2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題12 數(shù)列（解析版）

專題12數(shù)列知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)1：等差數(shù)列基本量運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列基本量運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)列的最值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問(wèn)題（蛛網(wǎng)圖問(wèn)題）知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)列新定義問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)8：數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)9：數(shù)列不等式近三年高考真題知識(shí)點(diǎn)1：等差數(shù)列基本量運(yùn)算1．（2023?甲卷（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．25 B．22 C．20 D．15【答案】SKIPIF1<0【解析】等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．2．（2022?乙卷（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0．【答案】2．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：2．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差不為零，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中不同的數(shù)值有個(gè)．【答案】98．【解析】SKIPIF1<0等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差不為零，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其余各項(xiàng)均不相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中不同的數(shù)值有：SKIPIF1<0．故答案為：98．4．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；或設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此時(shí)SKIPIF1<0無(wú)解，SKIPIF1<0綜合可得SKIPIF1<0．5．（2021?新高考Ⅱ）記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（Ⅱ）求使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值．【解析】（Ⅰ）數(shù)列SKIPIF1<0是公差SKIPIF1<0不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0不合題意），故SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立，由于SKIPIF1<0為正整數(shù)，故SKIPIF1<0的最小正值為7．6．（2021?甲卷（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；②數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】選擇①③為條件，②結(jié)論．證明過(guò)程如下：由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，據(jù)此可得數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．選擇①②為條件，③結(jié)論：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．選擇③②為條件，①結(jié)論：由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0，據(jù)此可得，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．7．（2023?乙卷（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】（1）在等差數(shù)列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．8．（2021?甲卷（文））記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列．【解析】證明：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0②．由①②，得SKIPIF1<0③，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)也滿足③．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列基本量運(yùn)算9．（2022?乙卷（文））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項(xiàng)和為168，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．14 B．12 C．6 D．3【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0前3項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．10．（2021?甲卷（文））記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．7 B．8 C．9 D．10【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．11．（2023?甲卷（文））記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公比為．【答案】SKIPIF1<0．【解析】等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．12．（2021?上海）已知SKIPIF1<0為無(wú)窮等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的各項(xiàng)和為9，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)和為．【答案】SKIPIF1<0．【解析】設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的各項(xiàng)和為9，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)和為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．13．（2023?乙卷（理））已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0等比數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．14．（2021?甲卷（理））等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．設(shè)甲：SKIPIF1<0，乙：SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】SKIPIF1<0【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，不滿足充分性；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足必要性，故甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選：SKIPIF1<0．15．（2023?天津）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．3 B．18 C．54 D．152【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．16．（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．7 B．9 C．15 D．30【答案】SKIPIF1<0【解析】等比數(shù)列SKIPIF1<0中，設(shè)公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，（如果SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0矛盾，如果SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0矛盾），可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．沒(méi)有選項(xiàng)．故選：SKIPIF1<0．17．（2022?上海）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)積為SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)判斷正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0 D．若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】如果數(shù)列SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，但是數(shù)列SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，所以SKIPIF1<0不正確；如果數(shù)列SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，但是數(shù)列SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，所以SKIPIF1<0不正確；如果數(shù)列SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，但是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不正確；數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，可知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0正確，所以SKIPIF1<0正確；故選：SKIPIF1<0．18．（2023?新高考Ⅱ）記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．120 B．85 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然公比SKIPIF1<0，設(shè)首項(xiàng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，化簡(jiǎn)②得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不合題意，舍去），代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用19．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是舉，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為0.725，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．20．（2022年全國(guó)乙卷）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列bn：b1=1+1α1，b2=1+1A．b1<b5 B．b【答案】D【解析】【分析】根據(jù)αk∈N?k=1,2,…，再利用數(shù)列b【詳解】解：因?yàn)棣羕所以α1<α1+同理α1+1α又因?yàn)?α2>故b2<b以此類推，可得b1>bb11α2>α1+1故選：D.21．（2021?北京）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0，且長(zhǎng)與寬之比都相等．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．64 B．96 C．128 D．160【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個(gè)等差數(shù)列，且SKIPIF1<0是常值，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．另SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故：SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)列的最值問(wèn)題22．（2021?北京）已知SKIPIF1<0是各項(xiàng)為整數(shù)的遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．9 B．10 C．11 D．12【答案】SKIPIF1<0【解析】數(shù)列SKIPIF1<0是遞增的整數(shù)數(shù)列，SKIPIF1<0要取最大，遞增幅度盡可能為小的整數(shù)，假設(shè)遞增的幅度為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0可繼續(xù)增大，SKIPIF1<0非最大值，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不滿足題意，即SKIPIF1<0為最大值．故選：SKIPIF1<0．23．（2021?上海）已知SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0中有且僅有一個(gè)成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】31．【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有一個(gè)為1，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同樣也有，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，全部加起來(lái)至少是SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同樣也有，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，全部加起來(lái)至少是SKIPIF1<0，綜上所述，最小應(yīng)該是31．故答案為：31．知識(shí)點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問(wèn)題（蛛網(wǎng)圖問(wèn)題）24．（2023?北京）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，下列說(shuō)法正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】對(duì)原式進(jìn)行變形，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0錯(cuò)誤，同理可證明SKIPIF1<0錯(cuò)誤，當(dāng)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，假設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正確，對(duì)于SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，代入進(jìn)去很明顯不是遞減數(shù)列，SKIPIF1<0錯(cuò)誤，故選：SKIPIF1<0．25．（2022?浙江）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，累加可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．26．（2021?浙江）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由累加法可得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0也成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由累乘法可得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．另設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，接下來(lái)運(yùn)用待定系數(shù)法估計(jì)SKIPIF1<0的上下界，設(shè)SKIPIF1<0，則探索SKIPIF1<0也滿足上界的條件．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．在此條件下，有SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，此時(shí)可得SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用27．（2023?新高考Ⅰ）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，設(shè)甲：SKIPIF1<0為等差數(shù)列；乙：SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】SKIPIF1<0【解析】若SKIPIF1<0是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，上兩式相減得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上式成立，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（常數(shù)），所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：SKIPIF1<0．28．（2022?天津）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（3）求SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0要證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，由數(shù)列的通項(xiàng)公式和前SKIPIF1<0項(xiàng)和的關(guān)系得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．29．（2022?浙江）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)SKIPIF1<0，存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)于每個(gè)SKIPIF1<0，存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0恒成立在SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)，不等式變?yōu)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0符合要求，綜上所述，對(duì)于每個(gè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．30．（2022?新高考Ⅱ）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中元素的個(gè)數(shù)．【解析】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．31．（2022?甲卷（文））記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．已知SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）證明：由已知有：SKIPIF1<0①，把SKIPIF1<0換成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由等差數(shù)列定義有SKIPIF1<0為等差數(shù)列；（2）由已知有SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，由（1）有其公差為1，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0時(shí)取最小值，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．32．（2021?乙卷（文））設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）證明：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)列新定義問(wèn)題33．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0錯(cuò)；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0對(duì)；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)．故選：SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)8：數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題34．（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列SKIPIF1<0，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)的和為．【答案】48；384．【解析】SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的后7項(xiàng)成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公比SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，又該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)的和為SKIPIF1<0．故答案為：48；384．35．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的