材料力學-梁的彎曲問題課件

第十五章梁的彎曲問題第十五章梁的彎曲問題15.1工程實際中的彎曲問題

梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產生彎曲變形的構件稱為受彎構件。AB一、平面彎曲的基本概念F2F1M15.1工程實際中的彎曲問題梁在垂直于其軸線●工程實例

建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水槽壁等。火車軸廠房吊車梁●工程實例火車軸

平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面)內，即梁的軸線成為一條平面曲線。(a)ABF2F1(c)●對稱（平面）彎曲(Planarbending)

對稱平面F2F1(b)平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作

梁的荷載和支座反力

一、梁的荷載

1集中力：作用在微小局部上的橫向力；

2集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內的力偶。MeF梁的荷載和支座反力一、梁的荷載MeF3分布荷載：沿梁長連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：用q(x)表示

分布荷載的大小

均布荷載非均布荷載q(x)q(x)=C3分布荷載：沿梁長連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：用q(x)表二、梁的支座及支座反力●支座形式1固定鉸約束2可動鉸約束3固定支座二、梁的支座及支座反力2可動鉸約束3固定支座

●計算簡圖確定梁的“計算簡圖”包含：⑴以梁的軸線經代替實際的梁；⑵以簡化后的支座代替實際的支座；實際支承→理想支承⑶以簡化后的荷載代替實際的荷載?！裼嬎愫唸D

三、梁的分類

●按支座情況

⑴簡支梁：一端固定鉸，一端可動鉸⑵外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁⑶懸臂梁：一端固定支座，另一端自由三、梁的分類⑵外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁⑶懸

●按支座反力的求解方法

⑴靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB●按支座反力的求解方法ABAMAFAzFAxFAyFAx⑵超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF⑵超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF●按梁的橫截面⑴等截面梁：橫截面沿梁的長度沒有變化；⑵變截面梁：橫截面沿梁的長度有變化。汽車鋼板彈簧魚腹梁●按梁的橫截面汽車鋼板彈簧魚腹梁15.2

梁的內力及其求法

一、求梁的內力的方法——截面法●內力的形式及名稱剪力彎矩N或kNN·m或kN·m11MFQFRAaAAFRAFRBlaF1F215.2梁的內力及其求法一、求梁的內力的方法——●內力的求法BF1FRAF2FQM?MFQFRAaA●內力的求法BF1FRAF2FQM?MFQFRAaA●內力的正負號⑴剪力⑵彎矩MMMMFQFQ左上右下為正左下右上為負向上凹變形為正向上凸變形為負FQFQ●內力的正負號⑴剪力⑵彎矩MMMMFQFQ左上右下為正

例1圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計算指定截面1-1、2-2的內力。解：(1)求支座反力BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m例1圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知F1=12k(2)求1-1截面上的內力

FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的內力FRAAFQ1M11mF10.5

(3)求2-2截面上的內力

F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(3)求2-2截面上的內力F2F1AM2FQ2FRAB

結論：

1梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側（或右側）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下）的外力使截面產生正號的剪力。

2梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側（或右側）所有豎向力對該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時針（右邊逆時針）的力矩使截面產生正號的彎矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ結論：F2F1M2FQ2FRAMFQ

例2

試利用上述結論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和彎矩的表達式。qF1FRBlbcMeF2dαe11fMFQ例2試利用上述結論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和

例3求圖示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。FRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m例3求圖示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1根據(jù)1-1截面左側的外力計算可得：根據(jù)1-1截面右側的外力計算可得可見計算結果完全相同。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1根據(jù)1-1截面右側的

(3)求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2

根據(jù)2-2截面右側的外力計算可得：FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(3)求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2FRBFR15.3

內力圖──剪力圖和彎矩圖

為了形象地看到內力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

具體作法是：剪力方程：彎矩方程：15.3內力圖──剪力圖和彎矩圖為了形象地看到內

例4求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：(1)求支座反力(2)列出剪力方程和彎矩方程

取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達式分別為:xFRAFRBBqlA例4求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力圖和彎矩(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值FQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖xFRAFRBBqlA(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值FQ圖ql/2ql/2ql

例5簡支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。

分析：

1-1、2-2截面上的剪力

結論：當梁中間受力較復雜時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段

列出其表達式。

分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界(分段點如何確定？)1122（?）3344BA(O)lCDFMel/3l/3例5簡支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=

解：(1)求支座反力

(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程

AC段FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3解：(1)求支座反力(2)分三段AC、CD、CD段DB段

FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3CD段DB段FRAFRBBA(O)lCDF(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值

FQ圖M圖1122BA(O)CDFRAFRBlFMel/3l/3(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值FQ圖M圖1122BA(

結論：

●當梁上荷載有變化時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段列出其表達式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界?！窦袅D和彎矩圖一般是連續(xù)的

。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為“順下逆上”。結論：15.4

彎矩、剪力、荷載集度之間的關系

一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關系

BA(O)CDlFMel/3l/315.4彎矩、剪力、荷載集度之間的關系BA(O)CDlF

二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q<0FQ直線段FQ=0>0<0>0>0<0<0=0>0MM二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q<0FQ直線段FQ=0>★結論（規(guī)律）：

(2)當梁的支承情況對稱，荷載反對稱時，則彎矩圖永為反對稱圖形，剪力圖永為對稱圖形。

(1)當梁的支承情況對稱，荷載也對稱時，則彎矩圖永為對稱圖形，剪力圖永為反對稱圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2★結論（規(guī)律）：(2)當梁的支承情況對稱，荷

例7圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為q，試利用微分關系作梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求支座反力三、畫剪力圖、彎矩圖的簡便方法Bq3aAMeCaFRAFRB例7圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=(2)作剪力圖(3)作彎矩圖x7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ圖M圖MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力圖(3)作彎矩圖x7/6qa11/6qa=1212m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA++466683222FQ(kN)M(kNm)例8

作梁的內力圖2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2k材料力學-梁的彎曲問題課件材料力學-梁的彎曲問題課件

結論：q、F、Me共同作用時產生的內力等于q、F、Me分別單獨作用時產生的內力之和。

因此，當梁上有幾種（或幾個）荷載作用時，可以先分別計算每種（或每個）荷載單獨作用時的梁的反力和內力，然后將這些分別計算所得的結果代數(shù)相加得梁的反力和內力。這種方法稱為疊加法。15.5

疊加法作剪力圖和彎矩圖BqACMeDlbaF結論：q、F、Me共同作用時產生的內力等于q、F、M

線彈性，位移可以疊加Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1線彈性，位移可以疊加Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFFΔOFΔOFΔO

非線性彈性，位移不可以疊加F1Δ1F2Δ2F1+F2ΔΔ2FΔOFΔOFΔO非線性彈性，位移不可以疊加F1Δ1F疊加原理成立的前提條件：（1）小變形（2）材料滿足虎克定理（線性本構關系）疊加原理成立的前提條件：當變形為微小時，可采用變形前尺寸進行計算。1、疊加原理：當梁在各項荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨作用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。2、區(qū)段疊加法作彎矩圖：

設簡支梁同時承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即：+MAMBM0++MAMBM0彎曲內力BMAAqMBlB當變形為微小時，可采用變形前尺寸進行計算。1、疊加原理：當梁1q(x)=0

結論:彎矩圖為一水平直線。FQM+lABMe1q(x)=0結論:彎矩圖為一水平直線。FQM+

結論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于FS一斜直線（＼）。lFABFQFMFl-結論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于FlFABFQF-MFl+

結論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于FS一斜直線（／）。lFABFQF-MFl+結論:剪力圖為一水平直線，彎

2q(x)>0

結論:剪力圖為斜率等于q的

一斜直線（／），彎矩圖為拋物線（開口向下）。BqlAM圖FQ圖ql/2ql/22q(x)>0結論:剪力圖為斜率等于q的一

3q(x)<0

結論:剪力圖為斜率等于q的

一斜直線（＼），彎矩圖為拋物線（開口向上）。qBlAxFQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖3q(x)<0結論:剪力圖為斜率等于q的一斜

4集中力F作用處

結論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變(彎矩不變)，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與剪力的方向相同。1FQ圖M圖FRAFRBlFaAB4集中力F作用處結論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生

5集中力偶Me作用處

結論:在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變(剪力不變)，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為“順下逆上”。

lMebxFQ圖M圖FRAFRB5集中力偶Me作用處結論:在有集中力偶作用的

例9

試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如有錯請指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me例9試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如有錯請3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx++60kN50kN60kN.m3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx++60

23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kN

由圖可知，在梁的AC、DB兩段內，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。在梁的CD段內，各橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。15.6梁橫截面上的正應力計算由圖可知，在梁的AC、DB兩段內，各橫截面上既有剪力又有1、剪切彎曲內力剪力Q切應力t彎矩M正應力σ2、純彎曲內力：彎矩M正應力σ由以上定義可得：1、剪切彎曲內力剪力Q切應力t彎矩M1.純彎曲實驗

①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉動（一）梁的純彎曲實驗縱向對稱面bdacabcdMM

②縱向線變?yōu)橥膱A弧曲線，且上縮下伸

③橫向線與縱向線變形后仍正交。④橫截面高度不變。純彎曲梁上正應力的確定1.純彎曲實驗①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，（2）縱向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。

（1）平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，并垂直于變形后梁的軸線。中性層縱向對稱面中性軸（橫截面上只有正應力）2.根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內部的變形，作出如下的兩點假設：（2）縱向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。（1）平面3.兩個概念①中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。②中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層縱向對稱面中性軸3.兩個概念①中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維M—橫截面上的彎矩y—所計算點到中性軸的距離Iz—截面對中性軸的慣性矩4.正應力公式不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲；適用于所有截面。5.應力正負號確定M為正時,中性軸上部截面受壓下部截面受拉;M為負時,中性軸上部截面受拉下部截面受壓.在拉區(qū)為正,壓區(qū)為負M—橫截面上的彎矩4.正應力公式不僅適用于純彎曲，也適最大正應力危險截面:最大彎矩所在截面Mma危險點：距中性軸最遠邊緣點ymax

令

則一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；5.最大正應力最大正應力危險截面:最大彎矩所在截面Mma令則一般DdDd=abhdWz—抗彎截面模量DdDd=abhdWz—抗彎截面模量1、正應力強度條件：

矩形和工字形截面梁正應力

max=M/WzWz=Iz/(h/2)

特點：max+=max-

T形截面梁的正應力

max+

=M/W1W1

=Iz/y1

max-

=M/W2W2

=Iz/y2

特點：

max+

max-

15.7梁的正應力強度計算1、正應力強度條件：矩形和工字形截面梁正應力T形截面梁的2、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算、校核強度：校核強度：設計截面尺寸：確定許可載荷：2、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算、校核強度：例10受均布載荷作用的簡支梁如圖所示試求：（1）1—1截面上1、2兩點的正應力（2）此截面上的最大正應力（3）全梁的最大正應力（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11x+MM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30例10受均布載荷作用的簡支梁如圖所示試求：Q=60kN/mQ=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求應力18030x+MQ=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030x+M求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內力例11T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于G點，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmMy1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內力例11校核強度T字頭在上面合理。彎曲應力y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4kNm2.5kNmM校核強度T字頭在上面合理。彎曲應力y1y2GA1A2y1一、矩形截面梁橫截面上的切應力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dx圖a圖bzs1xys2t1tb圖cSz*為面積A*對橫截面中性軸的靜矩.

15.8梁橫截面上的切應力及強度一、矩形截面梁橫截面上的切應力dxxQ(x)+dQ(x)zy式中:--所求切應力面上的剪力.IZ--整個截面對中性軸的慣性矩.Sz*--過所求應力點橫線以外部分面積對中性軸的靜矩.b--所求應力點處截面寬度.yA*yc*zy式中:--所求切應力面上的剪力.IZ--整個截面Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。中性軸上有最大切應力.為平均切應力的1.5倍。Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；其它截面梁橫截面上的切應力

工字形截面梁剪應力分布假設仍然適用—橫截面上剪力；Iz—整個工字型截面對中性軸的慣性矩；b1—腹板寬度；Sz*—陰影線部分面積A*對中性軸的靜矩最大剪應力：其它截面梁橫截面上的切應力工字形截面梁—橫截面上剪Iz—圓形截面對中性軸的慣性矩；b—截面中性軸處的寬度；Sz*—中性軸一側半個圓形截面對中性軸的靜矩

圓形截面梁最大剪應力仍發(fā)生在中性軸上:

圓環(huán)截面梁

Iz—圓形截面對中性軸的慣性矩；圓形截面梁圓環(huán)截面梁1、危險面與危險點分析：最大切應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。QttQt1、危險面與危險點分析：最大切應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截2、切應力強度條件：3、需要校核切應力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核切應力。梁的跨度較短，M較小，而FS較大時，要校核切應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力。2、切應力強度條件：3、需要校核切應力的幾種特殊情況：鉚接注意事項設計梁時必須同時滿足正應力和剪應力的強度條件。對細長梁，彎曲正應力強度條件是主要的，一般按正應力強度條件設計，不需要校核剪應力強度，只有在個別特殊情況下才需要校核剪應力強度。注意事項設計梁時必須同時滿足正應力和剪應力的強彎曲強度計算的步驟

畫出梁的剪力圖和彎矩圖,確定|FS|max和|M|max及其所在截面的位置，即確定危險截面。注意兩者不一定在同一截面；根據(jù)截面上的應力分布規(guī)律，判斷危險截面上的危險點的位置，分別計算危險點的應力，即max和max（二者不一定在同一截面，更不在同一點）；對max和max分別采用正應力強度條件和剪應力強度條件進行強度計算，即滿足max

,max彎曲強度計算的步驟畫出梁的剪力圖和彎矩圖,確定解：畫內力圖求危面內力例12矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應力和最大切應力之比,并校核梁的強度。q=3.6kN/mABL=3mQ–+xx+qL2/8M解：畫內力圖求危面內力例12矩形(bh=0.12m0求最大應力并校核強度應力之比q=3.6kN/mQ–+xx+qL2/8M求最大應力并校核強度應力之比q=3.6kN/mQ–+xx作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時滿足分析：非對稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。例13作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時滿足分析：非對稱截面，要尋（2）求截面對中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：（2）求截面對中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz（4）B截面校核（3）作彎矩圖-4kNm2.5kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD（4）B截面校核（3）作彎矩圖-4kNm2.5kNmMP1=（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNmM（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖P1=

彎曲正應力是控制梁彎曲強度的主要因素，故彎曲正應力的強度條件：要提高梁的承載承力，應從兩方面考慮：一方面是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；另一方面是采用合理的截面形狀，以提高W的數(shù)值，充分利用材料的性能。

15.9提高梁強度的措施彎曲正應力是控制梁彎曲強度的主要因素，故彎曲正應一、合理安排梁的受力情況

合理布置梁的支座一、合理安排梁的受力情況qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+--ql2/40ql2/50ql2/50

左邊梁的最大彎矩值是右邊梁的最大彎矩值的5倍。因此，右邊梁上的載荷還要提高四倍，才能使得其最大彎矩值同左邊的相同。因而，右邊梁的承載能力要比左邊高四倍，因此說來，合理的布置梁的支座，對提高梁的彎曲強度是十分必要的。qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+--門式起重機的大梁門式起重機的大梁

適當增加梁的支座適當增加梁的支座合理的布置載荷。比較下列兩種布置方法：Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖+Pl/8M圖Pl/8合理的布置載荷。比較下列兩種布置方法：Pl/2ABl/2C改善荷載的布置情況MM改善荷載的布置情況MM二、提高抗彎截面系數(shù)選擇合理的截面形狀二、提高抗彎截面系數(shù)選擇合理的截面形狀

在確定梁的截面形狀與尺寸時，除應考慮彎曲正應力強度條件外，還應考慮彎曲切應力強度條件。因此，在設計工字形、箱形、T字形與槽型等薄壁截面梁時，也應注意使腹板具有一定的厚度。zz在確定梁的截面形狀與尺寸時，除應考慮彎曲正應力強度條合理選擇截面形狀，盡量增大Wz值合理選擇截面形狀，盡量增大Wz值—單位面積抗彎截面模量—單位面積抗彎截面模量bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.27~0.31)h(0.29~0.31)hd=0.8h常見截面的Wz/A值比較:從表中可以看出，材料遠離中性軸的截面較經濟合理。工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板，道理就在于此。bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.27從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎能力的截面。在一般截面中，抗彎能力與截面高度的平方成正比。因此，當截面面積一定時，宜將較多材料放置在遠離中性軸的部位。因此，面積相同時：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。同時應盡量使拉、壓應力同時達到最大值。smaxsmin從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較根據(jù)材料特性選擇截面對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關于中性軸不對稱的截面根據(jù)材料特性選擇截面對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對稱的截面，使中性軸靠近拉的一側h2Zch1Zc變截面梁1)b不變，中間h加大Zc拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對稱的截面，使中hxMPl/4xb(x)bmin2)h不變，中間b隨x與彎矩M（x）同規(guī)律變化，如上圖3)b不變，中間h隨x與彎矩M（x）規(guī)律變化，如右圖搖臂鉆床的搖臂。ABPl/2lxMPl/4xb(x)bmin2)h不變，中間b隨x與彎等強度梁階梯梁漁腹梁（工藝上簡化）等強度梁階梯梁漁腹梁（工藝上簡化）材料力學-梁的彎曲問題課件日本巖大橋雨蓬梁板◆實例：日本巖大橋雨蓬梁板◆實例：預應力鋼筋以上的措施僅僅考慮提高梁的強度方面，事實上，梁的合理使用應綜合考慮強度與剛度、穩(wěn)定性等問題。這正是工程構件力學分析的核心內容。預應力鋼筋以上的措施僅僅考慮提高梁的強度方面，事實上，梁的合彎曲構件除了要滿足強度條件外,還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。15.10梁的變形概念彎曲構件除了要滿足強度條件外,還需滿足剛度條件。如車床材料力學-梁的彎曲問題課件材料力學-梁的彎曲問題課件但在另外一些情況下，有時卻要求構件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。但在另外一些情況下，有時卻要求構件具有較大的材料力學-梁的彎曲問題課件撓度(w):任一橫截面形心(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度。取梁的左端點為坐標原點,梁變形前的軸線為x軸,橫截面的鉛垂對稱軸為y軸,xy平面為縱向對稱平面。BAB'CC1撓度w

yx撓度(w):任一橫截面形心(即軸線上的點)在垂直x

BAB'CC1轉角轉角():橫截面繞中性軸轉過的角度（或角位移）,稱為該截面的轉角，也即撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角。yxBAB'CC1轉角轉角():橫截撓度和轉角符號的規(guī)定：撓度：在圖示坐標系中,向下為正,向上為負。轉角：順時針轉向為正,逆時針轉向為負。yxABCw(撓度)C1q(轉角)F撓度和轉角符號的規(guī)定：撓度：在圖示坐標系中,向下為正,向必須注意:梁軸線彎曲成曲線后,在x軸方向也有線位移。yxABCw(撓度)C1q(轉角)F但在小變形情況下,梁的撓度遠小于跨長,這種位移與撓度相比很小，可略去不計。必須注意:梁軸線彎曲成曲線后,在x軸方向也有線位移。yx撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,w為該點的撓度。yxABCw(撓度)C1q(轉角)撓曲線F撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁撓度與轉角的關系：yxABCw(撓度)C1qq(轉角)F撓度與轉角的關系：yxABCw(撓度)C1qq(轉角)F此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫成式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的邊界條件和變形的連續(xù)性條件來確定。15.11梁的變形計算積分法求彎曲變形再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉角方程若為等截面直梁簡支梁懸臂梁邊界條件ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB連續(xù)性條件在撓曲線的任一點上,有唯一的撓度和轉角。如:不可能不可能c簡支梁懸臂梁邊界條件ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0

討論：

①適用于小變形、線彈性、細長構件的平面彎曲②用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移③積分常數(shù)由撓曲線變形邊界條件確定

④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；

缺點：計算較繁

例14圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉角max。ABlx解：以梁左端A為原點,取直角坐標系,令x軸向右,y軸向下為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分例14圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0在x＝0處,w＝0在x＝0處,q＝0--(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0ABlxxyF(4)建立轉角方程和撓度方程將求得的積分常數(shù)C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉角和最大撓度自由端B處的轉角和撓度絕對值最大。wmaxqmax所得的撓度為正值,說明B點向下移動;轉角為正值,說明橫截面B沿順時針轉向轉動。ABlxxyF(4)建立轉角方程和撓度方程將求得的積分常例15：一簡支梁受均布荷載作用，求梁的轉角方程和撓度方程，并確定最大撓度和A、B截面的轉角。設梁的抗彎剛度為EI。ABlq例15：一簡支梁受均布荷載作用，求梁的轉角方程和撓度方程，并解:1°建立坐標系。求支座反力。列彎矩方程：xylABq解:1°建立坐標系。求支座反力。列彎矩方程：xylABq邊界條件得:xylABqθBθAwmax邊界條件得:xylABqθBθAwmax例16：已知F、EI，求梁的轉角方程和撓度方程及wmax

。xyABFlxabCD解:1°建立坐標系。求支座反力。2°分段求出彎矩方程及w′、w。例16：已知F、EI，求梁的轉角方程和撓度方程及wmax。xyABFlxabCDxyABFlxabCD邊界條件：x=0，w1=0。x=l，w2=0。連續(xù)條件：x=a，w1′=w2′，w1=w2

由連續(xù)條件，得：C1=C2，D1=D2再由邊界條件，得：C1=C2=Fb（l2-b2）/6lD1=D2=0因此，梁各段的轉角方程和撓度方程為：xyABFlxabCD邊界條件：x=0，w1=0。x=l，w2=xyABFlxabCDxyABFlxabCD因此，受任意荷載的簡支梁，只要撓曲線上沒有拐點，均可近似地將梁中點的撓度作為最大撓度。xyABFlxabCD因此，受任意荷載的簡支梁，只要撓曲線上沒有拐點，均可近似地將條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長的改變可略去不計,且梁的材料在線彈性范圍內工作,因而,梁的撓度和轉角均與作用在梁上的載荷成線性關系。在這種情況下,梁在幾項載荷(如集中力、集中力偶或分布力)同時作用下某一橫截面的撓度和轉角,就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加。此即為疊加原理。15.11梁的變形計算疊加法求彎曲變形條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長的改變可略去不計,例17：簡支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點撓度和左端截面的轉角。設梁抗彎剛度為EI。ml/2qABCl/2例17：簡支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點撓度和左端截面解:qABCBmACml/2qABCl/2解:qABCBmACml/2qABCl/2+=例18簡支梁的EI已知，用疊加法求梁跨中截面的位移和兩端截面的轉角。載荷分解如圖對稱均布載荷單獨作用時集中力偶單獨作用時xxx+=例18簡支梁的EI已知，用疊加法求梁載荷分解如圖疊加疊加例19：一階梯形懸臂梁，在左端受集中力作用。試求左端的撓度。FABCaaEI2EI例19：一階梯形懸臂梁，在左端受集中力作用。試求左端的撓度。ABCFaaEI2EI解：FBAwA1θA1采用逐段剛化法1、令BC剛化，AB為懸臂梁。2、令AB剛化，BC為懸臂梁。FBAwBCM=FaABCFaaEI2EI解：FBAwA1θA1采用逐段剛化法1FBAwA1θA1FBAwBCBAwBCM=FaEI2EI2EIFBAwA1θA1FBAwBCBAwBCM=FaEI2EI2ABCFaaEI2EI累加得到總的結果：ABCFaaEI2EI累加得到總的結果：例20：已知F、q、EI。求θc和wc。qABF=qaaaaCxy（a）例20：已知F、q、EI。求θc和wc。qABF=qaaaaCxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）θB(F)Θc(F)CxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）θBCqAB（c）CqABM=qa2/2CqABM=qa2/2CABM=qa2/2CqAB（c）CqABM=qa2/2CqABM=qa2/2CCqAB（c）CqB（d）ABC（e）qa2/2CqAB（c）CqB（d）ABC（e）qa2/2——這種疊加法又稱為逐段（級）剛化法。CqB（d）ABC（e）qa2/2ABFC（b）——這種疊加法又稱為逐段（級）剛化法。CqB（d）ABC（e例21用逐段剛性法求解簡支外伸梁的撓度把未變形B