等精度測量的隨機誤差課件

誤差理論與數(shù)據(jù)處理

第2章等精度測量的隨機誤差華中科技大學機械學院20111誤差理論與數(shù)據(jù)處理第2章等精度測量的隨機誤差華中科技大學2.0概述2.1正態(tài)分布的特征2.2隨機誤差的數(shù)字特征2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線2.4單次測量的精度指標2.5多次重復測量結果的精度指標2.6幾種常用的非正態(tài)分布2等精度測量的隨機誤差本章主要內容22.0概述2等精度測量的隨機誤差本章主要內容2等精度測量2.0概述若在多次重復測量中，每一個測得值都是在相同的測量條件下獲得的，這樣，各測得值就具有相同的精度，可用同一標準差來表征，或者說具有相同的可信賴程度。隨機誤差的特點誤差的大小和符合是不能預先知道的；當測量次數(shù)增大，這類誤差卻又具有統(tǒng)計的規(guī)律性，測量次數(shù)愈多，這種規(guī)律就表現(xiàn)得愈明顯。分布規(guī)律分布規(guī)律：正態(tài)分布；均勻分布；三角分布等。012343等精度測量2.0概述若在多次重復測量中，每一個測得值都是在(1)在一定的測量條件下（指一定的計量器具、環(huán)境、被測對象和人員），隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限；2.1正態(tài)分布的特征隨機誤差公理(2)小誤差出現(xiàn)的機會比大誤差出現(xiàn)的機會要多；推論(3)測量次數(shù)n很大時，絕對值相等、符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的機會相等。(1)隨機誤差的分布是有界限（有界性）；(2)隨機誤差的分布呈單一峰值（單峰性）；(3)測量次數(shù)n趨于無窮大，隨機誤差的分布呈對稱性（對稱性）；(4)對同一量進行等精度測量，隨著測量次數(shù)n趨于無窮大，隨機誤差的算術平均值將趨于零（相消性）。4(1)在一定的測量條件下（指一定的計量器具、環(huán)境、被測對象用于描述隨機誤差分布特征的數(shù)值叫隨機誤差的數(shù)字特征。隨機誤差的數(shù)字特征主要參數(shù)描述特征算術平均值隨機誤差的分布中心標準差分散性2.2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征:(2)標準差。(1)算術平均值；5用于描述隨機誤差分布特征的數(shù)值叫隨機誤差的數(shù)字特征。隨機誤差一算術平均值對真值為的物理量進行等精度的n次測量，得n個測得值，它們都含有誤差，統(tǒng)稱真差。通常，我們是以算術平均值作為n次測量的結果，即2.2隨機誤差的數(shù)字特征因有得到所以6一算術平均值對真值為的物理量進行等精度的n次測量，同時可得：式中，是測量值重復出現(xiàn)的個數(shù)，總測量次數(shù)；為任意常數(shù)。2.2隨機誤差的數(shù)字特征實際測量時，n總是有限的，所以，算術平均值不可能等于真值。但算術平均值圍繞真值隨機變化，算術平均值是真值的無偏差估計量。上式中的真值差即為隨機誤差，當時，算術平均值就等于真值，即為了計算的方便，算術平均值也可按下式計算：7同時可得：式中，是測量例2-1求20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002五個測得值的算術平均值。2.2隨機誤差的數(shù)字特征解：一般算法：簡化算法：8例2-1求20.0005,19.9996,20.0003二標準差（或標準偏差）Standarddeviation用標準差來評價測得值的精度，即2.2隨機誤差的數(shù)字特征第I組20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002第II組19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994兩組的平均值都為20.0000，但它們的測量精度明顯不同。第II組數(shù)據(jù)的分散比第I組的大，即第I組測得值的測量精度高于第II組。標準差測量次數(shù)真差9二標準差（或標準偏差）Standarddeviation三用殘差計算標準差的估計值2.2隨機誤差的數(shù)字特征由于在有限次測量時得到的是有限個測得值，用算術平均值來替代真值。就可用代替來計算標準差的估計值。測得值對其算術平均值的差，叫殘余誤差，簡稱殘差。

1殘差的定義10三用殘差計算標準差的估計值2.2隨機誤差的數(shù)字特征由于在(1)一組測得值殘差之和等于零，即2.2隨機誤差的數(shù)字特征2殘差的特性(2)一組測得值殘差的平方和最小，即證明：因為又因為證明：將式（2-6）平方，得：所以所以11(1)一組測得值殘差之和等于零，即2.2隨機誤差的數(shù)字特征相加，有對求導，得此結果表明，如果不取，而取其他代替真值，則相應偏差的平方和一定要比殘差的平方和為大，這也同時說明了比其他值更可信賴。2.2隨機誤差的數(shù)字特征對于，有

因此，當時，的值最小，即12相加，有對求導，得此結果表明，如果不取式中，為算術平均值的真差。故2.2隨機誤差的數(shù)字特征相加，有因為由隨機誤差的特征知，當時，，則，即，或。這表明：在測量次數(shù)足夠多的條件下，殘差即為真差。(3)真差與殘差之間的關系因為所以13式中，為算術平均值的真差。故2.2隨機誤差的數(shù)字特取項求和，得當足夠大時，上式中接近于0，又因故上式中，即為。故2.2隨機誤差的數(shù)字特征(4)標準差的估計值（貝塞爾公式）因為兩邊平方，有因為故14取項求和，得當足夠大時，上式中由式（2-7）就可根據(jù)有限個測量值的殘差來求取隨機測量誤差方差的估計值。開方得：

稱為實驗標準差，它是標準差的估計值。式（2-8）稱為貝塞爾（Bessel）公式?？珊喕癁槭街?，C為常數(shù)。如果各測得值不只出現(xiàn)一次，而是次，總次數(shù)，則上式可寫成2.2隨機誤差的數(shù)字特征15由式（2-7）就可根據(jù)有限個測量值的殘差來求取隨機測(5)標準差的其他計算法2.2隨機誤差的數(shù)字特征1別捷爾斯法（Peters）

由貝塞爾公式得此式近似為則平均誤差為由于得16(5)標準差的其他計算法2.2隨機誤差的數(shù)字特征1別捷2.2隨機誤差的數(shù)字特征故有

此式稱為別捷爾斯公式，它可由殘余誤差的絕對值之和求出單次測量的標準差，而算術平均值的標準差為2極差法若等精度多次測量測得值服從正態(tài)分布，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差，即根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學期望為

172.2隨機誤差的數(shù)字特征故有此式稱為別捷爾斯公式，它可由故可得的無偏估計值，若仍以表示，則有2.2隨機誤差的數(shù)字特征因此式中的數(shù)值見下表。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.743最大誤差法在有些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精確度的用來代替真值使用的量值（稱為實際值或約定真值），因而能夠算出隨機誤差，取其中絕對值最大的一個值，當各個獨立測量值服從正態(tài)分布時，則可求得關系式18故可得的無偏估計值，若仍以表示，則有2.2隨一般情況下，被測量的真值為未知，不能按上式求標準差，應按最大殘余誤差進行計算，其關系式為2.2隨機誤差的數(shù)字特征兩系數(shù)、的倒數(shù)見表n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.4419一般情況下，被測量的真值為未知，不能按上式求標準差，應按最大2.2隨機誤差的數(shù)字特征202.2隨機誤差的數(shù)字特征202.2隨機誤差的數(shù)字特征212.2隨機誤差的數(shù)字特征21四算術平均值的標準差及其估計值

組的次重復測量，各組的測量次數(shù)僅為有限次，即各組測得值的算術平均值不等于真值，尚具有真值，有寫成一般形式取方差2.2隨機誤差的數(shù)字特征22四算術平均值的標準差及其估計值組的次重由于2.2隨機誤差的數(shù)字特征故即或23由于2.2隨機誤差的數(shù)字特征故即或23例2-2計算表2-1所列兩組測得值的標準差。表2-1兩組測量的測得值組別測得值第I組20.000519.999620.000319.999420.0002第II組19.999020.000619.999520.001519.9994解：第I組：，殘差為＋0.0005，-0.0004,+0.0003,-0.0006,+0.0002。2.2隨機誤差的數(shù)字特征因此，第I組測量精度比第II組高。第II組：，殘差為＋0.0010，+0.0006,-0.0005,+0.0015,-0.0006。由式（2-8）計算為由式（2-8）計算為24例2-2計算表2-1所列兩組測得值的標準差。組別測得例2-3用機械測微儀測量某零件直徑共51次，測得的數(shù)據(jù)如表2-2所列，試求測得值的各特征值－。序號1234567825.12525.12625.12725.12825.12925.13025.13125.132239161172150.25075.378226.143402.048276.419175.91050.26225.132-3-2-10+1+2+3+494101491918129011281816511281.542441122.2隨機誤差的數(shù)字特征解：表2-2一般算法25例2-3用機械測微儀測量某零件直徑共51次，測得的數(shù)據(jù)如表表2-3一般算法序號1234567825.12525.12625.12725.12825.12925.13025.13125.132239161172125.128-3-2-10+1+2+3+4-6-6-90111464941014919181290112818165114441122.2隨機誤差的數(shù)字特征26表2-3一般算法序號125.1252-3-6918511一經驗分布曲線2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線將實際測量的一組等精度測量值畫成橫坐標為測量值，縱坐標為測量值次數(shù)或密度的二維曲線叫經驗分布曲線。在經驗分布曲線圖中，橫坐標代表各組的中值（即測得值），縱坐標則代表各組的頻率密度。頻率密度有明確的幾何意義：設各間距組的間距范圍為，某組的出現(xiàn)頻率為，則該間距組的頻率密度。顯然，在經驗分布曲線圖上，各間距組所對應的矩形面積即代表該組出現(xiàn)的頻率。繪制方法定義解釋在橫坐標上標出以中值為代表的各個間距，再在各個等間距上，畫上相應的矩形，各組矩形的面積應與該組內出現(xiàn)的頻率相對應，因此，各組矩形面積的總和，相應地等于各組頻率的總和，即為1。27一經驗分布曲線2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線將實際測量的一表2.4經驗分布曲線數(shù)據(jù)表序號組的中值頻數(shù)12345678910111.011.021.031.041.051.061.071.081.091.101.111368107843011.013.066.188.3210.507.428.564.323.2701.11-0.044-0.034-0.024-0.014-0.004+0.006+0.016+0.026+0.036+0.046+0.0565153.752.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線28表2.4經驗分布曲線數(shù)據(jù)表序號測得值在區(qū)間的概率應為分布曲線下從到所夾的面積，即2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線經驗分布曲線分布密度函數(shù)29測得值在區(qū)間的概率應為分布曲線下從案例：自動振動測量儀30案例：自動振動測量儀30案例：自動振動測量儀31案例：自動振動測量儀31案例：自動振動測量儀32案例：自動振動測量儀32案例：自動振動測量儀33案例：自動振動測量儀33二正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線的分布密度函數(shù)為2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線式中：－概率密度；－隨機變量；－標準差；－自然對數(shù)的底（）－理論均值或隨機變量的數(shù)學期望。的表達式為隨機誤差由于被測量的真值是無法知道的，對連續(xù)型隨機函數(shù)，可以將理論均值作為真值，故式（2-13)可改寫成34二正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線的分布密度函數(shù)1.理論均值或算術平均值若用代替，式（2-13)又可寫成2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線或正態(tài)分布的兩個重要參數(shù)（1）極值點；（2）對稱線；（3）最大概率；（4）分布中心。351.理論均值或算術平均值若用代替，式（2-2.標準差2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線（1)精度（2)分散度（3)連續(xù)隨機變量的標準差（4)離散隨機變量的標準差（5)正常的隨機變量的界限為362.標準差2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線（1)精度（2)三正態(tài)分布密度函數(shù)的概率積分令新的變量，，故2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線分布曲線下的全部面積應等于總概率，即在任意誤差區(qū)間（a,b)出現(xiàn)的概率為寫成一般形式，即誤差在區(qū)間內的概率為將積分限也進行相應變換，令及，故37三正態(tài)分布密度函數(shù)的概率積分令新的變量，表2-5常用的t值及值上式中的定積分稱為拉普拉斯函數(shù)，或稱概率積分。2.3高斯誤差定律0.67452/30.79794/511.9622.58340.250.28810.34130.4750.47720.4950.498650.499970.500.57620.68270.950.95450.990.99730.999942.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線(1)當時，即(2)當時，即38表2-5常用的t值及值上式中的定積分例2.4

從一批零件中抽查200個零件的尺寸，測得的偏差及數(shù)據(jù)處理過程列于表2-6，實驗統(tǒng)計結果為：，試求零件尺寸對的偏差在-0.75至+1.75范圍內的概率。(3)用于個別對可靠性要求特別高的科研和精密測量工作。(2)和用于較重要的科研和精密測量，及儀器檢定；2.3高斯誤差定律(1)用于一般精密測量，應用廣泛；2.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線(3)當時，即為顯著度；為置信概率；為誤差限；為置信系數(shù)常用的置信概率的數(shù)值及其適用的場合一般形式：39例2.4從一批零件中抽查200個零件的尺寸，測得的偏差及查拉普拉斯函數(shù)表，得值，得故解：先計算其相應的值2.3高斯誤差定律表2-6序號零件偏差頻數(shù)頻率

123456789-1.5-1-0.50+0.5+1+1.5+2+2.5241628983018310.010.020.080.140.490.150.090.0150.005-3-4-80+49+30+27+6+2.5-2-1.5-1-0.500.5+1+1.5+242.2510.2500.2512.2548916707.5186.75420099.576.252.3隨機誤差的正態(tài)分布曲線40查拉普拉斯函數(shù)表，得值，得解：先計算其相應的值設，代入上式得：或2.平均誤差1.標準差及其估計值定義：2.4單次測量的精度指標假設測量結果中沒有系統(tǒng)誤差，評定測量精度的指標2.4單次測量的精度指標當為連續(xù)型隨機變量，可按積分計算，即41設，代入上式得：或式中，。由表2-5可知，相應的，故定義：測得值落入以內（測量誤差在以內）和落在之外的概率相等，即3.幾率誤差（概差、或然誤差）平均誤差的含義是：測得值的誤差不超過的置信概率為57.62%。用殘差表示時2.4單次測量的精度指標2.4單次測量的精度指標或所以，與幾率誤差相應的置信概率為50%。42式中，。由表2-5可知，相應的，又因也是隨機誤差，同樣服從正態(tài)分布定律，當足夠大時，也可寫成按定義式平方代入，得：由式（2-20)得定義：誤差為的叫極限誤差，常用來表示，即2.4單次測量的精度指標4.極限誤差2.4單次測量的精度指標定義：對同一測量對象重復測量10次，測量誤差不超過的最大值叫重復測量誤差。5.重復測量誤差別捷爾斯（Peters)公式43又因也是隨機誤差，同樣服從正態(tài)分布定律，當足夠大或上式稱別捷爾斯公式，因足夠大時，可近似地以代替，所以式(2-26)又可寫成如下簡化形式：基于別捷爾斯公式的及可分別表示為式(2-24)，(2-25)相除，可得：2.4單次測量的精度指標2.4單次測量的精度指標即故得：44或上式稱別捷爾斯公式，因足夠大時，可近2.4單次測量的精度指標例2-5用百分表式卡尺測量長度共10次，測得的結果如下表，試求表2-7序號序號12345674.744.784.714.804.724.774.73-10+30-40+50-30+20-201009001600250090040040089104.754.744.760-10+10010010047.50070002.4單次測量的精度指標解：按貝塞爾公式計算：按別捷爾斯公式計算：452.4單次測量的精度指標例2-5用百分表式卡尺測量長度共設變量當時，測量結果可表示為當時，相應的測量結果為以理論均值代替被測量的真值，算術平均值的分布方程可寫為若以次重復測量的算術平均值作為測量的結果，顯然其精度要比單次測量時高。算術平均值服從以真值為中心的正態(tài)分布，且其標準差比單次測量的標準差小倍（如圖所示），即一算術平均值的分布2.5多次重復測量結果的精度指標2.5多次重復測量結果的精度指標或46設變量當時，測量結果可表示為當時解：由，查拉普拉斯函數(shù)表得：2.5多次重復測量結果的精度指標例2-6測量某工件25次，得，若要求置信概率，求測量結果。2.5多次重復測量結果的精度指標故誤差限為測量結果為47解：由，查拉普拉斯函數(shù)表得：2.5多次重圖2-8所示為具有不同自由度數(shù)的分布函數(shù)。當分布就是標準化的正態(tài)分布。分布的理論均值為新統(tǒng)計量不再服從正態(tài)分布，而是服從自由度為（這里）的分布（亦稱學生分布）2.5多次重復測量結果的精度指標當測量次數(shù)甚?。ɡ绱危r，統(tǒng)計量為2.5多次重復測量結果的精度指標式中，為伽瑪函數(shù)。其表達式為其方差為標準差48圖2-8所示為具有不同自由度數(shù)的分布函數(shù)。當解：由及查分布表（附錄表2）得。故可計算出測量的誤差限將誤差限與置信概率寫成一般的關系式，則為例2-7當測量次數(shù)，樣本的標準差，要求的置信概率，求測量精度。2.5多次重復測量結果的精度指標統(tǒng)計量落入?yún)^(qū)間中的概率為2.5多次重復測量結果的精度指標49解：由及查分的極限誤差常用的指標:的標準差（2）的平均誤差二算術平均值的精度指標2.5多次重復測量結果的精度指標基于貝塞爾公式的計算公式：(3)的幾率誤差50的極限誤差常用的指標:（2）的平均誤差二算術平均值例2-8如例2-5所列測量數(shù)據(jù)，求其精度平均指標及。若要求置信概率，試確定其測量結果。解：應用貝塞爾公式計算，，故由于，由分布表（附錄表2），，查得，故測量結果應為2.5多次重復測量結果的精度指標基于別捷爾斯公式的計算公式：2.5多次重復測量結果的精度指標51例2-8如例2-5所列測量數(shù)據(jù)，求其精度平均指標2.5多次重復測量結果的精度指標表示精度的數(shù)字，一般采用一位有效數(shù)字已夠，只有在很精度的情況下，才采用兩位有效數(shù)字，且應使測量結果與精度參數(shù)截取有效數(shù)字的末位數(shù)要一致，示例如表2-8。原始數(shù)據(jù)形式結果形式2.5多次重復測量結果的精度指標表2-8精度數(shù)據(jù)的有效位數(shù)示例上述指標的精度參數(shù)的標準差，其計算式為按貝塞爾公式在考慮精度指標本身誤差的情況下，測量的結果應表示為522.5多次重復測量結果的精度指標表示精度的數(shù)字，一般采用一除非是精度很高的測量，一般都不需用這種形式來表示測量結果。在本例中，考慮到有效數(shù)字，測量結果可寫為例2-9將例2-5所列測量數(shù)據(jù)，采用幾率誤差及其標準偏差表示測量結果。2.5多次重復測量結果的精度指標解：由例2-5及例2-8，已算出由式(2-44)，可計算故測量結果可表示為53除非是精度很高的測量，一般都不需用這種形式來表示測量結果。在（4）相對不對稱系數(shù)顯然，當；而當時，即為對稱的分布。這樣，對于不對稱的非正態(tài)分布的分布極限，就可表示為（3）相對分布系數(shù)式中，為實際分布在分布極限處的置信系數(shù)。（1）平均值（2）標準差一評定非正態(tài)分布隨機誤差的方法2.6幾種常見的非正態(tài)分布54（4）相對不對稱系數(shù)（3）相對分布系數(shù)（1）平均值（2）標準（4）相對分布系數(shù)（2）方差（1）理論均值（5）相對不對稱系數(shù)均勻分布亦稱等概率分布，即在誤差的分布范圍內，各處的概率密度相等，其分布密度函數(shù)為二幾種重要的非正態(tài)分布2.6幾種常見的非正態(tài)分布1均勻分布（3）極限誤差P33頁表2-9幾種常見的隨機分布55（4）相對分布系數(shù)（2）方差（1）理論均值（5）相對不對稱系（1）理論均值（2）方差（5）相對不對稱系數(shù)（4）相對分布系數(shù)2三角分布2.6幾種常見的非正態(tài)分布三角形分布是由兩個相互獨立的具有相同分布范圍的均勻分布所合成，隨機變量皆為在上均勻分布且獨立，則其和就在范圍內服從三角形分布。其分布密度函數(shù)為（3）極限誤差56（1）理論均值（2）方差（5）相對不對稱系數(shù)（4）相對分布系反正弦分布實際上是一種隨機變量函數(shù)的分布，若隨機變量是的正弦函數(shù)，即。其中，為常數(shù)，在區(qū)間均勻分布，則就是反正弦分布，其分布密度函數(shù)為（1）理論均值（2）方差（3）極限誤差（5）相對不對稱系數(shù)（4）相對分布系數(shù)3反正弦分布2.6幾種常見的非正態(tài)分布57反正弦分布實際上是一種隨機變量函數(shù)的分布，若隨機變量是（1）理論均值（2）方差（3）極限誤差（4）相對分布系數(shù)（5）相對不對稱系數(shù)4偏心分布2.6幾種常見的非正態(tài)分布偏心分布亦稱瑞利分布，它是一種非負的單向連續(xù)分布，實質上是服從正態(tài)分布的隨機變量直角坐標x與y變換成極坐標向量半徑模的分布。射擊中，槍彈與靶心的偏心誤差即的分布就是典型的例子。其分布密度函數(shù)為58（1）理論均值（2）方差（3）極限誤差（4）相對分布系數(shù)（5以下列出幾種置信概率值與其相應的偏心分布的界限：令，及，則可得到概率分布函數(shù)為2.6幾種常見的非正態(tài)分布例2-10檢定車床彈簧夾頭的定心精度，進行10次重復加緊精密心軸并測量其徑向跳動e，測得的數(shù)據(jù)及部分處理過程如表2-10，試求跳動量的平均值及最大、最小值。59以下列出幾種置信概率值與其相應的偏心分布的界限：令序號徑向跳動殘差1234567891064543475841-10-1-2-1203-111014