(精確到0.1)…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實(shí)踐活動(dòng)中,某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中,該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如圖所示),則這24h降雨量的等級(jí)是(

)A.小雨 B.中雨

C.大雨

D.暴雨(3)(多選)(2022·新高考Ⅱ,11)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,E-ACF的體積分別為V1,V2,V3,則(

)A.V3=2V2

B.V3=2V1C.V3=V1+V2

D.2V3=3V1答案

(1)C

(2)B

(3)CD解析

(1)由題意可得,此棱臺(tái)的高h(yuǎn)=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5

m時(shí),相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5

m時(shí),相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,接EM,FM,易得BD⊥AC.又ED⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,規(guī)律方法

求空間幾何體的體積的三種方法

考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題(多考向探究預(yù)測(cè))考向1幾何體的外接球例題(1)(2022·山東濟(jì)寧二模)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為(

)A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶4(2)(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面的邊長分別為3和4,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(

)A.100π

B.128π

C.144π

D.192π(3)(2022·新高考Ⅰ,8)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π,且3≤l≤3,則該正四棱錐體積的取值范圍是(

)答案

(1)A

(2)