微分與差分模型簡(jiǎn)介課件

微分與差分方程模型簡(jiǎn)介微分與差分方程模型簡(jiǎn)介1常微分與常差分方程的定義種群動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)介流行病動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)介模型性態(tài)分析方法簡(jiǎn)介常微分與常差分方程的定義2一.常微分與常差分方程的定義1.導(dǎo)數(shù)的定義及其意義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某域內(nèi)有定義,則稱極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度,是刻畫函數(shù)變化率的一個(gè)重要數(shù)學(xué)量.任意一個(gè)涉及到兩個(gè)變量之間變化率的實(shí)際問(wèn)題均可考慮建立微分方程模型來(lái)進(jìn)行討論.如速率,出生率,死亡率等.一.常微分與常差分方程的定義1.導(dǎo)數(shù)的定義及其意義設(shè)函數(shù)在32.常微分方程定義凡含有未知函數(shù),未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程,叫做微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的叫常微分方程,未知函數(shù)是多元函數(shù)的叫偏微分方程.微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階.n階微分方程形如特別地,一階微分方程為需要注意:n階微分方程的通解含有n個(gè)任意常數(shù).若需確定這n個(gè)任意常數(shù),需給出n個(gè)初始條件.但并非每個(gè)微分方程或方程組均可求出其解.2.常微分方程定義凡含有未知函數(shù),未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量43.差分與差分方程定義3.1設(shè)函數(shù)y=f(x),記為yx.當(dāng)x取遍非負(fù)整數(shù)時(shí),所得函數(shù)值可排成一數(shù)列:則差稱為函數(shù)有y=f(x)的一階差分,記為3.差分與差分方程則差稱為函數(shù)有y=f(x)的一階差分,記5類似地,可定義二階以上的差分.定義3.2含有未知函數(shù)差分或表示未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期的符號(hào)的方程稱為差分方程.差分方程中未知函數(shù)的最大值與最小值之差稱為差分方程的階.例如定義3.3如果一個(gè)函數(shù)帶入差分方程后,方程兩邊相等,則稱此函數(shù)為差分方程的解.類似地,可定義二階以上的差分.定義3.3如果一個(gè)函數(shù)帶入6類似于常系數(shù)線性齊次常微分方程的通解的構(gòu)造,我們只需找到該差分方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,作出其線性組合即可.類似于常系數(shù)線性齊次常微分方程的通解的構(gòu)造,我們只需找到該差7常見的一階差分方程設(shè)f是由區(qū)間[a,b]到其自身的一個(gè)連續(xù)映射,一階自治差分方程的一般形式為給定初值,通過(guò)上式反復(fù)迭代上述方程的解為一數(shù)列常見的一階差分方程給定初值,通過(guò)上式反復(fù)迭代上述方程的解為一8二.種群動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)介

種群動(dòng)力學(xué)是用動(dòng)力學(xué)的方法去研究種群生態(tài)學(xué),而種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)的一個(gè)重要分支,也是迄今為止數(shù)學(xué)在生態(tài)中應(yīng)用的最廣泛深入,發(fā)展的最為系統(tǒng)和成熟的分支.下面將通過(guò)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中的一些基本動(dòng)力學(xué)模型,簡(jiǎn)要介紹建模思想,及常用的研究方法.生態(tài)學(xué)是研究生物的生存條件,生物群與環(huán)境之間相互作用的過(guò)程及其規(guī)律的科學(xué).在一特定時(shí)間內(nèi)占據(jù)一定空間的同一物種的集合成為一個(gè)種群,種群的每個(gè)成員成為一個(gè)個(gè)體.種群生態(tài)學(xué)的著眼點(diǎn)在整個(gè)種群的演變規(guī)律和發(fā)展趨勢(shì),而往往忽略個(gè)體的特性.

二.種群動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)介種群動(dòng)力學(xué)是用動(dòng)力學(xué)的方法去研9種群生態(tài)學(xué)研究的主要問(wèn)題有兩個(gè):(1)種群隨時(shí)間的變化規(guī)律.隨著時(shí)間的推移,種群是持續(xù)生存還是絕滅,種群規(guī)模是否具有平衡態(tài),有幾個(gè),是靜平衡還是動(dòng)平衡等等.(2)如何對(duì)可再生資源進(jìn)行開發(fā)利用才能既保持生態(tài)平衡,又獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益.(1)單種群模型1.Malthus人口模型X(t)表t時(shí)刻人口數(shù),模型表為t時(shí)刻種群的變化率是與種群數(shù)目成正比.r為內(nèi)稟增長(zhǎng)率,是種群的出生率b與死亡率d之差.種群生態(tài)學(xué)研究的主要問(wèn)題有兩個(gè):(1)單種群模型X(t)表t10方程的解為Malthus模型當(dāng)t不很長(zhǎng)時(shí)是比較符合實(shí)際的,但當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)x(t)將無(wú)限增長(zhǎng)是與實(shí)際不符的.問(wèn)題在于建立數(shù)學(xué)模型時(shí)沒(méi)有考慮到有限的資源對(duì)種群規(guī)模增長(zhǎng)的制約作用.2.Logistic模型K>0為環(huán)境容納量.它表示保持種群規(guī)模增長(zhǎng),環(huán)境所能容納的最大種群規(guī)模.種群規(guī)模的相對(duì)增長(zhǎng)率與當(dāng)時(shí)所剩余的資源份量(1-x/K)成正比.方程的解為Malthus模型當(dāng)t不很長(zhǎng)時(shí)是比較符合實(shí)際的,但113.離散的Logistic模型離散模型通常用以描述世代不重疊的種群(蠶).設(shè)第n代種群規(guī)模為xn,則離散的logistic模型為4.具有時(shí)滯的單種群模型

(1)確定時(shí)滯模型是妊娠所需要的時(shí)間.事實(shí)上,t時(shí)刻種群的相對(duì)增長(zhǎng)率取決于時(shí)刻種群的規(guī)模.時(shí)刻增加的個(gè)體,在時(shí)已孕育在母體.3.離散的Logistic模型4.具有時(shí)滯的單種群模型是妊12(2)連續(xù)分布時(shí)滯模型若t時(shí)刻種群規(guī)模的相對(duì)增長(zhǎng)率依賴于t時(shí)刻以前的整個(gè)歷史時(shí)期中種群規(guī)模的發(fā)展,而在不同時(shí)刻又以不同的權(quán)函數(shù)p(u)影響,則有5.具有生理階段結(jié)構(gòu)的單種群模型實(shí)際上,年齡是影響種群規(guī)模的一個(gè)重要指標(biāo).因?yàn)樵诓煌挲g段的生物群體具有不同的生育力和死亡率,涉及年齡的模型有三類:(1)按年齡段劃分為若干階段(幼,成,老),建立常微分方程組模型(2)離散地劃分年齡,建立矩陣代數(shù)方程.(3)考慮年齡連續(xù)分布,建立一階偏微分方程.(2)連續(xù)分布時(shí)滯模型5.具有生理階段結(jié)構(gòu)的單種群模型136.具有離散年齡結(jié)構(gòu)的單種群模型把所討論物種的最大成活年齡區(qū)間分成n個(gè)相等的子區(qū)間,同時(shí)把從t0開始的時(shí)間也按與年齡子區(qū)間相等的長(zhǎng)度加以劃分,在將這兩類子區(qū)間分別從小到達(dá)加以編號(hào),用xij表示在第j個(gè)時(shí)間段內(nèi)年齡位于第i段的種群規(guī)模.假定種群的規(guī)模只決定于時(shí)間和年齡,或略密度制約因素.a.設(shè)pi是年齡處于第i段的個(gè)體能活到i+1段的概率,即b.設(shè)Bi是年齡為i段的每一個(gè)體在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)平均生育的下一代數(shù)量,即6.具有離散年齡結(jié)構(gòu)的單種群模型b.設(shè)Bi是年齡為i段的每一14即此為著名的leslie矩陣模型.即此為著名的leslie矩陣模型.157.具有擴(kuò)散的單種群模型由于環(huán)境容納量的限制或者環(huán)境條件的改變等影響,種群有時(shí)會(huì)在兩個(gè)或多個(gè)棲息地間遷徙.種群規(guī)模(密度)大的斑塊上種群通常向種群規(guī)模(密度)小的斑塊遷徙或擴(kuò)散.現(xiàn)實(shí)世界中種群不可能單獨(dú)生存,它必于相關(guān)種群相互作用,相互依存.這樣,基于單種群模型,各種多種群相互作用模型被建立與討論.7.具有擴(kuò)散的單種群模型現(xiàn)實(shí)世界中種群不可能單獨(dú)生存,它必于16(2)雙種群模型Lotka-volterra模型x,y分別表示兩種群的規(guī)模(密度),系數(shù)b1與c2為非正常數(shù),反映兩種群的密度制約因素.c1與b2反映另一種群對(duì)本種群的影響因素.a1與a2分別為兩種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率.(1)捕食型:c1b2<0,如魚和蝦米.(2)競(jìng)爭(zhēng)型:c1<0,c2<0,每一種群的存在限制另一種群規(guī)模的增長(zhǎng),二者共同競(jìng)爭(zhēng)資源.(3)合作型:c1>0,c2>0,如蜜蜂和花朵,二者相互促進(jìn)對(duì)方的增長(zhǎng).(2)雙種群模型x,y分別表示兩種群的規(guī)模(密度),系數(shù)b117三.流行病動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)介

流行病的傳播規(guī)律和防治對(duì)策的研究是關(guān)系到人類信息和國(guó)計(jì)民生的重大問(wèn)題.近年來(lái),隨著環(huán)境的污染,生態(tài)的破壞及國(guó)際交流的頻繁,使過(guò)去得以控制的某些傳染病再次抬頭蔓延,一些新的傳染病也來(lái)勢(shì)兇猛,這使流行病的研究顯得更為重要和迫切.下面將通過(guò)一些基本模型介紹流行病動(dòng)力學(xué)的建模思想,基本知識(shí)和常用的方法.(1).Kermark-mckendrick的SIR模型(倉(cāng)室)1927SIR三.流行病動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)介流行病的傳播規(guī)律和防治對(duì)策的18把人群分為三類:1.易感者類,指t時(shí)刻尚未感染但有可能感染成為傳染病人者,其數(shù)量記為S(t).2.染病者類,指t時(shí)刻已被傳染成為病人者,其數(shù)量記為I(t).3.移除者類,指t時(shí)刻已恢復(fù)且具有免疫力者以及因病死亡者,其數(shù)量記為R(t).做如下三個(gè)假設(shè):單位時(shí)間內(nèi)每一病人接觸易感者的數(shù)量為,從而在時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)被所有病人傳染的人數(shù)為.單位時(shí)間內(nèi)移出染病者類即恢復(fù)的比例為常數(shù).表示平均病程時(shí)間,在時(shí)間內(nèi)或者病人全部恢復(fù)或因病死亡不考慮人口的流動(dòng)和自然出生和死亡.即環(huán)境封閉,切疾病隨時(shí)間的變化與自然死亡隨時(shí)間的變化要顯著得多.把人群分為三類:19系統(tǒng)性質(zhì)如下:S(t)+I(t)+R(t)=K,K為總?cè)丝?是常數(shù).系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如下系統(tǒng)系統(tǒng)性質(zhì)如下:20時(shí),隨時(shí)間的推移,染病者先將增加達(dá)到最大值而后逐漸減少最終消亡.5.令.當(dāng)R0>1時(shí)疾病流行,R0<1時(shí)疾病不會(huì)流行,染病者單調(diào)減少而趨于零.R0稱為基本再生數(shù).6.為防止疾病的流行,需控制R0<1,即可以加強(qiáng)治療縮短病程,也可以通過(guò)免疫接種使易感者獲得免疫力而直接成為移初者.時(shí),隨時(shí)間的推移,染病者先將增加達(dá)到最大值而后逐漸減少最終消21(2).Kermark-Mckendrick的SIS模型1932假設(shè)恢復(fù)者不具有免疫力而被再次傳染.SI模型為系統(tǒng)性質(zhì)如下:S(t)+I(t)=1,1為總?cè)丝跀?shù).2.系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為(2).Kermark-Mckendrick的SIS模型19223.當(dāng)時(shí),系統(tǒng)有唯一的平衡位置S(t)=1,從任一初值出發(fā)的解S(t)單調(diào)增加趨于1,I(t)單調(diào)減少趨于0,即疾病消失.4.當(dāng)時(shí),系統(tǒng)有兩個(gè)平衡位置S(t)=1(不穩(wěn)定)及S(t)=(漸近穩(wěn)定),從任一初值出發(fā)的解S(t)趨于,而I(t)趨于,即疾病發(fā)展成為地方病.(3)流行病動(dòng)力學(xué)模型的基本形式1.不考慮出生死亡等種群動(dòng)力學(xué)因素SIRSIRSa.3.當(dāng)時(shí),系統(tǒng)有唯一23SISISb.2.考慮出生死亡等種群動(dòng)力學(xué)因素SI3.考慮出生死亡等種群動(dòng)力學(xué)因素及免疫接種.SISIRAbNdSdIdRpSSISISb.2.考慮出生死亡等種群動(dòng)力學(xué)因素SI3.考慮出24類似于前面,由框圖可寫出對(duì)應(yīng)的微分動(dòng)力學(xué)模型.所關(guān)心的問(wèn)題是尋求決定疾病是否流行的閾值,其次是尋求地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性.類似于前面,由框圖可寫出對(duì)應(yīng)的微分動(dòng)力學(xué)模型.所關(guān)心的問(wèn)題是25四.模型性態(tài)分析方法簡(jiǎn)介對(duì)于微分動(dòng)力系統(tǒng)模型,一般有如下討論方法可供參考:1.若系統(tǒng)的解可解出,最好是解出.通過(guò)直接分析解的性質(zhì),得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.MalthusModel,LogisticModel,Kermark-MckendrickModelofSIR.2.大部分系統(tǒng)的解難以求出,可采用定性分析的方法加以討論.二種群或多種群系統(tǒng),具有動(dòng)力學(xué)行為的流行病系統(tǒng).3.借助于Maple,Matlab等數(shù)學(xué)軟件,求出系統(tǒng)的數(shù)值解,作出系統(tǒng)的解曲線,采用定量分析的方法討論系統(tǒng)的性質(zhì).四.模型性態(tài)分析方法簡(jiǎn)介對(duì)于微分動(dòng)力系統(tǒng)模型,一般有如下討論261.一維自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性一維自治系統(tǒng)即是一個(gè)一階微分方程代入方程f(x)=0的實(shí)根x=x0為其平衡點(diǎn)，顯然它也是方程的常數(shù)解（齊解）．設(shè)x0為上述方程的平衡點(diǎn)，若對(duì)x0的任一鄰域U(x0)，存在一個(gè)屬于x0的鄰域U1(x0)，使得方程的每一個(gè)解x=x(t)，當(dāng)x(0)∈U1時(shí)，對(duì)一切t>0，都有x(t)∈U，則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的