一般項(xiàng)級(jí)數(shù)課件

§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理12.11若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）(2)則該級(jí)數(shù)收斂，且其和§3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理12.11若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿1定理12.11(萊布尼茨判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）(2)則該級(jí)數(shù)收斂，且其和證:設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為則注意到各括號(hào)均為非負(fù)的,故為單調(diào)減,為單調(diào)增,且即為區(qū)間套,由區(qū)間套定理,存在唯一S,使得故收斂,即該級(jí)數(shù)收斂.定理12.11(萊布尼茨判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）(2定理3若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）（2）則該級(jí)數(shù)收斂，且其和例6判定下列級(jí)數(shù)的斂散性解：為交錯(cuò)級(jí)數(shù).顯然所以,該級(jí)數(shù)收斂.定理3若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）（2）則該級(jí)數(shù)收斂，且其和例3定理3若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）（2）則該級(jí)數(shù)收斂，且其和例6判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:為交錯(cuò)級(jí)數(shù).顯然故該級(jí)數(shù)收斂.定理3若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）（2）則該級(jí)數(shù)收斂，且其和例4二絕對(duì)收斂與條件收斂若收斂,則稱絕對(duì)收斂.若收斂,而發(fā)散,則稱條件收斂.關(guān)系及有關(guān)判別法定理4若收斂,則收斂.(絕對(duì)收斂則收斂)定理5設(shè)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù),若則(1)當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(2)當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散.二絕對(duì)收斂與條件收斂若收斂,則稱絕對(duì)收斂.若收斂,而發(fā)散5例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)(2)(3)解:(1)發(fā)散.發(fā)散.收斂.條件收斂.(2)而收斂.故絕對(duì)收斂.例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)(2)(3)解:(1)發(fā)散.6例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)(2)(3)解:(3)A.當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.B.當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散.C.當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)發(fā)散.D.當(dāng)時(shí),該級(jí)數(shù)條件收斂.例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:(1)(2)(3)解:(3)A.當(dāng)71.級(jí)數(shù)重排自然數(shù)列{1，2，…，n，…}到它自身的映射：稱作自然數(shù)據(jù)的重排。數(shù)列稱作原數(shù)列的重排。將，則可將重排后的級(jí)數(shù)寫作：定理12.13絕對(duì)收斂,且其和為S,則任意重排后所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,并且有相同的和(相當(dāng)于加法的交換律).設(shè)級(jí)數(shù)1.級(jí)數(shù)重排自然數(shù)列{1，2，…，n，…}到它自身的映射：稱82.級(jí)數(shù)的乘積乘積可能的項(xiàng)為設(shè)定理12.14若級(jí)數(shù)按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,且其和等于AB.都絕對(duì)收斂,且其和分別為A,B則對(duì)表中所有的乘積2.級(jí)數(shù)的乘積乘積可能的項(xiàng)為設(shè)定理12.14若級(jí)數(shù)按9三阿貝耳判別法與狄利克雷判別法用于級(jí)數(shù)的斂散性的判別.引理(分部求和公式，也稱為阿貝耳變換)設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，若令則有如下分部求和公式成立證：分別乘以整理后就得所要證的公式以三阿貝耳判別法與狄利克雷判別法用于級(jí)數(shù)的斂散性的判別.10引理(分部求和公式，也稱為阿貝耳變換)設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，若令則有如下分部求和公式成立證：分別乘以整理后就得所要證的公式以推論(阿貝耳引理)若是單調(diào)數(shù)組；則記時(shí)，有（ii）對(duì)任一自然數(shù)引理(分部求和公式，也稱為阿貝耳變換)設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，若令則11推論(阿貝耳引理)若是單調(diào)數(shù)組；則記時(shí)，有（ii）對(duì)任一自然數(shù)證：由（i）知道都是同號(hào)的．于是由分部求和公式及條件(ii)推得推論(阿貝耳引理)若是單調(diào)數(shù)組；則記時(shí)，有（ii）對(duì)任一12三阿貝耳判別法與狄利克雷判別法用于級(jí)數(shù)的斂散性的判別.1.阿貝爾判別法:定理12.15若為單調(diào)有界數(shù)列，收斂，則級(jí)數(shù)(A)收斂．且級(jí)數(shù)(A)證由于級(jí)數(shù)收斂，依柯西準(zhǔn)則，對(duì)任給正數(shù)存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)及任一自然數(shù)p，都有又由于數(shù)列有界，所以存在M>0，使得應(yīng)用阿貝爾引理結(jié)果可得到由級(jí)的柯西收斂準(zhǔn)則知該級(jí)數(shù)收斂三阿貝耳判別法與狄利克雷判別法用于級(jí)數(shù)的斂散性的判別.131.阿貝爾判別法:定理12.15若為單調(diào)有界數(shù)列，收斂，則級(jí)數(shù)(A)收斂．且級(jí)數(shù)例判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:若級(jí)數(shù)收斂,2.狄利克雷判別法單調(diào)遞減，且又級(jí)數(shù)的部分和有界，則級(jí)數(shù)（A）收斂.定理12.16若數(shù)列例若數(shù)列具有性質(zhì)：討論級(jí)數(shù)的斂散性.1.阿貝爾判別法:定理12.15若為單調(diào)有界數(shù)列，收斂，14單調(diào)遞減，且又級(jí)數(shù)的部分和有界，則級(jí)數(shù)（A）收斂.定理12.16若數(shù)列例若