解析幾何的20個(gè)微專題(附高考數(shù)學(xué)真題講析)

2020120個(gè)微專題[1]1：直線與方程學(xué)問梳理：直線的傾斜角定義：當(dāng)直線lxx軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.傾斜角的范圍為0,180.直線的斜率：定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，ktan.傾斜角是90的直線，斜率不存在.過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：

y yP(xy

),P(x,y

)x

x時(shí)，k 2 1；1 1 1

2 2 2

1 2 x x2 1當(dāng)x x1

時(shí)，斜率不存在.90的直線的斜率不存在.傾斜角傾斜角斜率0k0090k0，k增大90k不存在90180③可以用斜率來證明三點(diǎn)共線，即假設(shè)kAB

k ABC三點(diǎn)共線.AC名稱方程的形式名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y k(xx)0 0(xy是直線上確定點(diǎn)，k0 0x軸是斜率斜截式y(tǒng)kxbx軸的截距兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式y(tǒng)yy y1 xxx xxy軸1(x,y)(x,y是直線上1 1 2 22121兩定點(diǎn)截距式xy1a bx軸上和不垂直于x軸和yy軸上的非零截距軸，且不過原點(diǎn)一般式AxByC0AB在x軸上的截距 ，C任何直線AB不同時(shí)為0〕A在y軸上的截距為CB留意：①求直線方程的方法主要有兩種：一是直接法，依據(jù)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹倍ㄏ禂?shù)，最終代入求出直線方程.但使用直線方程時(shí)，確定要留意限制條件，以免解題過程中丟解.yx軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).直線與直線位置關(guān)系兩條直線的交點(diǎn)假設(shè)直線l1

：AxB1

yC1

0和l2

：AxB2

yC2

0相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組AxByC 01 AxB

1yC

0的解.2 2 2兩條直線位置關(guān)系的判定利用斜率判定假設(shè)直線l和l1 2

分別有斜截式方程l1

：yk1

xb和l1

：yk2

xb，則2①直線ll1

的等價(jià)條件為k1

k,b2

b.2②直線l與l1

重合的等價(jià)條件為k1

k,b2

b.2③直線l與l1

相交的等價(jià)條件為k1

kl2

l的等價(jià)條件為k k2 1

1.假設(shè)l與l1

斜率都不存在，則l與l1 2

平行或重合.假設(shè)l與l1

中的一條斜率不存在而另一條斜率為0，則l與l1 2

垂直.用直線一般式方程的系數(shù)判定設(shè)直線l1

：AxB1

yC1

0，l2

：AxB2

yC2

0，則①直線ll1

AB1 2

AB2

0且BC1 2

BC2

0.②直線l與l1

AB1 2

AB2

0且BC1 2

BC2

0.③直線l與l1

AB1 2

AB2

0；特別地，l1

l的等價(jià)條件為2AA BB1 2 1

0.AxByC0AxBym0的形式，與AxByC0BxAyn0的形式.用兩直線聯(lián)立的方程組的解的個(gè)數(shù)判定設(shè)直線l1

：AxB1

yC1

0，l2

：AxB2

yC2

0，將這兩條直線的方程聯(lián)立，AxByC 0得方程組 1 1 1 ，假設(shè)方程組有惟一解，則l與l

相交，此解就是l，l交點(diǎn)AxByC 0

1 2 1 22 2 2的坐標(biāo)；假設(shè)方程組無解，此時(shí)l與l1 2

無公共點(diǎn)，則ll1 2

；假設(shè)方程組有很多個(gè)解，則l與l1 2重合.直線系問題設(shè)直線l1

：AxB1

yC1

0和l2

：AxB2

yC 02假設(shè)l與l1

A1

xB1

yC1

(A2

xB2

yC2

)0l與l1 2

的交點(diǎn)的直線系〔不包括l2

〕；假設(shè)ll1

，則上述形式的方程表示與與l2

平行的直線系.過定點(diǎn)(x,y)的旋轉(zhuǎn)直線系方程為yy k(xx)(kR)〔不包括xx 〕；0 0 0 0 0斜率為k 的平行直線系方程為ykxb(bR).0 0注：直線系是具有某一共同性質(zhì)的直線的全體，奇異地使用直線系，可以削減運(yùn)算量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.距離公式與對(duì)稱問題距離公式兩點(diǎn)間的距離公式P(x,y

),P(x,y

)間的距離PP .(x x(x x)2(y2 1 2y)21x2y2特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離x2y2假設(shè)PP//x軸時(shí)，PP xx ；假設(shè)PP//y軸時(shí)，PP yy .1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2點(diǎn)到直線的距離公式P0

(x,y0

)l：AxByC0P0

lAx By Ax By C0 0A2B2P0

(x,y0

)，直線lxaP0

到直線l的距離dx0

a.P0

(x,y0

，直線lybP0

到直線l的距離dy0

b.注：用此公式求解點(diǎn)到直線距離問題時(shí)，直線方程要化成一般式.兩條平行直線間的距離公式兩平行直線l1

：AxB1

yC1

0和l2

：AxB2

yC2

0P0

(x,y)0 0在l上，則兩平行直線l和l1 1

P0

(x,y0

)到直線l2

的距離.兩平行直線l1

：AxByC1

0和l2

：AxByC2

0，則兩直線l和l的1 2C C1 2A2C C1 2A2B2注：用此公式求解兩平行直線間的距離時(shí)，直線方程要化成一般式，并且x,y項(xiàng)的系數(shù)必需對(duì)應(yīng)相等.對(duì)稱問題〔1〕中心對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱P(xy0 0

)A(ab)P(2ax1 0

,2by).0②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱兩點(diǎn)式求出直線的方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用ll1 2

，由點(diǎn)斜式求出直線的方程，或者在所求直線上任取一點(diǎn)(x,y)，求出它關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線，即可得到所求直線的方程.(2〕軸對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱

10 y y10

k1P(xy

ykxbP(xy

,則有

xx1 0 ,由0 0 1 1

y y xx 12

0k

1 0b2x,y.1 1特別地,P(x,y0 0

xaP(2ax,y1 0 0

P(xy0 0

ybP(x1 0

,2by).0②直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線相交，一是直線與對(duì)稱直線平行.直線的傾斜角和斜率兩條直線平行和垂直的判定直線的傾斜角和斜率兩條直線平行和垂直的判定直線的點(diǎn)斜式方程直線的斜截式方程方程之間互化應(yīng)用直線與方程直線的方程直線的兩點(diǎn)式方程直角坐標(biāo)系中畫圖直線的截距式方程直線的一般式方程相交求交點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離兩條直線的位置關(guān)系平行求距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離20專題2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程學(xué)問梳理:⑴.圓的一般方程的概念：當(dāng) 時(shí)，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程。⑵.圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和坐標(biāo)：圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圓的圓心為 半徑長為 .專題3：直線與圓的位置關(guān)系及判定學(xué)問梳理.直線lAxByC0；圓(xa)2yb)2

r2判定方法:方法1：幾何法．利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系推斷：d＞r ； d＝r ； d＜r .方法2：代數(shù)法.利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)展推斷：AxByC0設(shè)方程組(xa)2(yb)2

n，則有o 0 n= 相交；△ 0 n＝圓的弦長計(jì)算

相切； △ 0 n＝ 相離．學(xué)問梳理如以以下圖所示，涉及直線與圓相交及弦長的題，都在RtAOB中，利用勾股定理，得半徑弦長及弦心距之間的關(guān)系式.OA B弦長的計(jì)算：設(shè)圓的半徑為R，圓心到直線的距離為d，則弦長l2 R2d2.專題4：圓與圓的位置關(guān)系620學(xué)問梳理圓與圓位置關(guān)系的判定1.圓與圓的位置關(guān)系有幾種，各有幾條公切線，分別畫出來？d，半徑分別為r，R，〔R>r〕則當(dāng)dRr時(shí)，兩圓當(dāng)dRr時(shí)，兩圓 當(dāng)RrdRr 時(shí)，兩圓當(dāng)時(shí)，兩圓 當(dāng)dRr時(shí)，兩圓dRr設(shè)兩圓的方程分別為Cx2y2DxEyF0Cx2y2DxEyF

0，1 1 1 1 2 2 2 2yx的一元二次方程式Px2QxR0，則當(dāng)0時(shí)，圓與圓 ；當(dāng)0時(shí)，圓與圓 ；當(dāng)0時(shí)，圓與圓 。專題5：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程概念梳理.平面內(nèi) 叫做橢圓. 叫做橢圓的焦點(diǎn)， 叫做橢圓的焦距. PMMFMF

2a，F(xiàn)F

2ca0,c0ac1 2 1 2為常數(shù).當(dāng)FF 2a時(shí)，集合P為 ；當(dāng)FF

a時(shí)，集合P為 當(dāng)1 2 1 2FF 2a時(shí)，集合P為 .1 2焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .其中a,b,c滿足關(guān)系為 .720橢圓的焦點(diǎn)三角形初探概念梳理:焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論：橢圓定義可知：PFF中，|PF

||PF

|2a,|FF

1 2|2c.1 2 1 2焦點(diǎn)三角形的周長為L2a2c.|PF1

||PF2

| 2b2 .1cosFPF1 21 FPFS

|PF||PF|sinFPF b2tan 1 2.2 1 2 1 2 2①．當(dāng)|PF1

||PF2

|P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；1②．S＝2|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝bP為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；假設(shè)焦點(diǎn)PFF的內(nèi)切圓半徑為rS(ac)r.1 2820專題6：橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)學(xué)問梳理標(biāo)準(zhǔn)方程

x2 y2+ =1〔a＞b＞0〕

y2 +

=1〔a＞b＞0〕a2 b2 a2 b2圖形焦點(diǎn)

1 2焦距 FF

1 22cc a2b212范圍 axa，byb性

bxb，aya對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)

b,0質(zhì) 1 2 1 2 1 2 1 2軸 長軸AA的長為2a，短軸BB

1 2 1 2離心率橢圓幾何性質(zhì)再探焦半徑公式.

ec0,1，其c a2b2a焦半徑公式:P(x,y0 0

)是橢圓上一點(diǎn)，那么|PF1

|aex0

，|PF2

|aex0

，進(jìn)一步，PF1

PF2

a2ex2b2,a2P(xy

是橢圓上一點(diǎn)，那么PFPF

b2c2e2x2x

[0a2],故我們有 0 0 1 2 0 920PFPF1

b2c2e2x2b2c2,b2專題7：直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長計(jì)算學(xué)問梳理.直線和橢圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.判定方法——代數(shù)法。將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，推斷方程解的狀況：＞0，方程有兩個(gè)不同的解，則直線與橢圓相交；＝0，方程有兩個(gè)相等的解，則直線與橢圓相切；＜0，方程無解，則直線與橢圓相離．弦長的一般形式A(xy1 1

),B(x,y)2 2(xx)2(xx)2(yy)21 2 1 21k2(xx)24xx1 2 12111k2(yy)24yy1 2 1 2橢圓弦長:x2

y21(ab0)a2 b2ykxm2a2km

2b2m

a2(m2b2)xx

yy

xx 1 2 a2k2b2

1 2 a2k2b2

12 a2k2b2yy 12

b2(m2a2k2)a2k2b20a2k2b2橢圓的焦點(diǎn)弦一．學(xué)問剖析

m2,AB

1k22ab a21k22ab a2k2b2m2橢圓

x2y2

1(ab0)其中兩焦點(diǎn)為F(c,0),F(c,0),|AB|2ae(x x)a2 b2

1 2 A B〔過左焦點(diǎn)〕|AB|2ae(xA

x〔過右焦點(diǎn)〕其中e是橢圓的離心率.B1020y2橢圓a2

x2b2

1(ab0)|AB|2ae(yA

B

y)B〔過右焦點(diǎn)〕

|1|AF2

F2

B，則e 1k2

|1|.假設(shè)aby

x

〔可正可負(fù)〕，利用

2 構(gòu)建y1xy2y2y1x

, y1 2 y 2 1 1(yy)2 11 2yy12

1 2 yy12

，聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解〕或者利用韋達(dá)定理分別解出y,y1 2專題8：中點(diǎn)弦問題——橢圓垂徑定理學(xué)問梳理:中點(diǎn)弦公式：〔所謂中點(diǎn)弦公式是直線與圓錐曲線相交時(shí)，兩交點(diǎn)中點(diǎn)與弦所在直線的關(guān)系，一般不聯(lián)立方程，而用點(diǎn)差法求解〕橢圓：交點(diǎn)在x軸上時(shí)ykxmx2a2

b2

1(ab0)相交于點(diǎn)A、B設(shè)點(diǎn)A(xy1 1

),B(x,y)2 2

∵A、B在橢圓上x2 y2

x2x2

y2y2∴1 1a2 b2

1……① 則1a2

2 - 1 2b2x2 y22 2

1……② 即

y2y21 2

-b2a2 b2

x2x2 a21 2①-②得：

x2x21 2 a2

y2y21 2b2

0 即yx

y2)(y1x x1

y2)b2x a2211 2 1 2112020則k kABOM

b2a2

〔其中MA、B中點(diǎn)，O為原點(diǎn)〕y2 x2同理可以得到當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即橢圓方程為a2 b2當(dāng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，M為A、B中點(diǎn)

0)則k kABOM

a2b2ABM和原點(diǎn)Oy2下的系x2下的系數(shù)的相反數(shù).面積計(jì)算二.學(xué)問梳理:三角形面積12直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積處理方法：12S

ABd〔其中AB為弦長，d為頂點(diǎn)到直線AB的距離〕121k121k2(xx)24xxkxy m0121101k212(12(xx)24xx1 2 110

y m0②特別方法：拆分法,可以將三角形沿著x軸或者y軸拆分成兩個(gè)三角形，不過在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在x軸或者y軸上，此 時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長。SPAB

SPQA((yy)24yy1 2 12

S PQB

PQ y y12A B12 PQ2SPAB

SPQA

S PQB

PQx x12A B1212(x12(xx)24xx1 2 12122020四邊形面積兩對(duì)角線相互垂直助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長度乘積的一半；固然也有一些其他的狀況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解.專題9：橢圓離心率的計(jì)算x2 y2小結(jié)：橢圓方程為

F

設(shè)焦點(diǎn)三角形PFFa2 b2

1 2 1 2中FPF

則cos

2b2

112e2.1 2 a210：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一．學(xué)問梳理FF的距離的差確實(shí)定值是常數(shù)(小于|FF|)的點(diǎn)的軌跡叫做1 2 1 2雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)FF叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．1 2注：假設(shè)定義中“差確實(shí)定值”中的“確定值”去掉的話,點(diǎn)的軌跡成為雙面線的一支。Mxy為雙曲線上的任意一點(diǎn),M點(diǎn)在雙曲線右支上,則MF1M在雙曲線的左支上,則MF1

MF2MF2

,MF1,MF1

MF2MF2

2a；因此得MF1

MF2

2a.x軸上:x2y2a2 b2

y軸上:

y2x2a2 b2

1a,b0,可以看出,x2項(xiàng)的系數(shù)是正的,xy2項(xiàng)的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)y軸上.標(biāo)準(zhǔn)方程中的abc三個(gè)量滿足c2

a2b2方程mx2ny2

1mn0表示的曲線為雙曲線,x軸1320上或在y軸上兩種情形。假設(shè)將方程變形為

x2y2

1m0n0時(shí)方程為x2y2

1 1m n1x軸上的雙曲線,a

1,b 1

m0n0時(shí),1 1 m nm ny2 x2方程為

1,y軸上的雙曲線,此時(shí)a

1b 1。1 1 n mn m因此,在求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),假設(shè)焦點(diǎn)的位置不確定,則常考慮上述設(shè)法.學(xué)問梳理范圍、對(duì)稱性頂點(diǎn)

a,0B

1 2 1 2AA長為2aaBB

長為2bb叫做虛半軸長.1 2 1 2漸近線如上圖所示，過雙曲線

x2y2

1A,A

yxa，經(jīng)過a2 b2 1 2BBxyb，四條直線圍成一個(gè)矩形，矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程1 2

xxy

a a b b離心率:焦點(diǎn)在x軸：e 1( )2ba焦點(diǎn)在y軸: .焦點(diǎn)到漸近線的距離:(c,0到直線bxay0的距離為b.

1k2.1420專題12：直線與雙曲線的位置關(guān)系學(xué)問梳理:直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些？是如何爭(zhēng)論的？當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，如何求弦長？涉及弦的中點(diǎn)問題，如何解決？13：雙曲線的離心率計(jì)算.14：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)問梳理拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線lFl的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l為拋物線的準(zhǔn)線.〔1〕.定義可歸結(jié)為”一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為MF(即焦點(diǎn))；確定直線l(即準(zhǔn)線)1〔即動(dòng)點(diǎn)MF的距離與它到定直線l1〕.〔2〕.定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上。假設(shè)F在l上，拋物線退化為過F且垂直于l的一條直線?！?〕.拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離(也稱焦半徑)與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡(jiǎn)潔化。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y22pxp0

p,0

l:xp〔1〕〔2〕x2

2pyp0

22

，準(zhǔn)線p2，準(zhǔn)線2

；2l:yp；2y22pxp0

p,0

l:xp〔3〕

2

，準(zhǔn)線 ； 21520x22pyp0

0,p

l:yp〔4〕

，準(zhǔn)線 .2 2215：拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)問梳理幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程 y22pxp0 y22pxp0圖象Fp,0

F

p,02焦點(diǎn) 22 準(zhǔn)線性范圍軸質(zhì) 頂點(diǎn)離心率開口方

xp2yR

x軸e1

xp2x0,yR向右 向左向類型 x22pyp0 x22pyp0圖象類型 x22pyp0 x22pyp02焦點(diǎn) p2

F0,p2 2性 準(zhǔn)線范圍

yp2xR,y016

yp2xR,y020質(zhì)質(zhì)對(duì)稱軸頂點(diǎn)離心率y軸e1開口方向上向下直線與拋物線位置關(guān)系16：拋物線的焦點(diǎn)弦學(xué)問梳理:拋物線弦長計(jì)算的根本方法:設(shè)A(x,y1 1

),B(x,y)2 2(xx)2(xx)2(yy)21 2 1 21k2(xx)24xx1 2 12111k2(yy)24yy1 2 1 2ykxmy22pxy并化簡(jiǎn)整理得到：k2x22(mkp)xm200，最終利用韋達(dá)定理，代入弦長公式即可解得弦長.由于

sincos

tan，故tan2

1cos2 sin2 ，cos2 1sin2sin2典例分析

tan2 1,cos2 .1tan2 1tan2案例分析.斜率為1的直線ly2AB的長度.1.(弦長公式).

4xFAB2.(拋物線定義).留意到直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)FAB焦點(diǎn)弦.1720要的考點(diǎn)之一，下面排列出常見的拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì):1.|AF|xA

p|BFx 2 B

p,|AB|x x2 A

P.性質(zhì)2.傾斜角為直線的ly2

2pxFAB兩點(diǎn)，則|AB| 2p ，S

p2 |AB2p11).23.拋物線的通徑(1).通徑長為2p.

OAB

2sin k2焦點(diǎn)弦中，通徑最短.通徑越長，拋物線開口越大.性質(zhì)4.|AF| p

,|BF|

P ，1 1 21cos 1cos |FA| |FB| p5.直線ly2

2pxFABAB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y0 0

，則|AB|2(x0

p).2性質(zhì)6.以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.7.y2

2px 的焦點(diǎn)為F，A(x,y1 1

),B(x,y2

)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：xx 12

p2,yy4 1

p2.例.〔20232卷設(shè)拋物線C：y24xFF且斜率為k(k0)的直線l與CAB|AB|8．求l的方程；1820AB且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：〔1〕F〔1，0〕，l的方程為y=k〔x–1〕〔k>0〕．A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．ykx1 由 y2

4x

得k2x22k24xk22k24

0．16k2160，故xx ．1 2 k2ABAFBFx1

1x2

1

4k24．k24k24由題設(shè)知k2

8k=–1〔舍去〕，k=1．ly=x–1．〔2〕由〔1〕AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，2〕，AB的垂直平分線方程為y2x3yx5．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為〔x0，y0〕，則 y x5，0 0 0

x

yx

12 解得0

或0x2 0 0

16. y 2

y 6. 0 2 0 0因此所求圓的方程為x32y2216或x12y62

144．17：阿基米德三角形1.如圖，假設(shè)拋物線方程為x2

2pyp0)，過拋物線準(zhǔn)線yp2

上一點(diǎn)P(x,y0

)AB，其坐標(biāo)為(x,y1 1

),(x,y2

.PA,BPAB中，有如下的常見結(jié)論:1.ABF.1.192020202.ABx0

y y02

p(y0

y).證明：參見下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線得到.x2 x21 2x2 x2

2p 2p xxAB(x,

1),(x, 2，則k

1 2.12p

2

AB xx 2p1 2x2 xx則AB:y 1 1 2(xx2p 2p 1p

)AB:2py(xx)xxx1 2 12

，明顯由于AB過焦點(diǎn)(0, xx

p2.我們得到了拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的根本關(guān)系.2 12上述結(jié)論的逆向也成立，即：3.FABABP(x,y)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.0 0Ax1

xp(y1

y，過Bx2

xp(y2

y)，兩式x相除可得：1x

yy1

xyxy xx py 21 1 2y 12 .這就證明白該結(jié)論.x yy2

xx1 2

2p 24.PFAB.3k

0，k

y p 0 2

.那么k k

y px020 x02

y01

1.xAB px5.APPB.

PF x0

AB PF

p x p 20x x x x xx證明：k AP

1,kp BP

2,則k kp AP

1 2 1p p p2

2由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知xx p2，代入上式即可得k

21APPB.x12 AP BP p2x6.AB的中點(diǎn)為MPM平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過點(diǎn)AB的切線的交點(diǎn)P在拋物線準(zhǔn)線上.P的坐標(biāo)為(xx(1

xx2)PM平行于拋物線的對(duì)稱軸.,12 2p,1〔2023年全國三卷〕C：y=x2，Dy1DC的兩條切2 2A，B.AB過定點(diǎn)：5假設(shè)以E(02)AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.1(1)證明：設(shè)D(t, ),A(x,y1

),則y1x2．又由于y x2，所以y”x.12 1 1

1 21 2y1x(xt，整理得2tx2y

10.1 2 1 1 1 1B(xy，同理得2tx2y10.2 2 2 2A(x,y1

),B(x,y2

)都滿足直線方程2tx2y10.于是直線2tx2y10ABAB方程為2tx2y10.即2tx2y1)0，當(dāng)2x0,2y10

1AB恒過定點(diǎn)(0,2).1〔2〕由〔1〕得直線AB的方程為ytx .2ytx1 2由 ，可得x22tx10，yx2 2xx1

2t,xx12

1,yy1

t(x1

x)12t212|AB|

|xx|11t2

2(t21).11t2(xx)24xx1 2 12dd1

DEAB的距離，則d

t21, d .t2t211因此，四邊形ADBE的面積S

|AB|dd

t23t21.2 1 220 2 1設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則Mt,t 2， EM 由于 ，而EMt,t22， 與向量(1,t)平行，所以tt22tEM t0或t1.當(dāng)t0時(shí)，S3；當(dāng)t1時(shí)S4 2因此，四邊形ADBE 的面積為3或4 2.專題18：極點(diǎn)極線構(gòu)造及非對(duì)稱韋達(dá)定理根底學(xué)問:極點(diǎn)極線C:x2a2

y2b2

〔＞P(x,y)0 0和直線

xx yy0 0

1為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線.極點(diǎn)和極線是成對(duì)消滅的.a2 b2從定義我們共同思考和爭(zhēng)論幾個(gè)問題并寫下你的思考:P(x,y在橢圓上，則其對(duì)應(yīng)的極線是什么?0 0橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線分別是什么?過橢圓外〔上、內(nèi)〕任意一點(diǎn)P(x,y)，如何作出相應(yīng)的極線？0 0如圖，假設(shè)點(diǎn)P在曲線P作兩條割線依次交曲線EFGHEHFG交NFHEGM,則直線MNP所對(duì)應(yīng)的極線.x2假設(shè)橢圓方程為a2

y2b2

1(ab0)2202023〔1〕焦點(diǎn)與準(zhǔn)線：(c,0)xa2；〔2〕點(diǎn)(m,0)xa2c m非對(duì)稱韋達(dá)定理在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，假設(shè)0xx，1 2xx

b

c，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處1 2 a1 1

12 a理xx 、 、x2x

之類的“對(duì)稱構(gòu)造”，但有時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的1 2 x x 1 21 2代數(shù)式的應(yīng)算，比方求

x2、xx

之類的構(gòu)造，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來x 1 21處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，也得到作用.〔2023一卷〕A、BE：

x y21〔a>1〕的左、右頂點(diǎn)，GE的上頂2a22AGGB8，Px=6上的動(dòng)點(diǎn)，PAEC，PBE的另一交點(diǎn)為D．E的方程；CD過定點(diǎn).解析：由橢圓方程E:

x y21(a1)Aa,0，Ba,0G0,12a22AGa,1，GBa,1AGGBa218，a29x2橢圓方程為： y21x29〔2〕P6,y，0y y00 x3

y AP的方程為：

63

，即：y 09

x3x29

y21聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得： ，整理得：y

y x3090

3y

227y290

x26y0

2x9y0

2810x3x

0y2903y

227 y

6y將x 0

y

0

可得：y 0y29 90

y2903y所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為

227 6y ,0 .,y29 y0 0

293y同理可得：點(diǎn)D的坐標(biāo)為

23 2y ,0,y20

3時(shí)，

y21 y0

21

2y 0 0直線CDy

2y 0

y29 y0

21 x

3y230 ，y21 3y0 0

227 3y0

23 y0

2100y29 y00

212y 8y

3y23

3y23y

0 0

x 0

0 x 0 y210

69y40

y21 0

3y20

y210y

x

x30

y23 0

0

2所以直線CD過定點(diǎn)3,0． 2 23 3 y2

3時(shí)，直線CDx

2，直線過點(diǎn)2,0．0 CD過定點(diǎn)3,0． 2 24.4.練習(xí)：〔2023江蘇〕在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，橢圓x2 y2951的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T〔tm〕的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x,y)、1 1N(x,y)，其中m>0,y 0,y2 2120.設(shè)動(dòng)點(diǎn)PPF2PB24,求點(diǎn)P的軌跡；1x1

2,x2

，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3設(shè)t9,求證：直線MNx軸上確實(shí)定點(diǎn)〔其坐標(biāo)與m無關(guān)〕解：〔1〕設(shè)點(diǎn)P〔x，y〕，則：F〔2，0〕、B〔3，0〕、A〔-3，0〕。9PF2PB2

4，得(x2)2y2[(x3)2y2]4, 化簡(jiǎn)得x 。29故所求點(diǎn)Px21x1

2,x2

y3 0,y2

0得：M〔25〕、N〔120〕3 3 9y0 x3 1

y0 x3MTA5

23

x1，直線NTB方程為：3 20

1 ，5 即y x5 6 2

0 0 33 9 3x7 10y

10，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,3)3點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,m)直線MTA方程為：

y0

x3

m(x3)，直線NTB方程為：

y0

x3

m0 93 12m(x3)x2分別與橢圓

m0 93 6y21x

3，9 5 1 2M(

3(80m2), 40m )、N(3(m220), 20m )80m2

80m2

20m2 20m220m 3(m220)y x

xMN方程為：

20m2

20m21 2 40m

20m 3(80m2)3(m220)80m2y0x1。此時(shí)必過點(diǎn)D〔1，0〕；

20m2

80m2

20m2xx1

時(shí)，直線MNx1x軸交點(diǎn)為D〔1，0〕。所以直線MN必過x軸上確實(shí)定點(diǎn)D〔1，0〕?！?〕x1

x，則由2

2403m23m26080m2 20m2

及m0，得m2 ，10此時(shí)直線MNx1，過點(diǎn)D〔1，0〕10

1040m10xx1

，則m2

，直線MD的斜率k MD20m

80m2 2403m2180m2

10m40m2，直線ND的斜率k ND

20m2 3m260120m2

10m40m2

，得kMD

k ，所以直線MN過D點(diǎn)。ND因此，直線MNx軸上的點(diǎn)〔1，0〕.專題19：與斜率和、斜率積有關(guān)的定點(diǎn)定值根本結(jié)論P(yáng)(x,y0 0

x2a2

y21(ab0)上的定點(diǎn)，AB是橢圓上一條動(dòng)弦，b2ABPAPB的斜率分別為kkk；1 2假設(shè)kk12

b2a2

x0

0,k 0，yxy假設(shè)kk12

b2a2

0AB過定點(diǎn)，假設(shè)kk1 2

0y0

0,k

b2x0，a2y假設(shè)kk1 2

00AB過定點(diǎn).3 典例分析〔2023一卷〕3

x2y2

)中恰有三a2 b2

1 2

2 4 2點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程；設(shè)直線lP2

點(diǎn)且與CA,BP2

A,PB的斜率之和為1，證2明：直線l過定點(diǎn).解析：〔1〕PPyCPP兩點(diǎn).3又由111 3

4知，CP

P

3 4C上.a2 b2 a2 4b2 1 2 11 b2

a24 x2因此 ，解得

. C的方程為

y21.1 3 a2 b2

b21 4〔2〕P2AP2Bk1，k2，假設(shè)l與x=t0t2B〔，

4t2，24t2〔t4t22kk1

1，得t2，不符合題設(shè).4t4t224t22lykxm〔m1〕.ykxmx24

y21得 .4k21x28kmx4m240，由題設(shè)可知=164k2m210.A〔x

，y〕，B〔x

，y〕，x

8km

，xx

4m24= .1 1 2

1 2 4k21

12 4k21y1

1

m1

m1 2kxx

m1xx而kk 1 2 1 21 2 x x x x

12xx

1 2 .1 2 1 2 12由題設(shè)kk 1，故2k1xxm1xx

0.1 2 12 1 2即2k14m24m1

8km

m10.解得k .4k21 4k21 2當(dāng)且僅當(dāng)m10lym1xmy1m1x2，2 2l過定點(diǎn)〔21〕20：解析幾何中的幾何方法201.根本學(xué)問:“一線三垂直”的證明1.如圖，AB⊥BD，AC⊥CE，ED⊥BD，且AC=CE求證：Rt△ABC≌Rt△CDE．證明：在Rt△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∵∠BCD是平角∴∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°∵∠ABC=∠ACE=90° ∴∠A=∠DCE，∵AC=CE∴Rt△ABC≌Rt△CDE〔AAS〕．典例〔2023三卷〕橢圓C:x2y2

1(0m5)的離心率為

15，A，B

分別為C的25 m2 4左、右頂點(diǎn)．求C的方程；假設(shè)點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求APQ 的面積．【詳解】〔1〕

C:x2y2

1(0m5)a5，bm，25 m2ec

1b2

1m2

m m ( )依據(jù)離心率a

a 5

，解得 或554 455

4x2

y2 1x2 16y2C的方程為：25 524

，即 25

1； 〔2〕PQx軸上方P在C上，點(diǎn)Qx6上，且|BP||BQ|BPBQ，Px軸垂線，交點(diǎn)為Mx6xN依據(jù)題意畫出圖形，如圖2820又 ，依據(jù)三角形全等條件“AAS ”，可得：△PMB△BNQ，

x216y2

1，25 25B(5,0)，PMBN651P點(diǎn)為(xy)，P PPy

1x216y21x2161，PP 25 25 25 25PP解得：x 3或x 3， 點(diǎn)為(3,1)或(3,1)，PP P①P點(diǎn)為(3,1)MB532，△PMB△BNQ，|MB||NQ|2，Q點(diǎn)為(6,2)，畫出圖象，如圖A(5,0)Q(6,2)AQ2x11y100，依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得PAQ的距離為：d

231111022112

5 5，125 5依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AQ

65220

5 5， APQ 面積為：

15

55；2 5 2②P點(diǎn)為(3,1)MB5+38，△PMB△BNQ，|MB||NQ|8，Q點(diǎn)為(6,8)，畫出圖象，如圖A(5,0),Q(6,8)，29202030831114082112AQ8x11y83111408211251855185185d ，185652652802185185 APQ面積為：1 185 51852

5 52，綜上所述，APQ2.江蘇高考數(shù)學(xué)真題講析[2]文/劉蔣巍高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大有裨益！1、培育學(xué)生代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化力氣《2023年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔江蘇卷〕說明》〔以下簡(jiǎn)稱：江蘇202314解決問題的力氣。問題如下：2023江蘇.14．正數(shù)abcca≤b≤caclnb≥aclncb的取a值范圍是▲ ．命制思路簡(jiǎn)析：x,y53xy4xyex，求

y的范圍。x〔axbyx,yz53ab4a，c c c c clnbab的范圍。〕c c a202314如下：2023江蘇14.在銳角三角形ABC中，sinA2sinBsinC則tanAtanBtanC的最小值是 ．【試題命制】〔41174題〕ABC中，ADBCD，BDDC:AD236BAC的度數(shù).〔改編1〕在銳角三角形ABC 中，ADBC，垂足為D，BC:AD2:1，則tanAtanBtanC的最小值是 BCaADbsinC，所以ADBCDBC:AD21”還可表述為a2bsinC”sinA2sinBsinC2稿〔2稿〕在銳角三角形ABC中，sinA2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 【解法探究】AADBCDBDm，CDnADh；則mna；由sinA2sinBsinCa2bsinCAD h而bsinCh，則a2hmn2h；又tanB

BDm，

mnADtanC

h，tanAtan(BADCAD)

tanBADtanCAD h hCD n 1tanBADtanCAD 1

mn 2 ；所以tanAtanBtanC

h h2 h2；1mn 1mn mnh2 h2x

mn(0,1；則tanAtanBtanCh2

2(1x)x

1xx ( )22222運(yùn)用根本不等式由于sinA2sinBsinCsinAsin(A)sin(BC，所以sin(BC)2sinBsinCsinBcosCcosBsinC2sinBsinC；兩邊同除以cosBcosCtanBtanC2tanBtanC2020而tanAtan(A)tan(BC)tanBtanC

2tanBtanC所以tanAtanBtanC2(tanBtanC)21tanBtanC

1tanBtanC 1tanBtanC，x1tanBtanC1，則tanAtanBtanC2(1x)2

212xx2x x21x28x1時(shí)，即tanBtanC2時(shí)取等號(hào)x思考：還有其他解法么？2、引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材中的根本模型182023年江蘇高考的應(yīng)用題。此題考察生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。多題合一”+“改造”18.(16分)如圖,為了保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.OA80m.經(jīng)AO60m處,CO170m處(OC為河岸tanBCO4.3BC的長；北BA60mM北BA60mMO170mC東32〔18題〕20命題背景解析129252.5m120角，路燈承受錐h為多少米時(shí)，燈罩軸線正好通過道路路面的中線？〔0.01m〕221132A1,4)作圓(x22y321的切線l，求切線l的方程.是直線的方程與圓的方程兩者知一求一。思考：202318題，如何求解呢？有幾種解法呢？3、留意學(xué)生運(yùn)算力氣的培育，引導(dǎo)學(xué)生思考簡(jiǎn)捷的算法320來？如何運(yùn)算、選擇怎樣的算法翻開運(yùn)算死結(jié)呢？請(qǐng)看以下江蘇高考題：2 y2 14 2的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作xCACBPAkPAMNk的值；當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； yP命制思路簡(jiǎn)析：

BM C xAN〔有心圓錐曲線中點(diǎn)弦的統(tǒng)一性質(zhì)設(shè)橢圓〔雙曲線〕x2 y2 1(mn 0,且m nm、n不同時(shí)為負(fù)數(shù)〕APA，PB，則k kAB

nmy 2nx y 2n由于kAB

0 ，所以k2x PB0

my0

，又由于kPA

0；則k k x PA PB m0

x2y21，則k k

1，PAPB〕4 2 PA PB思考：除命制思路外，還有其他解題思路嗎？202319.xOy中，橢圓x2a2

y21(ab0)的左、右焦b2Fc0)

(c．和e

3都在橢圓上，其中e為橢圓的21 21 離心率．求橢圓的離心率；1yAPBF1OF2x1yAPBF1OF2xBF2

AF2

BF1

P．34〔19題〕AF

BF

206AF的斜率；1 2 2 1PF1

PF2

是定值．思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用參數(shù)方程、極坐標(biāo)等方法求解？2023江蘇18.xOyx2a2為2Fl3.2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

y2b2

1ab0的離心率FA，BABlABP，CPC=2ABAB的方程.思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用參數(shù)方程、極坐標(biāo)等方法求解？4、把握通性通法的同時(shí)，了解試題的高等數(shù)學(xué)背景19202320題。該題考察數(shù)學(xué)思想方法。202320.〔16分〕f(x)lnxax,g(x)exax，其中a為實(shí)數(shù)?！?〕假設(shè)f(x)在(1,)g(x)在(1,)a的取35202036值范圍；〔2〕g(x)在(1,)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。函數(shù)h(x) 的圖像在(0,e)單調(diào)遞增在(e,)單調(diào)遞減最大值為h(e)e1，xlimh(x)，limh(x)lim

lnx

lim

0〔此處極限值用洛必達(dá)法則求得〕x0

x x x xx

lnx〔假設(shè)ae1則當(dāng)a0或ae1時(shí)方程a 的根個(gè)數(shù)為當(dāng)0ae1時(shí)，xlnx方程a 的根個(gè)數(shù)為2〕x思考：除命制思路外，還有其他解題思路嗎？用通性通法如何求解？202320．〔16分〕各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an

和{bn

a

n1

ab

b

N，求證：數(shù)列

2是等差數(shù)列；nna2bnna2b2n n

nn1 an2b2

an

〔2〕設(shè)b n1

n，nN，且{aa n

}是等比數(shù)列，求a和b1 1

的值．命制思路簡(jiǎn)析：①正項(xiàng)數(shù)列{an

}為大于1的有界數(shù)列，且{an

}為等比數(shù)列，求證：{an

}為常數(shù)列.a2b22②a0,b0，求證：1 a2b22思考：如何證明{an

}為常數(shù)列？正難則反？還有哪一年高考題考察反證法20232023年？如何書寫證明過程？2023江蘇卷19題命制思路簡(jiǎn)析：5982〔3〕為原型生長而成的。試題原型設(shè)x2x

2x2分析可知2x2x20x0g(x)2x2x2有且只1個(gè)零點(diǎn)。從“語言互譯”[1]的角度命制“鄰近問題”1稿。1xRg(x)2x2x21個(gè)零點(diǎn).分析可知：假設(shè)記a1,b2 a2 gx)axbx21個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)ab1.將“

1,b2”推廣到0a1b1”g(x)axbx21個(gè)零點(diǎn)，則ab1。2

f(x)axbx，其中0a1b1g(x)f(x)21個(gè)零點(diǎn)，求ab的值2 y2〔2023江蘇18〕在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，橢圓x 1的左、9 5右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為FT〔tm〕的直線TA、TB與橢圓分別交于M(xy1 1

N(x,y2 2

)m>0,y10,y2

0．PPF2PB24P的軌跡；x1

2,x2

1T的坐標(biāo)；3設(shè)t9,MNx軸上確實(shí)定點(diǎn)〔m無關(guān)〕．命制思路簡(jiǎn)析：前兩問比較簡(jiǎn)潔，這里從略。對(duì)于第〔3〕問，由高等幾何學(xué)問知：點(diǎn)T〔t,m〕

x2y2a2 b2

1txmya2 b2

1x軸上確定點(diǎn)a2,0MN必過定點(diǎn)a2,0?！瞲2y2

1，t9，t t 9 5〕第〔3〕問標(biāo)準(zhǔn)解答：〔3〕T的坐標(biāo)為(9,m)

y0x3ym(x3)，m0 93 12NTB方程為：

y0

x3y

m(x3)。

x2y2

m0 93 6x

3，9 5 1 2M(

3(80m2), 40m )、N(3(m220), 20m )。80m2 80m2 20m2 20m2〔方法一〕當(dāng)xx1 2

時(shí)，直線 MN 方程為： 20m 3(m2 y x20m2

20m240m80m2

20m 3(80m2)3(m220)20m2 80m2 20m2y0x1D〔1，0〕；xx1

x1xD〔1，0〕。MNx軸上確實(shí)定點(diǎn)D〔1，0〕。2403m2 3m26010〔方法二〕x101

x，則由2

80m2 20m2

及m0，得m2 ，MNx1D〔1，0〕。1040m10xx1

，則m2

MD的斜率kMD20m

80m22403m280m2

10m ，1 40m2直線ND的斜率k ND點(diǎn)。

20m2 3m260120m2

10m40m2

，得kMD

k ，所以直線MN過DND因此，直線MNx軸上的點(diǎn)〔1，0〕?！八澜Y(jié)”：解第〔3〕問：設(shè)OM312mON(36m)(0，MNxD〔x，0〕，DMDN(R)m(123xm(36x)9(41)2

m221()x

3)〔﹡

在橢圓上∴ 9 59(21)2

m221 9 5消去m2，得624，代入〔﹡〕()(x1)0,0，x1．“死結(jié)”：解第〔3〕問：分析：從“標(biāo)解”可以看出，命題意圖著力考察因式分解及整體消方案．〔為了更能說明問題，考慮一般情形〕

x2y2a2 b2

1〔﹡〕，MNxrys代入〔﹡〕，得(b2r2a2y22b2rsyb2(s2a2)0N(xy

),M(x,y

)Tt,m)(

0y)mta

y2xa2

1 1 2 2 2 11 2 m，1

tay