浙江省杭州市壽昌中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

浙江省杭州市壽昌中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某班的全體學(xué)生參加某項(xiàng)技能測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人數(shù)是8，則該班的學(xué)生人數(shù)是（） A．45 B． 50 C． 55 D． 60參考答案：分析： 根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率=，求出樣本容量來．解答： 解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；不低于80分的頻率是0.015×10=0.15，∴該班人數(shù)是=60．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．2.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為(

)A． B． C．1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)，若命題“且，使得”為真命題，則下列結(jié)論一定正確的是

(A)

(B)a<0

(C)b≤0

(D)b>l參考答案：B略4.若三棱錐P－ABC的底面ABC是正三角形，則三個(gè)側(cè)面的面積相等是三棱錐P－ABC為正三棱錐的（

）A．充分必要條件

B．充分不必要條件C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要的條件參考答案：答案:A5.某算法的程序框圖如右圖所示，如果輸出的結(jié)果為26，則判斷框內(nèi)的條件應(yīng)為(

)A． B． C． D．參考答案：C試題分析：程序在運(yùn)行過程中，各變量的值變化如下所示：

條件

循環(huán)前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)應(yīng)該結(jié)束循環(huán)體并輸出的值為26

所以判斷框應(yīng)該填入的條件為：

故選C．考點(diǎn)：程序框圖6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為A.1

B.2

C.

3

D.4參考答案：C略7.在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)與之間的“直角距離”為．給出下列命題：（1）若，，則的最大值為；（2）若是圓上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為；(3)若，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．其中為真命題的是A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）

C．（1）(3)

D．(2)(3)參考答案：A8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值為(

)（注：“n=1”，即為“n←1”或?yàn)椤皀：=1”．）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】由框圖的流程依次求得其運(yùn)行的結(jié)果，直到滿足條件S＜0，求出輸出的n值．【解答】解：由程序框圖知第一次運(yùn)行第一次運(yùn)行S=100﹣2，n=2；第二次運(yùn)行S=100﹣2﹣22，n=3；第三次運(yùn)行S=100﹣2﹣22﹣23，n=4；第四次運(yùn)行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24，n=5；第五次運(yùn)行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25=38，n=6；第六次運(yùn)行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26=﹣26＜0，n=7，滿足條件s＜0，程序運(yùn)行終止，輸出n=7．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，判斷程序運(yùn)行的功能是關(guān)鍵．9.已知全集U＝R，集合則()∩B的子集個(gè)數(shù)為A.2

B.4

C.8

D.16參考答案：B10.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和在區(qū)間內(nèi)的概率為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組：，若z=x2+y2，則z的最大值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，再由z=x2+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方求解．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，z=x2+y2的幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）為A（0，2）時(shí)，z有最大值為4．故答案為：4．12.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則_______；若，則_________．參考答案：,13.已知，則的取值范圍為

．參考答案：由題意得，令，則，且，所以，，即.14.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=

．參考答案：1+i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則可求．【解答】解：==1+i，故答案為：1+i．15.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E、F分別為AC、PB的中點(diǎn)，，則球O的體積為______.參考答案：【分析】可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16.已知函數(shù)f(x)＝＋x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，則a的取值范圍是_________參考答案：或略17.關(guān)于函數(shù)（1）是f(x)的極小值點(diǎn)；（2）函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；（3）恒成立；（4）設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則．上述說法正確的序號(hào)為_______．參考答案：（1）（2）（4）【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性以及零點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】（1）因?yàn)?，故可得，令，解得，故可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)；故（1）正確；（2）令，故可得在恒成立，故在單調(diào)遞減；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故可得在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；故（2）正確；（3）令，故可得在恒成立，故可得在定義域上單調(diào)遞減；又當(dāng)，故區(qū)間不恒成立，即在區(qū)間上不恒成立；故（3）錯(cuò)誤.（4）由題可知，故可得，則，令，解得，故可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.故，故在單調(diào)遞增.要滿足題意，只需，等價(jià)于在上至少有兩個(gè)不同的正根，也等價(jià)于與直線在區(qū)間至少有兩個(gè)交點(diǎn).又，故可得，令，故可得在區(qū)間恒成立，故可得在上單調(diào)遞增，又，故可得區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.則要滿足題意，只需，又因?yàn)?，則.故（4）正確.綜上所述，正確的有：（1）（2）（4）.故答案為：（1）（2）（4）.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)、方程的根、參數(shù)的范圍，屬壓軸題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集為A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=5，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由題意可得B?A，區(qū)間B的端點(diǎn)在集合A中，由此求得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈?，解③求得x＞3．綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集為A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2}，如果A∪B=A，則B?A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故實(shí)數(shù)a的范圍為[﹣1，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．19.(12分)已知函數(shù)f(x)=()().(1)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求該函數(shù)的值域.(2)若f(x)≥m對(duì)于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范圍.參考答案：(1)f(x)=(2log4x-2)(log4x-),令t=log4x,x∈[2,4]時(shí),t∈[,1],此時(shí),y=(2t-2)(t-)=2t2-3t+1,y∈[-,0].(2)由題知,f(x)≥mlog4x,即2t2-3t+1≥mt對(duì)t∈[1,2]恒成立,m≤2t+-3對(duì)t∈[1,2]恒成立,易知g(t)=2t+-3在t∈[1,2]上是增加的,g(t)min=g(1)=0,∴m≤0.略20.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=（k為常數(shù)，e=2．71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（l,f（l））處的切線與x軸平行．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意0<x<1，g（x）<1+e－2參考答案：解：（I），由已知，，∴.………………（4分）（II）由（I）知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù).由知，當(dāng)時(shí)，從而；當(dāng)時(shí)，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.………………（8分）（III）由（II）可知當(dāng)時(shí)，中的分母＞1，且，∴.設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.綜上，對(duì)任意，.……………………（14分）

略21.（12分）已知函數(shù)在上是增函數(shù)。（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)，求函數(shù)的最小值。參考答案：解析：（Ⅰ）。∵

在（0，1）上是增函數(shù)，∴在（0，1）上恒成立，即∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以。（Ⅱ）設(shè)，則（顯然）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)，所以h(t)的最小值為。當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)h(t)在區(qū)間是增函數(shù)，在區(qū)間是也是增函數(shù)，又h(t)在[1，3]上為連續(xù)函數(shù)，所以h(t)在[1，3]上為增函數(shù)，所以h(t)的最小值為h(1)=∴22.（12分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1=5，a2=9，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=bn+．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=an|bn|，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由d=a2﹣a1=4，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{an}通項(xiàng)公式，則bn=Sn﹣Sn﹣1，則bn=﹣2bn﹣1，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：cn=（4n+1）2n﹣1，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Tn．【解答】解：（1）由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d=a2﹣a1=4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，an=a1+（n﹣1）d=4n+1，由Sn=bn+，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=bn﹣1+，則bn=Sn﹣Sn﹣1=（bn+）﹣（bn﹣1+）=bn﹣bn﹣1，則bn=﹣2bn﹣1，當(dāng)b=1時(shí)，b1=b1+．b1=1，數(shù)列{bn}以1為首項(xiàng)，﹣2為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=（﹣2）n﹣1；（Ⅱ）cn=