2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版） 二次函數(shù)與線段最值（強化）（解析版）

二次函數(shù)與線段最值【例題精講】如圖二次函數(shù)圖象與軸交于點、與軸交于點拋物線的頂點坐標(biāo)是且經(jīng)過點．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得最短？若存在求點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由；（3）連接、、求四邊形的面積．【解答】解：（1）拋物線的頂點坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為拋物線經(jīng)過點解得拋物線的函數(shù)解析式為；（2）存在求解過程如下：二次函數(shù)的對稱軸為直線當(dāng)時有解得或點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為由對稱性得：則由兩點之間線段最短可知當(dāng)點在一條直線上時最短設(shè)直線的函數(shù)解析式為把代入得：解得取則；（3）由（1）得如圖過點作平行軸交于點設(shè)的解析式為把點和代入得：解得：取則解得四邊形的面積為30．如圖拋物線與軸交于、兩點與軸交于點且．（1）求拋物線的解析式；（2）若點是拋物線上一點那么在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得的周長最?。咳舸嬖谡埱蟪鳇c的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）把點分別代入得：．解得．拋物線的解析式為；（2）連接交對稱軸于點則為所求的點設(shè)直線的解析式為．．解得．直線的解析式為．對稱軸為直線：．當(dāng)時．點的坐標(biāo)為．【題組訓(xùn)練】2．如圖二次函數(shù)的圖象過點和與軸交于點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若在該二次函數(shù)的對稱軸上有一點使的長度最短求出的坐標(biāo)．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象過點解得二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）拋物線的對稱軸是直線與軸交點點關(guān)于直線的對稱點是與對稱軸的交點即為點使的長度最短如圖：設(shè)直線的解析式為將代入得：解得直線的解析式為當(dāng)時；3．如圖已知點的坐標(biāo)為直線與軸軸分別交于點和點連接頂點為的拋物線過三點．（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；（2）動點在拋物線對稱軸上當(dāng)最短時求點坐標(biāo)；【解答】解：（1）直線與軸軸分別交于點和點拋物線經(jīng)過點拋物線的解析式為把代入得到拋物線的解析式為即頂點坐標(biāo)．（2）如圖1中連接交對稱軸于此時的值最小直線的解析式為對稱軸．4．如圖頂點為的拋物線與軸交于點與軸交于、兩點．（1）求拋物線解析式及、兩點坐標(biāo)；（2）在拋物線對稱軸上有一點使到、兩點的距離和最短求點坐標(biāo)；【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為：拋物線頂點為拋物線解析式為：拋物線與軸交于點；當(dāng)時即：解得：；（2）拋物線頂點為對稱軸是直線點、關(guān)于對稱軸對稱連接交對稱軸與點就是到、兩點的距離和最短的點設(shè)直線解析式為解得：當(dāng)時點坐標(biāo)為；5．如圖拋物線與軸交于點和點與軸交于點頂點為連接．（1）求拋物線的表達式；（2）點是拋物線的對稱軸上一點使得最短求點的坐標(biāo)；（3）點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點連接．當(dāng)最大時求點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線過點和點解得：拋物線解析式為：；（2）拋物線的對稱軸為當(dāng)時即由對稱性可知則由兩點之間線段最短可知點即為所求設(shè)直線的解析式為將點代入得：解得則直線的解析式為當(dāng)時最短時點的坐標(biāo)為；（3）如圖：連接設(shè)點的坐標(biāo)點可得關(guān)于的二次函數(shù)利用二次函數(shù)的最值求解即可得．時最大故當(dāng)最大時點的坐標(biāo)為．6．如圖二次函數(shù)圖象與軸交于點、與軸交于點拋物線的頂點坐標(biāo)是且經(jīng)過．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得最短？若存在求出的坐標(biāo)．若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線的頂點坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為拋物線經(jīng)過點解得拋物線的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時有解得或當(dāng)時有的面積；（3）存在理由如下：二次函數(shù)的對稱軸為直線點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為由對稱性得：則由兩點之間線段最短可知當(dāng)點在一條直線上時最短設(shè)直線的函數(shù)解析式為把代入得解得取則．7．如圖拋物線與軸交于、兩點于軸交于點頂點為．（1）求該拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；（2）請計算以、、、為頂點的四邊形的面積；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點使得點到、兩點的距離之和最短若存在請直接寫出點坐標(biāo)若不存在請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為將點、、的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：解得故拋物線的表達式為拋物線的對稱軸為當(dāng)時故點的坐標(biāo)為；（2）由點、、的坐標(biāo)知則則為直角三角形四邊形的面積；（3）存在理由：作點關(guān)于軸的對稱點連接交軸于點則點為所求點設(shè)直線的表達式為則解得故直線的表達式為令解得故點的坐標(biāo)為．8．已知拋物線與軸相交于點（點在點右邊）與軸相交于點該拋物線的頂點為且經(jīng)過點．（1）求該拋物線的解析式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點使得最短？若點存在求出點的坐標(biāo)；若點不存在請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：由于拋物線經(jīng)過點所以解得．所以即（2）當(dāng)時即解得：所以點點當(dāng)時所以點所以所以的面積為3；（3）在軸上存在一點使得最短．點．關(guān)于軸的對稱點連接交軸于點點是滿足條件的點．設(shè)直線的解析式為所以解得所以當(dāng)時所以所以點9．如圖拋物線經(jīng)過、、三點．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在拋物線上存在一點使的面積為8請求出點的坐標(biāo)．（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得最短？若點存在求出點的坐標(biāo)；若點不存在請說明理由．【解答】解：（1）二次函數(shù)過點、、解得二次函數(shù)的解析式為；（2）設(shè)的高為的面積為8解得：當(dāng)時解得：；當(dāng)時解得：即點的坐標(biāo)為或或；（3）存在理由是：即拋物線的對稱軸是直線作點關(guān)于直線的對稱點正好在拋物線上）連接交直線與此時最短點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為把、的坐標(biāo)代入得：解得：即直線的解析式為把代入得：即點的坐標(biāo)是．10．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）該拋物線與軸交于點頂點為求兩點的坐標(biāo)；（3）軸上是否存在一點使得最短？若點存在求出點的坐標(biāo)；若點不存在請說明理由．【解答】解：（1）把點代入得：解得：或（不合題意舍去）二次函數(shù)的解析式為；（2）令得點坐標(biāo)為．將配方得：點坐標(biāo)為．（3）存在；點的坐標(biāo)為．理由如下：由兩點之間線段最短知當(dāng)三點共線時最短．設(shè)直線的解析式為根據(jù)題意得：解得：直線的解析式為：當(dāng)時點的坐標(biāo)為．11．如圖已知二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于點和其頂點為．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若該二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點為求的面積；（3）請判斷：在該函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點使得的周長最短．若存在請求出點的坐標(biāo)若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點和解得拋物線解析式為；（2）當(dāng)時解得則拋物線點坐標(biāo)為而；（3）存在．連接交直線于點如圖由對稱性知此時的值最小的周長最短易得直線的解析式為當(dāng)時點坐標(biāo)．13．如圖已知拋物線的對稱軸為直線．拋物線與軸相交于兩點點在點的左側(cè)點為拋物線與軸的交點．（1）求和的值；（2）在拋物線的對稱軸上存在一點使最短請求出點的坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在一點使的面積等于的面積的4倍？若存在．求出點所有的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線解得把代入得：；（2）由（1）知拋物線為令則解得或連接交直線于如圖：關(guān)于直線的對稱點是而、、共線故此時最小最小值為的長度設(shè)直線為將代入得：解得直線為令得；（3）存在點使的面積等于的面積的4倍如圖：設(shè)的面積等于的面積的4倍即當(dāng)時解得或或當(dāng)時解得綜上所述點的坐標(biāo)為或或．14．如圖已知拋物線的圖象與軸交于和與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點使得的周長最小請求出點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將、代入拋物線的解析式得：解得：該拋物線的解析式為；（2）由（1）知拋物線的對稱軸為直線點連接交直線于如圖則此時的值最小的周長最?。O(shè)直線的解析式為把代入得解得．直線的解析式為．當(dāng)時此時點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為時的周長最?。?5．如圖拋物線與軸交于兩點與軸交于點且．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點是拋物線上一點那么在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得的周長最短？若存在求點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）將點與代入；（2）函數(shù)的對稱軸為關(guān)于對稱軸的對稱點為連接與對稱軸交于點即為所求點；易求直線的解析式為當(dāng)時的周長最短；16．如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）若該二次函數(shù)圖象與軸交于、兩點求的面積；（3）若點在二次函數(shù)圖象的對稱軸上當(dāng)周長最短時求點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把代入得解得拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時解得、點的坐標(biāo)為而的面積；（3）拋物線的對稱軸為直線作點關(guān)于直線的對稱點連接交直線于則此時的值最小則周長最短設(shè)直線的解析式為把代入得解得直線的解析式為當(dāng)時．17．如圖拋物線與軸交于、兩點與軸交于點連接和．（1）求拋物線的解析式；（直接寫出解析式不寫過程）（2）點在拋物線的對稱軸上當(dāng)?shù)闹荛L最小時點的坐標(biāo)為．【解答】解：（1）將代入得解得：拋物線得解析式為：．（2）在中對稱軸為直線點與點關(guān)于對稱軸對稱如圖1可設(shè)交對稱軸于點由兩點之間線段最短可知此時有最小值而的長度是定值故此時的周長取最小值在中當(dāng)時點的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為將點代入得直線的解析式為當(dāng)時點的坐標(biāo)為；故答案為：．18．如圖拋物線的頂點坐標(biāo)交軸于、兩點與軸交于若拋物線上有一點．（1）求拋物線的解析式；（2）在對稱軸上有一點連結(jié)、、求周長最短時點的坐標(biāo)；（3）求點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為將點代入得：解得拋物線表達式為：即；（2）如圖1點、關(guān)于拋物線對稱軸對稱取直線與對稱軸的交點為點時周長的最小拋物線的解析式為當(dāng)時解得：或設(shè)直線的解析式為直線的解析式為拋物線的對稱軸為當(dāng)時；②如圖2過作交于點作軸于點設(shè)直線的解析式為直線的解析式為聯(lián)立解得（舍去）或．19．如圖拋物線與軸交于兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）求出拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；（3）若拋物線交軸于點在該拋物線的對稱軸上是否存在點使得的周長最小？若存在求出點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）將代入得：解得則該拋物線的解析式為：；（2）拋物線的對稱軸是直線頂點坐標(biāo)是；（3）存在理由：如圖1點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點設(shè)直線的解析式為：將點、