算符對易關系課件

§3.7力學量算符之間的對易關系討論微觀態(tài)中某一力學量時，總是以的本征值譜作為力學量的可能值。若我們同時觀測狀態(tài)中的一組不同力學量，將會得到什么結果呢？這一講我們主要討論這個問題。主要內容有：一個關系：力學量算符之間的對易關系

三個定理:

§3.7力學量算符之間的對易關系討論微觀態(tài)中某一力1算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ則??=ê其中ψ是任意波函數。一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數運算規(guī)則的唯一不同之處。算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ一般2對易關系若??≠??，則稱?與?不對易。由于所以(3.7-1)對易關系若??≠??，則稱?與?不對易。由于所以3為了運算上的方便，引入量子括號上式可寫為(3.7-2)同理可得(3.7-3)(3.7-4)為了運算上的方便，引入量子括號上式可寫為(3.7-2)同理可4

不難證明對易括號滿足如下對易關系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為Jacobi恒等式。不難證明對易括號滿足如下對易關系：5

證明3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]

利用則[?,?]≡??-??證明3)[?,?ê]=[?,?]ê+6(3.7-5)角動量算符的對易關系(3.7-5)角動量算符的對易關系7同理可得

寫成矢量

(3.7-6)(3.7-7)同理可得寫成矢量(3.7-6)(3.7-7)8同理可得

(3.7-8)同理可得(3.7-8)9定理：若兩個力學量算符有一組共同完備 的本征函數系，則二算符對易。證：由于n組成完備系，所以任意態(tài)函數(x)可以按其展開：定理：若兩個力學量算符有一組共同完備 的本征函數系，則二算符10則因為(x)是任意函數則因為(x)是任意函數11兩力學量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)（x）時，力學量F一般沒有確定值。如果力學量F有確定值，（x）必為F的本征態(tài)，即兩力學量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)（x）時，力學12如果有另一個力學量G在態(tài)中也有確定值，則必也是G的一個本征態(tài)，即結論：當在

態(tài)中測量力學量F和G時，如果同時具有確定值，那么必是二力學量共同本征函數。如果有另一個力學量G在態(tài)中也有確定值，則13定理：一組力學量算符具有共同完備本征函數系的充要條件是這組算符兩兩對易。例1：例2：定理：一組力學量算符具有共同完備本征函數系的充要條件是這組算14力學量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學 量算符的最小（數目）集合稱為力學量完全集。例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學量：例3：一維諧振子，只需要一個力學量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學量完全集中力學量的數目一般與體系自由度數相同。（3）由力學量完全集所確定的本征函數系，構成該體系態(tài)空間的 一組完備的本征函數，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。力學量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易15測不準關系的嚴格推導由上節(jié)討論表明，兩力學量算符對易則同時有確定值； 若不對易，一般來說，不存在共同本征函數， 不同時具有確定值。問題：兩個不對易算符所對應的力學量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度：測量值Fn與平均值<F>的偏差的大小。測不準關系的嚴格推導由上節(jié)討論表明，兩力學量算符對易則同時有16若(3.7-9)令(3.7-10)若(3.7-9)令(3.7-10)17測不準關系的嚴格推導設二厄密算符對易關系為：即測不準關系的嚴格推導設二厄密算符對易關系為：即18算符對易關系ppt課件19由代數二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數必須滿足下列關系：將并利用所以由代數二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數必須滿足下列關20（二）坐標和動量的測不準關系（1）測不準關系（二）坐標和動量的測不準關系（1）測不準關系21由測不準關系確定諧振子的零點能振子能量于是：由于由測不準關系確定諧振子的零點能振子能量于是：由于22二均方偏差不能同時為零，故E最小值也不能是零。為求E的最小值，取式中等號。求極值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零點能就是測不準關系所要求的最小能量則二均方偏差不能同時為零，故E最小值也不能是零。為求E23（三）角動量的測不準關系例1：利用測不準關系證明，在Lz本征態(tài)Ylm下， 〈Lx〉=〈Ly〉=0證：由于在Lz本征態(tài)Ylm中，測量力學量Lz

有確定值，所以Lz均方偏差必為零，即（三）角動量的測不準關系例1：利用測不準關系證明，在Lz24則測不準關系：平均值的平方為非負數欲保證不等式成立，必有：同理：例2：L2，LZ共同本征態(tài)Ylm

下，求測不準關系：解：由例1可知：則測不準關系：平均值的平方為非負數欲保證不等式成立，必有：同25例題4一維運動的粒子處在

求解：歸一化后可得利用有所以

例題4一維運動的粒子處在所以26所以

滿足不確定關系

所以滿足不確定關系27例在對某一狀態(tài)進行測量時，同時得到能量能唯一確定這一狀態(tài)嗎？解：能。因為三個力學量對易，故共同本征態(tài)為

例在對某一狀態(tài)進行測量時，同時得到能量28例題求粒子處于時角動量分量和分量的平均值。解：首先應注意，是的共同本征函數，而不對易，故不是