2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（人教版） 二次函數(shù)與三角形存在性問題（強(qiáng)化）（原卷版）

二次函數(shù)與三角形存在性問題【例題精講】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接，，，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）求四邊形的面積；（3）是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作上軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若，求的面積；（3）拋物線上存在一點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【題組訓(xùn)練】1．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示），，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證明與的面積相等；（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請(qǐng)求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

3．如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求拋物線及直線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．求線段的最大值；（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)為直線下方拋物線上任意一點(diǎn)，連接，，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

5．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)你直接寫出的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

6．如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將直線向下移動(dòng)個(gè)單位，若直線與拋物線有交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）直線分別交直線和拋物線于點(diǎn)，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的值．

7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且的面積為6．（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）如果點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．

8．如圖，直線和拋物線都經(jīng)過和兩點(diǎn)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）．（1）求直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求四邊形的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

9．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、、，點(diǎn)為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)在第四象限，連接、及，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？（3）是否存在點(diǎn)，使為以為直角邊的直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，其中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接、，，若，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，為射線上一點(diǎn)，作直線于點(diǎn)，連接，，，若為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．

11．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）將拋物線關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線記作，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)若是以為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

13．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，連接，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與、重合），過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接、、、，當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，在軸上，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

14．將拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線，的解析式；（2）如圖（1），點(diǎn)在拋物線（對(duì)稱軸右側(cè)）上，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），直線，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．

15．已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，若點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)；①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含的式子表示出的長，并求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，說明理由；（3）點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，直接寫出使為等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)．

16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，是常數(shù)，與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．（1）填空：（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到軸的最大距離為5，求的值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

17．如圖，拋物線的圖象過點(diǎn)、、．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

18．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)（不與、重合），軸，且交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，使得為直角三角形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

19．如圖，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)的面積為，試判斷有最大值或最小值嗎？若有，求出其最值，若沒有，請(qǐng)說明理由；（3）在上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

20．如圖，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)在軸上有一動(dòng)點(diǎn)（其中為實(shí)數(shù)，，過動(dòng)點(diǎn)作直線軸，交拋物線于點(diǎn)．（1）求拋物線解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，在直線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，使得是以為底角的等腰三角形，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由