第4章-優(yōu)化設計(總結與工程實例)課件

第4章

優(yōu)化設計

總結與工程實例第4章優(yōu)化設計總結與工程實例4.6優(yōu)化設計中應注意的幾個問題

通常在選擇優(yōu)化方法時，首先應明確數(shù)學模型的特點。例如優(yōu)化問題的規(guī)模(即維數(shù)、目標函數(shù)及約束函數(shù)的數(shù)目)，目標函數(shù)及約束函數(shù)的性質(非線性程度、連續(xù)性及計算時的復雜程度)以及計算精度等。這些特點是選擇優(yōu)化方法的主要依據(jù)。選擇優(yōu)化方法時，還要考慮它本身及其計算程序的特點。例如，該方法是否已有現(xiàn)成的程序可用；編制程序所要花費的代價；程序的通用性或普遍性，即能否用它來解多種類型的問題；解題規(guī)模；使用該程序的簡便性及計算機執(zhí)行該程序需要花費的時間和費用，程序的機動性，優(yōu)化方法的收斂速度、計算精度、穩(wěn)定性及可靠性等。4.6.1優(yōu)化方法的選擇

4.6優(yōu)化設計中應注意的幾個問題通常在選擇優(yōu)化方法

在實際工程設計問題中，有時會遇到離散型設計變量的情況，這時可采用下述方法求解。1．湊整解法這種方法是將離散變量先假定為連續(xù)變量，在取得最優(yōu)解后，再進行必要的處理，將求得的非離散值調整到離其最近的可行的離散值，并計算該值相鄰各點的函數(shù)值，找出其中可行的最小點。2．網(wǎng)格法網(wǎng)格法是一種最簡單的直接求優(yōu)法，是一種窮舉法。它既可用于連續(xù)設計變量的約束優(yōu)化問題，又可用于具有離散型設計變量問題的求優(yōu)。3．隨機試驗法從規(guī)定離散數(shù)的集合中隨機抽樣，計算那些可行點的目標函數(shù)值并保留函數(shù)值最小的點，也可以尋得離散最優(yōu)解。除上述方法外，處理離散型設計變量的優(yōu)化設計問題，還可采用離散復合形法和離散罰函數(shù)法等。4.6.2離散變量的處理

在實際工程設計問題中，有時會遇到離散型設計變量的情況，這

在實際工程設計問題中，常常同時有幾項設計指標都希望達到最優(yōu)值，即所謂的多目標函數(shù)優(yōu)化問題。

多目標函數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學模型為

4.6.3多目標函數(shù)優(yōu)化問題的處理

（4-63）在上述目標函數(shù)的最優(yōu)化問題中，各個目標函數(shù)

的優(yōu)化往往是互相矛盾的，不能同時達到最優(yōu)解；甚至有時還會產(chǎn)生完全對立的情況，即對一個目標函數(shù)是優(yōu)點，對另一目標函數(shù)卻是劣點。這就需要在各個目標的最優(yōu)解之間進行協(xié)調，以便取得整體最優(yōu)方案。由此，多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題要比單目標函數(shù)的最優(yōu)化問題復雜得多，求解難度也較大。特別應當指出的是多目標函數(shù)的最優(yōu)化方法雖有不少，但有些方法的效果并不理想，需要進一步研究和完善。下面介紹幾種多目標函數(shù)的最優(yōu)化方法。

在實際工程設計問題中，常常同時有幾項設計指標都希望達到最1．主要目標法主要目標法的思想是抓住主要目標，同時兼顧次要目標。求解時將全部目標函數(shù)按其重要程度排列，選擇最重要的作為主要目標，而其他目標只需滿足一定要求即可。為此，可將這些目標轉化成約束條件。也就是用約束條件的形式來保證其他目標不致太差。這樣處理后，就成為單目標優(yōu)化問題。對于式（4-63）的多目標優(yōu)化問題，求解時可在個目標函數(shù)中選擇一個作為主要目標，則問題變?yōu)?/p>

（4-64）式中、為第個目標函數(shù)的上、下限。1．主要目標法（4-64）式中、為第個目標函數(shù)的上、下限。2．統(tǒng)一目標法統(tǒng)一目標法又稱綜合目標法。它是將原多目標優(yōu)化問題，通過一定方法轉化為統(tǒng)一目標函數(shù)或綜合目標函數(shù)作為該多目標優(yōu)化問題的評價函數(shù)，然后用前述的單目標函數(shù)優(yōu)化方法求解。3．分層序列法及寬容分層序列法

分層序列法及寬容分層序列法是將多目標優(yōu)化問題轉化為一系列單目標優(yōu)化問題的求解方法?；舅枷胧菍⒍嗄繕藘?yōu)化問題式（4-63）中的目標函數(shù)分清主次，按其重要程度逐一排除，然后依次對各個目標函數(shù)求最優(yōu)解，不過后一個目標函數(shù)應在前面各目標函數(shù)最優(yōu)解的集合域內(nèi)尋優(yōu)。4．協(xié)調曲線法在多目標優(yōu)化設計問題中，當各個分目標的最優(yōu)解出現(xiàn)矛盾時，為了使某個較差的分目標也達到較理想的值，需要以增大其他幾個目標函數(shù)值為代價，這就是說，各分目標函數(shù)值之間需要進行協(xié)調，以便最終取得一個從工程實用觀點上看對各分目標都可以接受的最合理方案，這種方法稱為協(xié)調曲線法。2．統(tǒng)一目標法3．分層序列法及寬容分層序列法

對于計算結果給出的設計變量值，需要核查它們的可行性與合理性。4.6.4優(yōu)化結果的分析

對于大多數(shù)實際工程設計問題，最優(yōu)解往往位于一個或幾個不等式約束條件的約束面上，這時，最優(yōu)解所在的約束面的約束函數(shù)值應等于或接近于0。如果所有的約束函數(shù)值全不接近于0，則應仔細檢查原因，考慮數(shù)學模型或最優(yōu)化過程是否有誤。為此，可改變初始點或重選優(yōu)化方法進行計算。對于計算結果給出的設計變量值，需要核查它們的可行性與合理4.7工程優(yōu)化設計應用

前面幾節(jié)介紹了工程優(yōu)化設計的有關理論及方法，本節(jié)以實例闡述如何運用這些理論及方法來解決工程優(yōu)化設計問題。4.7.1

工程優(yōu)化設計的一般工作步驟

工程優(yōu)化設計包含兩方面的工作：

一是根據(jù)具體設計要求，建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型；

二是選擇合適的優(yōu)化方法及程序進行求解。進行工程問題優(yōu)化設計時，其一般工作步驟如下：4.7工程優(yōu)化設計應用前面幾節(jié)介紹了工程優(yōu)化設計的有1.

建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型

解決工程優(yōu)化設計問題的關鍵，是建立正確的優(yōu)化數(shù)學模型。為此，要正確地選擇設計變量、目標函數(shù)和約束條件，并把它們組合在一起，成為一組能準確地反映工程優(yōu)化設計問題實質的數(shù)學表達式，同時，要使建立的數(shù)學模型容易處理和求解。因而，建立優(yōu)化數(shù)學模型的要求是：一要正確，二要易于求解。

2.

選擇合適的優(yōu)化方法和計算程序

為求解工程優(yōu)化設計的數(shù)學模型，應優(yōu)先選擇可靠性好，收斂速度快，算法穩(wěn)定性好及對參數(shù)敏感性小的優(yōu)化方法和計算程序。為了便于對工程優(yōu)化問題的求解，目前國內(nèi)外均已開發(fā)出通用的優(yōu)化程序庫，使得優(yōu)化方法和計算程序的選擇不再是困難的問題。1.建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型解決工程優(yōu)化設計問題的關鍵

3.

編寫主程序和函數(shù)子程序，

上機調試和計算，求得最優(yōu)解

一個完整的優(yōu)化運行程序應由如下三個部分組成：

優(yōu)化運行程序＝主程序＋優(yōu)化模型函數(shù)子程序＋優(yōu)化算法子程序因此，工程優(yōu)化設計人員是在調用優(yōu)化程序求解自己的實際問題時，應按要求編寫主程序和優(yōu)化問題數(shù)學模型的函數(shù)子程序，將它們與優(yōu)化程序庫聯(lián)成一個完整的應用軟件系統(tǒng)。

然后上機調試和計算，求得優(yōu)化問題的最優(yōu)結果。

4.

對優(yōu)化結果進行分析，確定最優(yōu)解

求得優(yōu)化結果后，應對其進行分析、比較，看其是否符合實際，是否滿足設計要求，以決定是否采用。若發(fā)現(xiàn)它不符合實際或不滿足設計要求，應考慮修改數(shù)學模型或選擇不同的算法求解。3.編寫主程序和函數(shù)子程序，4.對優(yōu)化結果進行分

為了給工程設計人員提供一個求解優(yōu)化數(shù)學模型的有力工具，目前國內(nèi)、外許多CAD軟件中均開發(fā)有優(yōu)化軟件包或優(yōu)化算法庫，如：

我國“六五”期間研制的“常用優(yōu)化方法程序庫OPB-1”和

“七五”期間開發(fā)的“優(yōu)化方法及計算方法軟件庫OPB-2”

等。

這樣，工程技術人員在掌握工程問題優(yōu)化設計的基礎知識和熟悉工程優(yōu)化軟件有關功能的基礎上，調用優(yōu)化工具箱的函數(shù)，可簡捷方便地處理工程優(yōu)化設計問題。

Pro/Engineer

MATLAB為了給工程設計人員提供一個求解優(yōu)化數(shù)學模型的有力工具，4.7.2工程優(yōu)化設計實例

已知單級直齒圓柱齒輪減速器的輸入扭矩T1=2674N·m，傳動比i=5，現(xiàn)要求確定該減速器的結構參數(shù)，在保證承載能力條件下，使減速器的重量最輕。小齒輪擬選用實心輪結構，大齒輪為四孔輻板式結構，其結構尺寸如圖2-43所示，圖中△1=280mm，△2=320mm。

實例1

單級直齒圓柱齒輪傳動減速器的優(yōu)化設計圖2-43單級直齒圓柱齒輪減速器結構圖(a)傳動圖；(b)小齒輪；(C)大齒輪4.7.2工程優(yōu)化設計實例已知單級直齒圓柱齒輪減速解：1.建立數(shù)學模型：(1)齒輪幾何計算公式，

，

于是該減速器的齒輪與軸的體積之和則為

解：1.建立數(shù)學模型：(1)齒輪幾何計算公式，，

從上述計算齒輪減速器體積（簡化為齒輪和軸的體積）的基本公式中可知，體積V

取決于：齒輪寬度B、小齒輪齒數(shù)z1、模數(shù)m、軸的支承跨距、主動軸直徑

、從動軸直徑

和傳動比

等7個參數(shù)。其中傳動比

為常量，由已知條件給定。(2)

確定設計變量所以，該優(yōu)化設計問題可取設計變量為

從上述計算齒輪減速器體積（簡化為齒輪和軸的體積）的基本(以齒輪減速器的重量最輕為優(yōu)化目標，而此減速器的重量可以一對齒輪和兩根軸的重量之和近似求出。由此，減速器的重量，因鋼的密度

為常數(shù)，所以可取減速器的體積為目標函數(shù)。將設計變量代入減速器的體積公式，經(jīng)整理后得目標函數(shù)為：(3)建立目標函數(shù)以齒輪減速器的重量最輕為優(yōu)化目標，而此減速器的重量可以一對1）為避免發(fā)生根切，小齒輪的齒數(shù)不應小于最小齒數(shù)，即，于是得約束條件

2）傳遞動力的齒輪，要求齒輪模數(shù)一般應大于2mm，故得

本問題的約束條件，由強度條件、剛度條件、結構工藝條件和參數(shù)限制條件等組成。(4)確定約束條件1）為避免發(fā)生根切，小齒輪的齒數(shù)不應小于

3）根據(jù)設計經(jīng)驗，主、從動軸的直徑范圍?。簞t軸直徑約束為

4）為了保證齒輪承載能力，且避免載荷沿齒寬分布嚴重不均，要求，由此得

3）根據(jù)設計經(jīng)驗，主、從動軸的直徑范圍?。簞t軸直徑約束為

5）根據(jù)工藝裝備條件，要求大齒輪直徑不得超過1500mm，若i=5，則小齒輪直徑不能超過300mm，即，寫成約束條件為

6）按齒輪的齒面接觸強度條件，有式中，

。將以上各參數(shù)代入上式，整理后可得接觸應力約束條件5）根據(jù)工藝裝備條件，要求大齒輪直徑不得超過1507）按齒輪的齒根彎曲疲勞強度條件，有若取若大、小齒輪齒形系數(shù)分別按下面二式計算，即

；則得小齒輪和大齒輪的彎曲疲勞強度條件為7）按齒輪的齒根彎曲疲勞強度條件，有若取若大、小齒輪齒形系數(shù)8）根據(jù)軸的剛度計算公式：得主動軸的剛度約束條件為式中：。8）根據(jù)軸的剛度計算公式：得主動軸的剛度約束條件為式中：。9）主、從動軸的彎曲強度條件對主動軸：軸所受彎矩；

扭矩校正系數(shù)

；得主動軸彎曲強度約束為對實心軸：若取：。9）主、從動軸的彎曲強度條件對主動軸：軸所受彎矩對從動軸：。10）軸的支承跨距按結構關系和設計經(jīng)驗取

式中，為箱體內(nèi)壁到軸承中心線的距離，現(xiàn)取，則有，寫成約束條件為可得從動軸彎曲強度約束：對從動軸：即本優(yōu)化問題是一個具有16個不等式約束條件的6維約束優(yōu)化問題。

綜上所述，可得該優(yōu)化問題的數(shù)學模型為2.選擇優(yōu)化方法及優(yōu)化結果對本優(yōu)化問題，現(xiàn)選用內(nèi)點罰函數(shù)法求解?？蓸嬙鞈土P函數(shù)為(5)寫出優(yōu)化數(shù)學模型即本優(yōu)化問題是一個具有16個不等式約束條件的6維約束優(yōu)化問題參考同類齒輪減速器的設計參數(shù)，現(xiàn)取原設計方案為初始點，即則該點的目標函數(shù)值為：。

采用鮑威爾法求解懲罰函數(shù)

的極小點，取懲罰因子遞減系數(shù)C=0.5，其中一維搜索選用二次插值法，收斂精度；鮑威爾法及罰函數(shù)法的收斂精度都??；得最優(yōu)解：該方案比原方案的體積(按目標函數(shù)簡化計算的部分)下降了59.4%。參考同類齒輪減速器的設計參數(shù)，則該點的目標函數(shù)值為：上述最優(yōu)解并不能直接作為減速器的設計方案，根據(jù)幾何參數(shù)的標準化，要進行圓整，最后得：

可以驗證，圓整后的設計方案滿足所有約束條件，其最優(yōu)方案較原設計方案的減速器體積下降了53.9％。上述最優(yōu)解并不能直接作為減速器的設計方案，可以驗證，實例2

圓柱螺旋壓縮彈簧的優(yōu)化設計

現(xiàn)設計一內(nèi)燃機用的汽門彈簧，如圖2-47所示。

具體設計要求是：在工作載荷P=700N作用下，彈簧生產(chǎn)10mm的變形量，

要求:

彈簧的壓并高度≤50mm，彈簧內(nèi)徑D1≥16mm，在滿足強度條件的前提下，使設計出的彈簧具有最輕的重量。

圖2-47圓柱螺旋壓縮彈簧的幾何參數(shù)

實例2圓柱螺旋壓縮彈簧的優(yōu)化設計現(xiàn)設計一內(nèi)燃機用

解：

1.建立數(shù)學模型

1)確定設計變量由機械零件彈簧設計可知，圓柱螺旋壓縮彈簧的基本參數(shù)(見圖2-47)主要有：彈簧中徑D，彈簧絲直徑d，彈簧總圈數(shù)n，旋繞比c(c=D/d)，許用剪應力[τ]等。

由于在c，D

和d

中，只有兩個是獨立變量，另外考慮到材料供應的限制，[τ]也不宜作為設計變量。由此，該優(yōu)化問題的設計變量可取為解：1.建立數(shù)學模型由于在c，D和d

2)建立目標函數(shù)該問題的設計目標是要求彈簧的重量最輕，故應將彈簧重量W做為目標函數(shù)，W的計算公式為由此，極小化目標函數(shù)為式中，彈簧材料的比重，取。2)建立目標函數(shù)由此，極小化目標函數(shù)為式中，彈簧的變形量要求

彈簧結構要求的邊界約束規(guī)定設計變量的變化范圍：10mm≤D≤50mm1mm≤