組合變形及連接部分的計(jì)算-材料力學(xué)

第八章

組合變形及

連接部分的計(jì)算◆

概述◆

兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲◆

拉伸（壓縮）與彎曲◆

彎曲與扭轉(zhuǎn)◆

連接件的實(shí)用計(jì)算法◆

鉚釘連接的計(jì)算◆

榫齒連接§8-1

概述組合變形實(shí)際工程中，桿件在外力的作用下所發(fā)生的變形常常包括兩種或兩種以上的基本變形，當(dāng)這幾種基本變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力或變形屬于同一數(shù)量級(jí)時(shí)，不能忽略其中任何一種基本變形。這類桿件的變形

——組合變形是材料力學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。學(xué)習(xí)的關(guān)鍵：注意分析問題的方法，掌握分析問題的思路。F偏心壓縮FM壓-

彎組合變形牛腿FM拉-

扭組合變形螺旋槳F拉-

彎組合變形支臂FxFy傳動(dòng)軸彎-

扭組合變形在小變形、線彈性的條件下：可用疊加原理求解組合變形問題。①對(duì)荷載進(jìn)行分解或簡(jiǎn)化，使得桿件在每一組荷載作用下只產(chǎn)生一種基本變形；②計(jì)算每一組荷載單獨(dú)作用下的應(yīng)力和變形；③由疊加原理求出桿件在組合變形下的應(yīng)力和變形。小變形計(jì)算按桿件原始形狀和尺寸連接件工程中的桿件或構(gòu)件由幾部分連接而成鉚釘在連接部位，起連接作用的部件銷釘螺栓榫桿件安全：①桿件整體安全；②聯(lián)接件本身安全。焊接鍵

連接件橫截面或被連接桿件在連接處的應(yīng)力分布很復(fù)雜，工程中大多采用“實(shí)用計(jì)算方法”：①對(duì)連接件的受力和應(yīng)力分布進(jìn)行簡(jiǎn)化，計(jì)算名義應(yīng)力；②對(duì)同類連接件進(jìn)行破壞實(shí)驗(yàn)，并采用同樣的計(jì)算方法，由破壞荷載確定材料的極限應(yīng)力。而且很大程度上還受到加工工藝的影響，要精確分析應(yīng)力比較困難，也不實(shí)用?！?-2

兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲梁具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面外力作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)梁變形后的軸線也位于外力所在的平面（即縱向?qū)ΨQ面）內(nèi)對(duì)稱彎曲CzyF平面彎曲梁具有兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面雙向彎曲斜彎曲F1F2兩個(gè)橫向外力同時(shí)作用在兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)梁在這兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)分別發(fā)生對(duì)稱彎曲斜彎曲是兩個(gè)正交的平面彎曲的組合研究矩形截面懸臂梁的應(yīng)力、變形及強(qiáng)度計(jì)算OxyzlFjFyFz一、正應(yīng)力計(jì)算F＝

Fy

＋

FzFy＝F

cosjFz＝F

sinjOxyzlFjFyFzFy

引起的：xA(x,y,z)任意截面上的任一點(diǎn)的應(yīng)力：正應(yīng)力s

＝－Mz

yIz彎矩Mz

＝

Fy

(

l－x

)＝

M

cosj＝－M

cosjIzy彎矩僅為大小不考慮正負(fù)號(hào)要考慮正負(fù)號(hào)Fz

引起的：OxyzlFjFyFzxA(x,y,z)彎矩My

＝

Fz

(

l－x

)＝

M

sinj正應(yīng)力s

＝MyzIy＝M

sinjIyzF引起的：OxyzlFjFyFzxA(x,y,z)正應(yīng)力s

＝s

＋s

sinjIyz

)＝M

(

－cosjIzy

＋t

=？t

存在，但實(shí)體截面梁不考慮。二、中性軸的位置、最大正應(yīng)力橫截面上正應(yīng)力是平面分布的sinjIyz

)s

＝

M

(

－cosjIzy

＋設(shè)

(

y0

,

z0

)

是中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)s

＝

0sinjIyz0

)

＝

0(

－cosjIzy0

＋中性軸方程中性軸是一條過橫截面形心的直線yzsinjIyz0

)

＝

0(

－cosjIzy0

＋設(shè)中性軸與

z

軸成

a

角tana

＝y(tǒng)0z0＝IyIztanj力F的作用線ja中性軸Iy

≠Iz

a

≠j中性軸不垂直力F斜彎曲Iy

＝Iz

a

＝j(luò)中性軸垂直力F對(duì)稱彎曲中性軸和外力作用線在相鄰的象限內(nèi)Iy＝Iz

的梁，只要橫向力過截面形心，梁只產(chǎn)生對(duì)稱彎曲。中性軸將橫截面分成二個(gè)區(qū)：拉應(yīng)力區(qū)和壓應(yīng)力區(qū)中性軸sinjIyzmax

)stmax

＝

M

(cosjIzymax

＋Wy＝Wz＋MzMyscmax

＝－

(WyWz＋MzMy)橫截面有凸角：

最大應(yīng)力發(fā)生在角點(diǎn)上，根據(jù)變形確定產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)。yz中性軸yz中性軸橫截面無凸角：可用圖解法確定產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)。D1D2危險(xiǎn)截面：固定端中性軸xyzlFj危險(xiǎn)點(diǎn)：e點(diǎn)和

f

點(diǎn)ef單軸應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件：stmax

≤

[st

]scmax

≤

[sc

]三、強(qiáng)度條件四、變形計(jì)算求懸臂梁自由端截面形心的撓度xyzlFFyFzjFy

引起的：wy

＝Fy

l3EIz3Fz

引起的：wz

＝Fz

l3EIy3總撓度：設(shè)總撓度與

y

軸成

b

角tanb

＝wzwy＝IyIztanjyz力F的作用線ja中性軸wbIy

≠Iz

b

≠j總撓度方向與力F

的方向不重合斜彎曲Iy

＝Iz

b

＝j(luò)總撓度方向與力F

的方向重合，均垂直于中性軸對(duì)稱彎曲tana

＝IyIztanjb

＝a總撓度方向垂直于中性軸①Iy

≠

Iz

總撓度方向與力的方向不重合中性軸不垂直于力總撓度方向垂直于中性軸②Iy

＝

Iz

總結(jié)：斜彎曲雙向彎曲當(dāng)兩個(gè)橫向外力同時(shí)作用在兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)梁的撓曲線被彎成一條空間曲線總撓度方向與力的方向重合均垂直于中性軸梁的撓曲線被彎成一條平面曲線平面彎曲對(duì)稱彎曲例1：簡(jiǎn)支梁由22a工字鋼制成，已知

l

=1

m，F(xiàn)1

=

8kN

，F(xiàn)2

=

12kN

，工字鋼的

Wy

=

40.9cm3，Wz

=

309cm3，試求梁的最大正應(yīng)力。ACDB12kN8kNxyzlll12kN8kNyz內(nèi)力圖12最大正應(yīng)力返回1ACDB12kN8kNxyzlll8Mz(kN·m)5.33My(kN·m)12kN8kNyz12危險(xiǎn)截面：C、D危險(xiǎn)點(diǎn)1（拉）2（壓）返回212kN8kNyz12C

截面：Mz

=

8kN·m，My

=

2.67kN·mD

截面：Mz

=

4kN·m，My

=

5.33kN·m最大正應(yīng)力例2：圖示矩形截面木檁條跨長(zhǎng)l

=3

m，受集度為q

=

800N/m

的均布荷載作用。檁條材料為杉木，[s

]=12MPa，許可撓度為[w]=

l

/200，

E

=

9GPa。試選擇其截面尺寸，并作剛度校核。qABlyzbhqqP261例8-1qAByzbhqqqzqy12①計(jì)算最大應(yīng)力危險(xiǎn)截面：跨中截面危險(xiǎn)點(diǎn)：1（最大拉）、2（最大壓）有兩個(gè)未知量qAByzbhqqqzqy12②設(shè)計(jì)截面通常矩形截面的高寬比以1.5～3.0為宜。取取

h

:

b

=

1.5qAByzbhqqqzqy12③校核剛度qy

作用下的撓度：qz

作用下的撓度：總撓度重新選截面加大截面尺寸誤差§8-3

拉伸(壓縮)與彎曲lOxyz橫向力引起的彎曲變形是小變形軸力引起的彎矩很小，可略去不計(jì)。Fq一、橫向力與軸力共同作用xOxyzlFq軸力

F

引起的：s

＝FNA橫向力

q

引起的：s

＝－M

(

x

)

yIzA(x,y,z)smax

＝FNA＋MmaxWzsmin

＝FNA－MmaxWzF

、q

共同引起的：s

＝

s

＋

s

＝FNA－M

(

x

)

yIzxyzlFqA(x,y,z)危險(xiǎn)截面固定端危險(xiǎn)點(diǎn)?s

＞s

maxs

＝s

maxs

＜s

maxsmin

＝FNA－MmaxWz強(qiáng)度條件：st

max

≤

[st

]scmax

≤

[sc

]中性軸例1：托架受荷載

F

=

45kN作用。設(shè)AC桿為工字鋼，容許應(yīng)力[s

]

=

160MPa，試選擇工字鋼型號(hào)。FAxFAyFB60kN104kN＋FN

(

kN

)104－M

(

kN·m

)45①畫內(nèi)力圖危險(xiǎn)截面：B

-②設(shè)計(jì)截面危險(xiǎn)點(diǎn)：截面上邊緣點(diǎn)查表選22a號(hào)工字鋼FAxFAyFB60kN104kN＋FN

(

kN

)104－M

(

kN·m

)45③校核重新選相對(duì)誤差④選22b號(hào)工字鋼試算相對(duì)誤差22b號(hào)工字鋼滿足工程要求二、偏心拉伸(壓縮)FFMyMzMy

＝

F

·

zFMz

＝

F

·

yFF

產(chǎn)生軸向壓縮在

xz

平面內(nèi)產(chǎn)生對(duì)稱彎曲在

xy

平面內(nèi)產(chǎn)生對(duì)稱彎曲FM純彎曲純彎曲FMyMzFMyMzMy

＝

F

·

zFMz

＝

F

·

yF軸力

F

引起的：s

＝－FA彎矩

Mz

引起的：s

＝－Mz

yIz彎矩

My

引起的：s

＝－My

zIyB

點(diǎn)總應(yīng)力：s

＝s

＋s

＋s

FA＋＝－(IzF

yF

y＋I(xiàn)yF

zF

z)FA＋)＝－(

1

＋izyF

y2iyzF

z2橫截面上正應(yīng)力是平面分布的Iz

=

A·

iz2Iy

=

A·

iy2smax

＝?中性軸的位置?在中性軸上任取一點(diǎn)(

y0

,

z0

)中性軸方程中性軸是一條不過橫截面形心的直線FA＋)s

＝－(

1

＋izyF

y2iyzF

z2s

＝

0＝

0＋izyF

y02iyzF

z021

＋中性軸方程中性軸在

y、z

軸上的截矩：＝

0＋izyF

y02iyzF

z021

＋izyF2ay

＝－iyzF2az

＝－負(fù)號(hào)說明中性軸的位置與外力作用點(diǎn)的位置分別在橫截面形心的兩側(cè)。yzAyz①

橫截面有凸角A(

yF

,zF

)中性軸(ay

,

0)(0

,

az)中性軸②

橫截面無凸角D1D2(ay

,

0)(0

,

az)D2D1強(qiáng)度條件：stmax

≤

[st

]scmax

≤

[sc

]例2：一端固定并有切槽的桿，在自由端左上角點(diǎn)受與軸線平行的壓力F

作用。試求最大正應(yīng)力。偏心壓縮yz拉壓ABMz＝F

·

5

cmMy＝F

·

2.5

cm危險(xiǎn)截面：矩形截面

(桿切槽處)三、截面核心偏心壓縮問題中，中性軸在

y、z

軸上的截矩：izyF2ay

＝－iyzF2az

＝－壓力作用點(diǎn)離截面形心越近中性軸離截面形心越遠(yuǎn)壓力作用點(diǎn)離截面形心越遠(yuǎn)中性軸離截面形心越近當(dāng)壓力作用在截面形心附近的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，可保證中性軸不穿過橫截面。截面核心偏心壓縮桿件橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力壓力必須作用在截面核心上截面核心的邊界如何確定？當(dāng)壓力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此相對(duì)應(yīng)的中性軸正好與橫截面相切。izyF2ay

＝－iyzF2az

＝－izay2yF

＝－iyaz2zF

＝－yz1234④②③截面核心是凸區(qū)域①(ay

,

0)(0

,

az)bhABCD例3：試確定矩形截面的截面核心。yz①②③④b/61h/62b/63h/64中性軸方程＝

0＋izyF

y02iyzF

z021

＋BB直線方程例4：試確定圓形截面的截面核心。①dyzd/81aad例5：畫出圖示截面的截面核心的大致形狀。zy12①②例6：畫出圖示截面的截面核心的大致形狀。zy②①3③12§8-4

扭轉(zhuǎn)與彎曲FMeMz

＝

F

l橫向力F：對(duì)稱彎曲力偶矩Me：扭轉(zhuǎn)T

＝

F

a上拉下壓上頂點(diǎn)：ts下頂點(diǎn)：ts上頂點(diǎn)下頂點(diǎn)二向應(yīng)力狀態(tài)鋼制直角曲拐＝s2±s1s3√＋ts2()22s2＝

0sr

3

＝√s

2

＋4t

2≤

[s

]sr

4

＝√s

2

＋3t

2≤

[s

]＝√Mz

＋

T22Wz＝√Mz

＋0.75

T22Wz例：一鋼質(zhì)圓軸，直徑

d

=

8

cm，其上裝有直徑

D=1m、重為5kN的兩個(gè)皮帶輪。已知A處輪上的皮帶拉力為水平方向，C處輪上的皮帶拉力為鉛直方向，設(shè)鋼的[s

]=160MPa。試按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。7kN5kN1.5kN·m12kN1.5kN·m①荷載簡(jiǎn)化兩個(gè)外力矩：引起扭轉(zhuǎn)；y

向的橫向力：引起

xy

面內(nèi)的平面彎曲，中性軸

z；z

向的橫向力：引起

xz

面內(nèi)的平面彎曲，中性軸

y；斜彎曲？平面彎曲圓截面中性軸是過形心的斜線，非

z、非

y。7kN5kN1.5kN·m12kN1.5kN·m4.5kN12.5kN2.1kN9.1kN鏈接1②內(nèi)力圖危險(xiǎn)截面：B截面③強(qiáng)度校核圓軸安全鏈接2用內(nèi)力計(jì)算sr3

，判斷圓軸是否安全；用內(nèi)力計(jì)算s、t

，再計(jì)算sr3

，判斷圓軸是否安全；用內(nèi)力計(jì)算s、t

→s1、s2、s3→sr3

，判斷圓軸是否安全。危險(xiǎn)點(diǎn)的判斷T

(kN·m)Mz

(kN·m)1.52.25My

(kN·m)2.1返回1xyz7kN5kN1.5kN·m12kN1.5kN·m4.5kN12.5kN2.1kN9.1kN0.3

m0.5

m0.5

mABCD1.5+危險(xiǎn)截面：B、Cyz(拉)(壓)MyMz中性軸E1E2危險(xiǎn)截面B上：(上拉下壓)(前拉后壓)M從

x

軸正向往負(fù)向看qq危險(xiǎn)點(diǎn)E1、E2的位置返回2在力的作用下，鉚釘上、下部分將沿

m－m

截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。mmFF剪切變形m－m

截面剪切面鉚釘連接件雖尺寸較小但變形往往較復(fù)雜§8-5

連接件的實(shí)用計(jì)算法鉚釘連接鉚接接頭連接處可能的破壞形式有三種：①鉚釘沿剪切面剪斷

→→剪切破壞②鉚釘和板發(fā)生顯著的塑性變形→→擠壓破壞③板被拉斷→→拉斷破壞一、剪切強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)力：剪力

FS

=

F

剪切面面積：As假設(shè)：剪切面上的切應(yīng)力

均勻分布名義切應(yīng)力mmFFS剪切強(qiáng)度條件：剪切破壞實(shí)驗(yàn)→→極限荷載Fu極限應(yīng)力許用應(yīng)力二、擠壓強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)力：擠壓力Fbs

=

F假設(shè)：等效擠壓面上的正應(yīng)力均勻分布名義擠壓應(yīng)力擠壓面

—曲面等效擠壓面→→直徑面面積：Abs擠壓強(qiáng)度條件：擠壓破壞實(shí)驗(yàn)→→極限擠壓應(yīng)力subs許用擠壓應(yīng)力當(dāng)鉚釘和板的材料不同時(shí)，應(yīng)對(duì)許用擠壓應(yīng)力[sbs

]較小者進(jìn)行擠壓強(qiáng)度計(jì)算。三、拉伸強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)力：軸力FN

=

F假設(shè)：板薄弱截面上的拉應(yīng)力均勻分布名義拉應(yīng)力危險(xiǎn)截面

—板薄弱截面受拉面面積：At拉伸強(qiáng)度條件：[st

]——板的許用拉應(yīng)力保證鉚接接頭安全，必須滿足：剪切強(qiáng)度條件；擠壓強(qiáng)度條件；拉伸強(qiáng)度條件。一、簡(jiǎn)單鉚釘連接1．搭接一個(gè)剪切面單剪§8-6

鉚釘連接的計(jì)算鉚釘連接：搭接、對(duì)接剪力：FS

=

F／2擠壓力：Fbs

=

F軸力：FN=

F鉚釘連接：?jiǎn)吾?、釘?．對(duì)接（平接）主板蓋板二個(gè)剪切面假設(shè)：①二個(gè)剪切面上剪力相等；②每一個(gè)剪切面上的切應(yīng)力均勻分布。雙剪剪力：FS

=

F／2擠壓力：Fbs

=

F軸力：FN=

F通常，d

＜

2d1

擠壓強(qiáng)度計(jì)算考慮鉚釘中段與主板孔壁間的相互擠壓；

拉伸強(qiáng)度計(jì)算只需考慮主板。SSSS二、鉚釘群各鉚釘?shù)膖

相等剪切強(qiáng)度計(jì)算可取任一鉚釘各鉚釘或板孔上的sbs

相等擠壓強(qiáng)度計(jì)算可取任一鉚釘或孔壁板的st

要選危險(xiǎn)截面計(jì)算，要綜合考慮截面面積、軸力的大小。1．外力過鉚釘群中心假設(shè)：外力均勻分配在每個(gè)鉚釘上

例：鉚接接頭,已知F=130kN,b=110mm,

d

=10mm,

d

1=7mm,d=17mm,

許用應(yīng)力為[t]=120MPa,[st

]=160MPa,[sbs

]=300MPa,試校核鉚接接頭的強(qiáng)度。搭接—

雙剪釘群—

3個(gè)鉚釘(外力過鉚釘群中心)鉚釘剪切強(qiáng)度條件滿足d

＜

2d1①校核鉚釘剪切強(qiáng)度校核主板的擠壓強(qiáng)度主板擠壓強(qiáng)度條件滿足②校核主板擠壓強(qiáng)度③校核主板拉伸強(qiáng)度1122可能的危險(xiǎn)截面：1-1截面、2-2截面主板的荷載圖？?jī)?nèi)力圖？1122主板拉伸強(qiáng)度條件滿足該鉚接接頭安全2．外力不過鉚釘群中心外力向鉚釘群中心簡(jiǎn)化OOFM過鉚釘群中心的外力＋力偶等分到每個(gè)鉚釘上如何分配？OMOFAFCFB假設(shè)O