2023信息卷一輯新高考（數(shù)學(xué)）答案

新教材版數(shù)學(xué)答案一

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第1套123456789101112

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見第1DDBCADCBACABDACDBCD

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第2套123456789101112

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見第6BADDCCCCACDCDABDABC

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11頁

第4套123456789101112

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BBBDCACDCDBCDABBC

第16頁

第5套123456789101112

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20頁

第6套123456789101112

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第25BBCCADCAABCBCADACD

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第7套123456789101112

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30頁

第8套123456789101112

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見第CADCBDCDBCDBCDCDACD

35頁

答案全解全析

?重點(diǎn)中學(xué)、教育強(qiáng)區(qū)摸底定位信息卷(一)

命題依據(jù)：本試卷注重對(duì)學(xué)科重點(diǎn)知識(shí)的考查，充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

試題難度：試題全面覆蓋中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，屬基礎(chǔ)題，有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)和掌握.

試題亮點(diǎn)：(1)注重思想方法，數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想在試卷中都有涉及，同時(shí)也

考查了閱讀理解和知識(shí)遷移能力，凸顯能力素養(yǎng).(2)精選衡水中學(xué)、石家莊二中、雅禮中學(xué)、長郡中學(xué)等名校的最

新模擬試題，為試卷注入了新的活力.

試題詳解

1.D［命題立意］考查復(fù)數(shù)的乘方，復(fù)數(shù)的模；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］因?yàn)閒=-1,所以2=『。22=產(chǎn)<5。5+2=：2=一1,所以復(fù)數(shù)z的模是1.故選D

2.D［命題立意］考查集合的交集運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)求值域；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］由題意得集合A={y|y=2N}={y|y》l}=［l,+°°),又由集合B={x|x23},得［R5={x|x<3}=(一

8,3),所以ZA［R^=［1,3).故選D.

3.B［命題立意］考查三角函數(shù)的符號(hào)；考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

［試題解析］:sina?cos”0,，。在第二或第四象限.

當(dāng)a在第二象限時(shí)，cosa<0,sin。>0,

則cosa—sina<0,符合題意；

當(dāng)a在第四象限時(shí)，cosa>0,sina<0,

則cosa—sina>0,不符合題意.

綜上所述，a在第二象限.故選B.

4.C［命題立意］考查函數(shù)圖象的識(shí)別；考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)于選項(xiàng)A,/(x)=旺，當(dāng)x<0時(shí)，有7(x)v0,不符合題意，故排除選項(xiàng)A;

2x

對(duì)于選項(xiàng)B,兀-——-—，當(dāng)XV0時(shí)，有/(x)vo,不符合題意，故排除選項(xiàng)B;

X

對(duì)于選項(xiàng)D,/(x)=C;,/(2)=貯<1,不符合題意，故排除選項(xiàng)D.故選C.

2x28

5.A［命題立意］考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較；考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

［試題解析］因?yàn)閤e(er,1),所以a=lnxG(-l,0),6=(；盧*6(1,2),c=e,nxe(~,1),所以故選A.

6.D［命題立意］考查古典概型，二項(xiàng)分布的方差；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］由題意，得袋子中有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和8個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，該球?yàn)?/p>

紅球的概率為"=1，現(xiàn)從中有放回地摸球8次，每次摸球的結(jié)果互不影響，表示做了8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用丫表

123

示摸到紅球的次數(shù)，則y?N(8,1),

故o(r)=8x|x(i-1)=y,

因?yàn)閄=3K根據(jù)方差的性質(zhì)可得。0=。(37)=9。(7)=9義地=16.故選D.

7.C［命題立意］考查圓的方程，雙曲線的漸近線和離心率；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］由題意，得以尸產(chǎn)2為直徑的圓的方程為r+產(chǎn)=。2,不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為了=々，如圖，

b

產(chǎn)r，x=-a,

由，〃解得.或

x2+y2=c2,y=-b,

則Q(a,b),P(—a,—ft).

???點(diǎn)4為步曲線的左頂點(diǎn),???力(一〃,0),

\AQ\=(a+a)2+b2=y)4a2+b2,

\AP\=C—a+a)2+h2=b,

?：\AQ\^2\AP\,

222e2,

；?個(gè)4a2+b222b,即4a^3(c—a)f/.^1又e>l,???e￡(l,,故該雙曲線的離心率的取值范圍是（1,

,故選C.

8.B［命題立意］考查分段函數(shù)的值域；考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］因?yàn)間（x）=\nx的值域?yàn)镽,

（1—。）x+a2,x<\,

所以加）=?的值域?yàn)镽.

3,，x21

當(dāng)時(shí)，Hx）=3，23i=3.

當(dāng)x<l時(shí)，

①若1一〃=0,即a=l,則｛x）=l,此時(shí)不滿足題意；

②若1一。<0,即心1,則/（》）>1一°+。2,此時(shí)凡丫）的值域不可能為R；

③若1—“>0,即a<l,則—a+，，要使加）的值域?yàn)镽,則1—a+/23,即/一°—220,

解得或aW—1,又因?yàn)樗詀W—1,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是（一8,—1］.故選B.

9.（易錯(cuò)題）AC［命題立意］考查圓錐曲線的方程和性質(zhì)；考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)〃>6時(shí)，6—〃V0,即6>0,曲線C的方程為^—」一=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的

nn~6

雙曲線，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)〃=3時(shí)，曲線C的方程為*2+產(chǎn)=3,表示圓，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)N=2時(shí)，曲線C的方程為苫+?=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則故選

項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,假設(shè)存在實(shí)數(shù)〃，使得曲線C表示漸近線方程為y=±r的雙曲線，此時(shí)有—解得〃<0

或〃>6,當(dāng)X0時(shí)，6—〃=一〃，無解；當(dāng)〃>6時(shí)，〃=一（6一口，無解，所以不存在實(shí)數(shù)〃，使得曲線C表示漸近

線方程為y=母的雙曲線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.

10.（創(chuàng)新題）ABD［命題立意］考查函數(shù)的周期，正弦型函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和值域；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)

運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］,?7（工+2n）=sin［cosx］+cos［sin4=?。?，

二危）的一個(gè)周期是2TI,故選項(xiàng)A正確；

(cos1,,0),

2

sin1+1,x=0,

1,(o,—),

2

cos,1,x=—n,

??VW=2

1—sinL(—,n1,

2

1if―(3n、

cos1-sin1,<n,----),

2

cos1,2n）,

2

?；危）是非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B可知，當(dāng)XW（O,—）H+,,/（X）=1,不增不減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)B可知，當(dāng)x=0時(shí)，./(x)=sinl+l>sin：+1=曰+故選項(xiàng)D正確.故選ABD.

11.ACD［命題立意］考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，能成立問題；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］易知aWO,由4x+a(y—3e2x)(\ny-\nx)=0,得4+。(上一3e2)ln^=O,

XX

令Z=2(/>0),則4+<7(/—3e2)ln/=0,

x

4

整理得—=dnt—3e2lnt,

a

設(shè)g⑺=/ln/-3e2|n/(>0),則gXO=1+ln,

因?yàn)間?)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,且g，(e2)=0,

所以當(dāng)Ovfve2時(shí),g，(r)<0,當(dāng)Ae?時(shí)，g’(z)>0,

所以g⑺在區(qū)間(0,e2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間e2,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(0min=g(e2)=—4e2,

41

即—，一4e?,解得或a<0.

ae2

故?！阂?,0)U［\,+8),根據(jù)選項(xiàng)可知“的取值可能是」,4，2.故選ACD.

e2ee2

12.(重難題)BCD［命題立意］考查直棱柱的有關(guān)計(jì)算，直棱柱的截面；考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)于選項(xiàng)A,如圖，延長。4。。分別交直線E尸于點(diǎn)P,Q,連接AP,DyQ,分別交棱力小，CC\

于點(diǎn)M,N,連接ME,NF,可得五邊形DiMEFN,即平面a截直四棱柱N8CZ)di8iCiOi所得的截面，故選項(xiàng)A錯(cuò)

1天；

對(duì)于選項(xiàng)B,易知/P=8尸=1,

故DP=DD、=3,則△。。聲為等腰三角形，

由相似三南形可知，AM=AP=1,

則4M=2,DiM=2亞,同理可得。囚=23，

易知ME=EF=FN=^2,

連接MN,易知MN=2啦,

因此五邊形DiAffiTW可以分為等邊三角形OMV和等腰梯形MEFN,

設(shè)等腰梯#MEFN的高為/?,

則(也)2-(2亞―中)>直,

V22

則等腰梯形A/EEN的面積為:X(仍+2/)Xj=二區(qū)，

又SZ">iA/N=lx2/x#=23,

2

所以五邊形DiMEFN的面枳為紇區(qū)+23=工亞，故選項(xiàng)B正確；

22

對(duì)于選項(xiàng)C,記平面a將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積分別為?Vi，

則V2=VD\.DPQ-VPAE-VCTO=-X-X3X3X3--X-X1X1X1--X-X1X1X1=—,

MN3232326

所以匕=幺88-48|(7|。|一七=2X2X3一絲=”，

66

所以V\:匕=47:25,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)槠矫鎍過棱AB的中點(diǎn)E,所以點(diǎn)A到平面。的距離與點(diǎn)B到平面a的距離相等，由平面以過小力

的三等分點(diǎn)〃可知，點(diǎn)4到平面a的距離是點(diǎn)Z到平面。的距離的2倍，因此，點(diǎn)4到平面a的距離是點(diǎn)3到平

面a的距離的2倍，故選項(xiàng)D正確.故選BCD.

13.［命題立意］考查平面向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］如圖，設(shè)NC的中點(diǎn)為。，

A

BC

丁點(diǎn)G為△Z8C的重心且8G=2,

:.BD=3,DA=：AC=3,DC=~5A,

則就?虎=-BABC=-(BD+DA)-(BD+DC)=-(BD+DAy(BD-DA)=-(BD2-DA2)=-［?>2-(y［3)2］=-6.

［參考答案］一6

14.［命題立意］考查圓的對(duì)稱性，基本不等式；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

［試題解析］由題意得直線y=ax+6過圓心(2,1),所以l=2a+6,

因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù)，

所以1+2=(1+2)(2〃+6)=2+2+e+短N(yùn)4+2A--——8,當(dāng)且僅當(dāng)e=在，即。=1，時(shí)，等號(hào)成立，所

ababab\jabab42

17_

以--1■?一的最小值是8.

ab

［參考答案］8

15.［命題立意］考查全概率公式，條件概率公式；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］記事件］="李好第一槍擊中目標(biāo)“，事件8="李好第二槍擊中目標(biāo)“，事件C=“李好第三槍擊

中目標(biāo)”，事件。="目標(biāo)被擊中“，則尸(。)=尸(4+5+C)=P(/)+P(3)+P(C)=0.8+0.2X0.4+0.2X0.6><0.2=

0.904,P(8)=0.2X0.4=0.08,故尸(8|。)=乙"支-=乙?-=衛(wèi)迪=或，故在目標(biāo)被擊中的條件下，李好第二

P(。)P(。)0.904113

槍擊中目標(biāo)的概率是兇.

113

［參考答案，巳

16.［命題立意］考查數(shù)列的單調(diào)性，利用裂項(xiàng)相消法求和；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)任意的“GN”,a?>0,

由曷+1一a"i，得一+1一a〃+i—?！?0,

解得a“+i=l±「+4%,

2_____

??._l+1l+4a〃

.斯>U,??a〃+i----------------->1,

2

又｛〃〃｝是遞增數(shù)列，an+\>an,

/.上^-1+4見>〃“,化簡可得曷-2a〃v0,

2

解得0v斯<2,??.m的取值范圍是(0,2).

'??！?忌+1-a"+i=a”+i(a〃+i-1)，

等式兩邊取倒數(shù)可得上=———1-----=—!-------,

anan+\(斯+i-l)an+\―\an+\

?.?1一/I?1,

。〃+1—1ClnQ”+l

(一］)〃+lii

當(dāng)G2時(shí)，b?=~~--=(-i

an—1an_\an

j1

，bi+歷+63+…+岳022=----------(~~~I-~-)+(~+-)—???一(--—|---)=---

a\—\a\。2。2。3U202142022一1a\020222ai022

91

一,

242022

91

=

,:~<^2022V2,.*./?1+62+^3+,,,+^2022-------------￡(—6,—5),.?.%=-6.

2Q2022

［參考答案］(0,2)-6

17.[命題立意]考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

[試題解析](l)/(x)=(sinx+yJicosx)(cosx—yfisinx)=_2sinxcosx+^/3cos2x—1\/3sin2x=—sin2x+3cos2x=

2sin(2x+^y-)>

4----+2Z：n^2x+——-+2Z;n,%CZ,

232

解得一Z_l+AnWxW—三+*rt,kGZ,(3分)

1212

所以7(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為%n—普，kGZ.

令k=l,得/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［箸，若］,

所以函數(shù)兀0在區(qū)間［0,TT］上的單調(diào)遞增區(qū)間為［言，臂］.(5分)

(2)因?yàn)?/(xo)=：,所以sin(2xo+?)='

又xoG［O,-y］,且sin(2xo+號(hào))>0,

所以2%()+生6[41,n),

33

則cos(2x0+—)=-^>(7分)

duc[2n、2n-?2n2n..2n.2TT)+x

所以cos2x()=cos[r(2xo+--y]n=cos(z2x()+)cos-^—十sin(2x()+)sin-^-il2

5

4+33(10分)

10

18.［命題立意］考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］(1)若選擇條件①.

當(dāng)〃=1時(shí)，3"=27i+3=2bi+3,解得"=3:

當(dāng)〃》2時(shí)，3b?=2T?+3,36_1=2刀一i+3,

兩式作差得3d一3d_i=2〃”即bn=3b“_i,

所以數(shù)列出“｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以.=3?3L1=3”.(4分)

若選擇條件②.

由472=73+3力，得46|+462=6+兒+63+3從，即&=3岳，

又?jǐn)?shù)列｛兒｝為等比數(shù)列，所以公比4=3,

因?yàn)榧?3,所以因=3-3"-1=3".(4分)

(2)證明：由⑴得宜=3",所以&=竺*=(2〃-1)?(1尸,

bn3"3

所以M,=1x(+3X(1)2+5X(1)3H----F(2〃-3)?($"-1+(2〃-1)?($”,

234

則^Mn=1X(1)+3X(1)+5X(1)+???+(2?-3)?(?'+(2〃-(7分)

=,,+1

兩式相減，得^Mn1xg+2Xg>+2X($3+…+2<$"—(2〃-1),(^)

,2X(1)2X[1-(1)

1+一一二

----------(2?-1)-(-)"+|

31-1

=|一($"一(2〃-

71

=j-(2n+2)-(1)n+l,(11分)

所以M.=l-(n+l)-(1)H,

又“WN*,

所以M,=l—恒成立.（12分）

19.［命題立意］考查獨(dú)立事件，離散型隨機(jī)變量的期望；考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］（1）記事件/=”此批零件檢測(cè)未通過，恰好檢測(cè)5次”，則前4次有1次檢測(cè)未通過，第5次檢測(cè)

未通過,故P（Z）=C1X0.1=0.93X0.1=0.02916,

即恰好檢測(cè)5次且檢測(cè)未通過的概率為0.02916.（4分）

（2）由題意可得，一件合格零件的利潤為70元，一件不合格零件修復(fù)合格后利潤為50元，一件不合格零件修復(fù)

后不合格的利潤為一90元，（6分）

設(shè)每件零件可獲利X元，

則X的可能取值為70,50,一90,

故P(X=70)=p,P(X=50)=0.6(1—p),

P(X=-90)=0.4(l-p),(9分)

則E(X)=702+50X0.6(1—p)—90X0.4(1—p)=76。-6,

所以76口一6260,解得—，

即每件零件為合格零件的概率p的最小值為至.（12分）

38

20.［命題立意］考查向量法證明空間位置關(guān)系，平面與平面所成的角，錐體體積；考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

核心素養(yǎng).

［試題解析］因?yàn)閭?cè)面AA\B\B為正方形，

所以A\B\//AB,

因?yàn)锽F上4Bi,所以BFLAB,

又BBiCBF=B,BB\,BFU平面BBCiC,

所以平面881clC,

所以84,BC,BBi兩兩垂直.

以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,8與所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,0),A(2,0,0),￡(1,1,0),F(0,2,1),

設(shè)D{a,0,2)(0WaW2).(3分)

(I)證明：因?yàn)槌?(0,2,1),DE=(\-a,1,-2),

所以而?5^=0X(l-a)+2Xl+lX(-2)=0,

所以BF1.DE.(5分)

(2)易知序■=(一1,1,1),DE=(\-a,1,-2),BA=(2,0,0).

設(shè)平面OFE的法向量為"，=(x,y,z),

mEF=0,—x+y+z=0,

則’即,

mDE=0,I(1一。)x+y-2z=0,

令z=2—a,則"，=(3,1+a,2—a).

易知平面881GC的一個(gè)法向量為瓦1=（2,0,0）,（8分）

設(shè)平面881cle與平面OE尸所成的二面角的平面角為仇

e尸包=―63

則|cos

Mil扇|2a2—24+14,\/2a2—2tz+14

當(dāng)a=」時(shí),2/—2a+14取得最小值，最小值為二,

22

3&

此時(shí)|cos團(tuán)取得最大值，最大值為、^=苧，(10分)

所以?n^)min=^yI-(手)2=害，此時(shí)81。=；,

所以三棱錐E8。夕的體積P=lx(lx2X1)Xl=1.(12分)

3226

21.［命題立意］考查含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］(1)因?yàn)?(x)=e，-ax—In2,

所以外)的定義域?yàn)镽,f(x)=e~a.

當(dāng)aWO時(shí)，，(x)>0恒成立，所以兀0在R上單調(diào)遞增；(2分)

當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)>0,得x>lna,令/(x)<0,得x<lna,

所以外)在區(qū)間(-8,［na)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在區(qū)間(-8,in。)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(Ina,十

8)上單調(diào)遞增.(4分)

(2)由已知得鼠》)=3—2r—cosx,xW(一-—,+°°),則g〈x)=e，+sinx—2.

當(dāng)xC(一；,0)時(shí)，因?yàn)間(x)=e-l)+(sinx-l)<0,所以g(x)在區(qū)間(一女,0)上單調(diào)遞減，

所以g(x)>g(O)=O，

所以g(x)在區(qū)間(一1■,0)上無零點(diǎn)；(6分)

當(dāng)日。，爭時(shí)，因?yàn)間，(x)單調(diào)遞增，且gW=7<。，g'弓尸需7>。，

所以存在x°G(0,y),使g'(xo)=O,

當(dāng)xG［0,xo)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)xC(xo,時(shí)，g'(》)>0，

所以g(x)在區(qū)間［0,xo)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(xo，］］上單調(diào)遞增，且鼠0)=0,所以g(xo)<0,

n_n_

又因?yàn)間(—)=e2—n>0,

所以g(xo),g(5)<°，

所以g(x)在區(qū)間(xo,；)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以g(x)在區(qū)間［0,上有兩個(gè)零點(diǎn)；(9分)

當(dāng)日方+叼時(shí)，g，(x)=e'+sinL2>e：-3>。，所以g(x)在區(qū)間母，+")上單調(diào)遞增，

因?yàn)樗詆(X)在區(qū)間(；，+8)上無零點(diǎn)―

綜上所述，g(x)在區(qū)間(一+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(12分)

22.［命題立意］考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的參數(shù)范圍問題；考查數(shù)據(jù)分析、邏輯

推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］⑴由題意,得。=4,4+^=1-

ba1

解得。2=8,左=4,

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為迷=1.(3分)

84

(2)易知四邊形尸181B&為正方形，P(—4,0),

所以直線/的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為y=A(x+4),M(xi，y\),Ng/)，線段腦V的中點(diǎn)G(xo,/),如圖，(5分)

y

184

得(1+2%2)/+1642%+32左2-8=0,①

由/=(16k2)2-4(1+2公)(32尼-8)>0,

解得一也<左<也.②

22

因?yàn)閄”也是方程①的兩根，所以xi+x2=一一呸;，所以xo=2±逑=一一^―,yo=A（xo+4）=^^.（8分）

1+2公21+2廬1+2右

因?yàn)閄0=一甯pWO,所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊,

又直線QB，的方程分別為y=x+2,y^-x-2,

“oWxo+2,

所以點(diǎn)G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

yo》—xo—2,

,4kw?2

1+2公、1+2小

2爐+2左一1<0,

即4k、8--即,

--------3------------212公一2IW0,

11+2F1+2廬

解得-也二Iwk捶二此時(shí)②也成立，

22

故直線/的斜率的取值范圍為［一爭.（12分）

?重點(diǎn)中學(xué)、教育強(qiáng)區(qū)摸底定位信息卷（二）

命題依據(jù)：本試卷注重對(duì)學(xué)科知識(shí)的考查，充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

試題難度：試卷各個(gè)題的難易比較平和，以教材為基準(zhǔn)，基本覆蓋了所學(xué)知識(shí).試卷不僅有基礎(chǔ)題，也有一定

的靈活性題目，能考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，體現(xiàn)了新課標(biāo)的新理念.

試題亮點(diǎn)：（1）貼近教材，試卷大部分題目體現(xiàn)教材的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本方法，只做簡單的變形，坡度

不大，切合多數(shù)學(xué)生實(shí)際.（2）重視數(shù)學(xué)文化，呈現(xiàn)創(chuàng)新元素.試卷具有情境創(chuàng)新、情境多樣、思維靈活的特點(diǎn)，既

考查了學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能，又考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力，例如第4題、6題、15題.（3）精選遼寧省實(shí)臉中學(xué)、

大連市第二十四中學(xué)、東北育才學(xué)校、本溪市高級(jí)中學(xué)等名校的最新模擬試題，為試卷注入了新的活力.

試題詳解

1.B［命題立意］考查集合的并集運(yùn)算；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］由題意得A={0,2},B={-1,0,1},則AUB={-1,0,1,2}.故選B.

2.A［命題立意］考查充分條件與必要條件，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

［試題解析］由f（x）=|/og2（X+1）1—1>1,得X>3或一1<X<—3,

4

-i

因?yàn)椋?,+8）是（一1,一$U（3,+8）的真子集，

4

所以"x>3”是"f（x）>1”的充分不必要條件.故選力.

3.D［命題立意］考查函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)的單調(diào)性解不等式；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以‘+'（f）<0等價(jià)于小、0.

2xx

又出x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以Rx)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減.

,f(x)［x>0,lx<0,

由L^<0,得?或v,

x［f(x)<0［f(x)>0,

F(x)+f

又出4)=0,所以0〈x<4或xV-4,即不等式、/丁、—LV0的解集是(一8,-4)U(0,4).故選D

2x

4.(創(chuàng)新題)D［命題立意］考查弧長、扇形面積和柱體體積的計(jì)算；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R,弧BC所在圓的半徑為r,

由弧AD長度是弧BC長度的3倍，得R=3r,

則CD=R—r=2r=2,所以r=l,R=3.

故該曲池的體積為丫=彳*(1<2—^)X3=6〃.故選D.

5.C［命題立意］考查向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算：考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］在^ABC中，AB=4,AC=43，BC=8,

.-.AB2+AC2=BC2,

.-.AB±AC,ZABC=60°,ZACB=30°.

由題意得的=-2手,

AAP-^=(^+CP)(AB+BQ)=ACAB+ACBQ+CPAB+CPBQ=0+|AC||-2CP|cos30°+|CP||AB|co5

60°+|CP||-2CP|CO5180°=4A/3X2|CP|X^+|CP|X4xi-2|CP|2=-2|CP|2+14|CP|=-2(|CP|-|)2+y,又

->,~?7-?-*-4Q

0W|CP|W4,???當(dāng)|CP|=:時(shí)，AP-AQ取得最大值，最大值是彳.故選C

6.(創(chuàng)新題)。［命題立意］考查三角函數(shù)的化簡求值；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］如圖所示，由圖中小正方形的面積Si與大正方形的面積S2之比為1：25,可得DC=5EH,

因?yàn)镃E=DCs勿a,DE=DCcosa=CE—EH=DCs"?a--DC,所以a—cosa=-,

55

平方得1—acosa=—,即2s加acosa=—,

2525

49

所以⑸〃a+cosa)2=1+2sinacosa=一,

25

因?yàn)閍￡(0,-y),所以s山a+cosa=1,

缶，'，?/.77.n電.,、7S認(rèn)、生「

所以sin(a-\----)=sinacos----卜cosasin-=Sna十cosa)=-J.故選C.

444210

7.C［命題立意］考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］因?yàn)閿?shù)列｛an｝為等差數(shù)列，

故S=n(ai+aQ,則壇二包土包，

2n2

Sn-l_ai+an-l

當(dāng)n?2時(shí),

n—12

njjSnSn-1_ai+an3|4_an-1_3n-3n-I

nn-1-22-2'

所以數(shù)列｛1｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.

n

所以配一*=2d=2,所以d=l,又&=ai=-2022,

1081

所以生=—2022+(n—l)=-2023+n,

n

所以&￡盤=-2023+2022=—1,即$2。22=—2022做選C.

2022

8.C［命題立意］考查函數(shù)的對(duì)稱性，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］函數(shù)g(x)=2—4ae/〃(2—x)與函數(shù)y=4ae//?x的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，

函數(shù)f(x)=3+2ax勿x的圖象上存在點(diǎn)M,函數(shù)g(x)=2—4ae加(2—x)的圖象上存在點(diǎn)N,使得M,N關(guān)于點(diǎn)(1,

1)對(duì)稱，則方程3+2ax/〃x=4aelnx有解，

顯然aHO,所以問題轉(zhuǎn)化為(x-2e)/x=一2有解，

2a

設(shè)h(x)=(x—2e)歷x(x>0),

則h，(x)=/〃x+l—區(qū)為單調(diào)遞增函數(shù)，且h，(e)=O,

X

所以h(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞增，且當(dāng)xf+8時(shí)，h(x)->+°0,

所以----2h(e)=-e,解得a<0或a2一，

2a2e

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,0)U［—,+8).故選c

2e

9.ACD［命題立意］考查正態(tài)曲線，正態(tài)曲線的性質(zhì)；考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)于選項(xiàng)/，B,由圖象可知，甲同學(xué)的圖象關(guān)于直線x=75對(duì)稱，乙同學(xué)的圖象關(guān)于直線x=85對(duì)

稱，所以甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，故選項(xiàng)4正確，選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)榧淄瑢W(xué)的圖象比乙同學(xué)的圖象更“瘦高”，所以甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)的成績更集中于平均

值左右，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，若6=5,則甲同學(xué)的成績高于80分的概率約為匕絲絲2七0.1587,故選項(xiàng)。正確.故選ZCD

2

10.CD［命題立意］考查橢圓的性質(zhì)和焦點(diǎn)三角形；考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)于選項(xiàng)/,由題意得a?=6,b2=l.所以c?=6—1=5,故焦距為2c=23，故選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)8,當(dāng)Q為MN的中點(diǎn)時(shí)，由中點(diǎn)弦的斜率公式得kMN=一學(xué)=一」7=一馬故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

ayQ6X-3

4

對(duì)于選項(xiàng)C,橢圓的離心率為e=￡=^=泡，故選項(xiàng)C正確；

aA/66

對(duì)于選項(xiàng)若NF|PF2=90°,

nifPFi|+|PF2|=2班,

則?

222

|PF1|+|PF2|=|F1F2|,

J|PF1|+|PF2|=2

I(|PF1|+|PF|)22

2-2|PFI||PF2|=|FIF2|,

代入數(shù)據(jù)得|PFI||PF2|=2,

所以△F1PF2的面積為S=1|PFI||PF2|=1,故選項(xiàng)。正確.故選CD

11.ABD［命題立意］考查余弦型函數(shù)的.調(diào)性、對(duì)稱性、周邛和值域；考查邏輯.理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］對(duì)于選項(xiàng)/,因?yàn)閒(x+〃)=Nl+cOS(x+〃)+~\j\—COS(x+77)=\j\—COSX+\j\+cOSX=f(x),

所以〃為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，故選項(xiàng)/正確：_____________________________

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閒(77—X)=yjl+cos(77—X)+^l—COS(77—X)\~COSX+\j\+cOSX=f(x),所以函數(shù)

f(x)的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱，故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閒i［x)=dl+cosx+3一cosx=、12cos卷+2si吟,且xG［0,-y］,所以je［O,?。?f(x)

=也加|+也喈=2s峭+彳)，又,y］,故f(x)=2s嘴+彳)在區(qū)間［0,金上為增函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)

沃；

對(duì)于選項(xiàng)。，由選項(xiàng)48可知，求XC［O,3時(shí)f(x)的值域即可，又f(x)=2s嘴+孑)在區(qū)間［0,T上為增函

數(shù),所以f(x)的值域?yàn)椋?，2］,故選項(xiàng)。正確.故選A8D

12.ABC［命題立意］考查異面直線的判定，空間點(diǎn)到平面的距離，多面體的外接球，錐體體積：考查直觀想

象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

［試題解析］如圖，在DG上取兩點(diǎn)H,I,使得DH=HI=IG=1,連接AH,HF,EI,

G,

對(duì)于選項(xiàng)/,因?yàn)镈H〃CF且DH=CF,所以四邊形DHFC為平行四邊形，所以HF〃DC且HF=DC,

又DC〃AB且DC=AB,所以HF〃AB且HF=AB,

所以四邊形AHFB為平行四邊形，所以AH〃BF,同理可得AEIH為平行四邊形，所以EI〃AH,所以EI〃BF,

而EGCEI=E,則EG與BF不平行，

因?yàn)锽FQ平面ADGE,AHU平面ADGE,所以BF〃平面ADGE,所以BF與EG為異面直線，故選項(xiàng)/正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,由底面ABCD為正方形，得AB_LAD,

因?yàn)锳E_L平面ABCD,ABU平面ABCD,所以AE_LAB,

又AEAAD=A,AE,ADU平面ADGE,所以AB平面ADGE,由AE〃CF,得CF_L平面ABCD,

同理可證BC_L平面CFGD,

所以幾何體ABCDGEF的體積為VBADGE+VBCFGD=〈S電邊.ADGE?AB+gs四邊彩CFGD?BC=；X1X3x3+

ii-i-i

上乂三口乂3義3=12,故選項(xiàng)8正確；

32

對(duì)于選項(xiàng)C,取BG的中點(diǎn)K,連接DK,CK,由上可知△BDG,Z\CBG均是以BG為斜邊的直角三角形，

所以DK=CK=BK=KG=1BG，