課時規(guī)范練62　離散型隨機變量及其分布列

課時規(guī)范練62離散型隨機變量及其分布列基礎(chǔ)鞏固組1.(2021江蘇淮安二模)如圖,某系統(tǒng)使用A,B,C三種不同的元件連接而成,每個元件是否正常工作互不影響.當(dāng)元件A正常工作且B,C中至少有一個正常工作時系統(tǒng)即可正常工作.若元件A,B,C正常工作的概率分別為0.7,0.9,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.196 B.0.504 C.0.686 D.0.994答案:C解析:由題意可知,系統(tǒng)正常工作分為兩個步驟:①A正常工作,②B,C至少有一個正常工作.而A正常工作的概率為0.7;B,C至少有一個正常工作的概率為1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,則系統(tǒng)正常工作的概率為0.7×0.98=0.686,故選C.2.(2021江西重點中學(xué)聯(lián)考一)甲、乙兩人投籃相互獨立,且各投籃一次命中的概率分別是0.4和0.3,則甲、乙兩人各投籃一次,至少有一人命中的概率為()A.0.7 B.0.58 C.0.42 D.0.46答案:B解析:甲、乙兩人各投籃一次,至少有一人命中的概率為P=1-(1-0.4)×(1-0.3)=0.58.故選B.3.(2021廣東汕頭三模)現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、紫五只杯子,將它們疊成一疊,則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下,黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為()A.110 B.13 C答案:C解析:記“黃色杯子和綠色杯子相鄰”為事件A,“黃色杯子和綠色杯子相鄰,且黃色杯子和紅色杯子也相鄰”為事件B.則黃色杯子和綠色杯子相鄰有A44A22=48種排列法;黃色杯子和綠色杯子相鄰,且黃色杯子和紅色杯子也相鄰有所以P(B|A)=n(AB)4.一工廠生產(chǎn)的100個產(chǎn)品中有90個一等品,10個二等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個,則其中恰好有一個二等品的概率為()A.1-C904CC.C101答案:D解析:由超幾何分布的概率公式可知,所求概率為C5.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù),則P(ξ≤1)等于()A.15 B.25 C答案:D解析:P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-C6.已知隨機變量X的分布列為X-2-10123P111111若P(X2<x)=1112,則實數(shù)x的取值范圍是(A.4≤x≤9 B.4<x≤9C.4≤x<9 D.4<x<9答案:B解析:由隨機變量X的分布列知X2的可能取值為0,1,4,9,且P(X2=0)=412P(X2=1)=412,P(X2=4)=3P(X2=9)=1∵P(X2<x)=1112∴實數(shù)x的取值范圍是4<x≤9.故選B.7.(2021北京豐臺模擬)在抗擊新冠肺炎疫情期間,很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動.各社區(qū)志愿者服務(wù)類型有:現(xiàn)場值班值守,社區(qū)消毒,遠程教育宣傳,心理咨詢(每個志愿者僅參與一類服務(wù)).參與A,B,C三個社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如下表:社區(qū)社區(qū)服務(wù)總?cè)藬?shù)服務(wù)類型現(xiàn)場值班值守社區(qū)消毒遠程教育宣傳心理咨詢A10030302020B120403520251)從上表三個社區(qū)的志愿者中任取1人,求此人來自于A社區(qū),并且參與社區(qū)消毒工作的概率;(2)從上表三個社區(qū)的志愿者中各任取1人調(diào)查情況,以X表示負責(zé)現(xiàn)場值班值守的人數(shù),求X的分布列.解:(1)記“從上表三個社區(qū)的志愿者中任取1人,此人來自于A社區(qū),并且參與社區(qū)消毒工作”為事件D,則P(D)=30(2)從上表三個社區(qū)的志愿者中各任取1人,由表可知:A,B,C三個社區(qū)負責(zé)現(xiàn)場值班值守的概率分別為3X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=710P(X=1)=310P(X=2)=310P(X=3)=3X的分布列為X0123P1441918.在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列;(3)用Y表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,求Y的分布列.解:(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件M,則P(M)=C(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P因此X的分布列為X01234P151051(3)由題意知Y可取的值為3,1,-1,-3,-5,則P(Y=3)=C44C61C105=142,P(Y=1)=C43C62C105=521,P(Y31-1-3-5P151051綜合提升組9.(2021河北張家口一模)某大學(xué)進行“羽毛球”“美術(shù)”“音樂”三個社團選拔.某同學(xué)經(jīng)過考核選拔通過該校的“羽毛球”“美術(shù)”“音樂”三個社團的概率依次為a,b,12,已知三個社團中他恰好能進入兩個的概率為15.A.12 B.35 C答案:D解析:因為三個社團中某同學(xué)恰好能進入兩個的概率為15所以ab1-12+12a(1-b)+12b(1-a)=1得a+b-ab=25,所以該同學(xué)一個社團都不能進入的概率P=(1-a)(1-b)1-12=12[1-(a+b-ab)]=12×1-25=31010.(2021山東菏澤二模)某射擊運動員每次擊中目標(biāo)的概率為45,現(xiàn)連續(xù)射擊兩次(1)已知第一次擊中,則第二次擊中的概率是;

(2)在僅擊中一次的條件下,第二次擊中的概率是.

答案:(1)45(2)解析:(1)設(shè)第一次擊中為事件A,則P(A)=45,第二次擊中為事件B,則P(B)=由題意知,每次射擊的結(jié)果相互獨立,因此已知第一次擊中,則第二次擊中的概率為4(2)設(shè)僅擊中一次為事件C,則P(C)=C2在僅擊中一次的條件下,第二次擊中的概率是P(B|C)=111.(2021山東棗莊二模)天問一號火星探測器于2021年2月10日成功被火星捕獲,實現(xiàn)了中國在深空探測領(lǐng)域的技術(shù)跨越.為提升探測器健康運轉(zhuǎn)的管理水平,西安衛(wèi)星測控中心組織青年科技人員進行探測器遙控技能知識競賽,已知某青年科技人員甲是否做對每個題目相互獨立,做對①,②,③三道題目的概率以及做對時獲得相應(yīng)的獎金如表所示.題目①②③做對的概率0.80.60.4獲得的獎金/元100020003000規(guī)則如下:按照①,②,③的順序做題,只有做對當(dāng)前題目才有資格做下一題.(1)求甲獲得的獎金X的分布列及均值;(2)如果改變做題的順序,獲得獎金的均值是否相同?如果不同,你認為哪個順序獲得獎金的均值最大?(不需要具體計算過程,只需給出判斷)解:(1)分別用A,B,C表示做對題目①,②,③的事件,則事件A,B,C相互獨立.由題意,X的可能取值為0,1000,3000,6000,P(X=0)=P(A)=0.2;P(X=1000)=P(AB)=0.8×0.4=0.32;P(X=3000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.6=0.288;P(X=6000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192.所以甲獲得的獎金X的分布列為X0100030006000P0.20.320.2880.192EX=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.(2)改變做題的順序,獲得獎金的均值互不相同.猜想:按照由易到難的順序做題,即按照題目A,B,C的順序做題,得到獎金的期望值最大.12.(2021江蘇常州模擬)已知某射手射中固定靶的概率為34,射中移動靶的概率為23(1)求“該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次”的概率;(2)求該射手的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)記“該射手射中固定靶”為事件A,“該射手射中移動靶”分別為事件B,C,“該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次”為事件D.則P(A)=34,P(B)=P(C)=2D=ABC+ABC,其中ABC+ABC互斥,A,B,C,B,C從而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34×23×1-2P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34×1-23×則P(D)=P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)=13所以該射手射中固定靶且恰好射中移動靶1次的概率為1(2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,5,則P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(X=1)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(X=2)=P(ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)PP(X=3)=P(ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P(C)=34P(X=4)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=14P(X=5)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=3該射手的總得分X的分布列為X012345P111111隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=0×136+1×112+2×19+3×創(chuàng)新應(yīng)用組13.(2021山東煙臺一模)骰子通常作為桌上游戲的小道具,最常見的骰子是六面骰,它是一個質(zhì)地均勻的正方體,六個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6,現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲,共有4關(guān),規(guī)則如下:在第n關(guān)要拋擲六面骰n次,每次觀察向上面的點數(shù)并做記錄,如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2n+n,則算闖過第n關(guān),n=1,2,3,4,假定每次闖關(guān)互不影響,有以下四個結(jié)論:①直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為712②連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為524③若直接挑戰(zhàn)第3關(guān),設(shè)A表示“三個點數(shù)之和等于15”,B表示“至少出現(xiàn)一個5點”,則P(A|B)=113④若直接挑戰(zhàn)第4關(guān),則過關(guān)的概率是35則正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:①中,基本事件總數(shù)有36個,點數(shù)之和大于6的基本事件共有21個,∴P=2136=712,②中,挑戰(zhàn)第一關(guān)并過關(guān)的概率P1=12,前兩關(guān)過關(guān)的概率P=12×712③中,由題意,拋擲3次的基本事件有63=216個.拋擲3次至少出現(xiàn)一個5點的基本事件共有63-53=216-125=91個,故P(B)=91216,而事件AB