高中數(shù)學必修四課件：《任意角的概念》課件

必修四第一章

三角函數(shù)必修四1月盈則虧是周期現(xiàn)象月盈則虧是周期現(xiàn)象2錢塘江一線潮由于月球和太陽的引潮力作用，使海洋水面發(fā)生的周期性漲落的潮汐現(xiàn)象。

錢塘江一線潮31.1.1任意角的概念1.1.1任意角的概念41、角的概念初中是如何定義角的？

從一個點出發(fā)引出的兩條射線構成的幾何圖形.

角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的。初中學過的角的范圍是：0o至360o。

1、角的概念初中是如何定義角的？5

然而生活中有很多實例的角會不在該范圍：體操運動員轉體720o（即“轉體2周”），跳水運動員向內、向外轉體1080o（“轉體3周”）；經(jīng)過1小時，時針、分針、秒針各轉了多少度？這些例子中有的角不僅不在范圍：0o至360o，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，那么用什么辦法才能推廣到任意角？關鍵是用運動的觀點來看待角的變化。然而生活中有很多實例的角會不在該范圍：62．角的概念的推廣⑴“旋轉”形成角如圖：一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉到另一位置OB，就形成角α．

旋轉開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的頂點．2．角的概念的推廣⑴“旋轉”形成角7⑵．“正角”與“負角”、“零角”我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角，如圖，以OA為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”與“負角”、“零角”8

特別地，當一條射線沒有作任何旋轉時，我們也認為這時形成了一個角，并把這個角叫做零角即零度角（0o）．此時零角的始邊與終邊重合。角的記法：角α或可以簡記成∠α，或簡記為：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……特別地，當一條射線沒有作任何旋轉時，我們也認9⑶角的概念擴展的意義：用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了①角有正負之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

實例：體操動作：旋轉2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線，沒有旋轉.⑶角的概念擴展的意義：用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴10

角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角．要注意，正角和負角是表示具有相反意義的旋轉量，它的正負規(guī)定源于實際的需要，就好象與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好象數(shù)零無正負一樣．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角11用旋轉來描述角，需要注意三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉量

（2）旋轉方向：旋轉變換的方向分為逆時針和順時針兩種，這是一對意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相反的量用正負數(shù)來表示，那么許多問題就可以解決了；（1）旋轉中心：作為角的頂點.用旋轉來描述角，需要注意三個要素：（2）旋轉方向：旋轉變換的12（3）旋轉量：當旋轉超過一周時，旋轉量即超過360o，角度的絕對值可大于360o.于是就會出現(xiàn)720o，－540o等角度.旋轉方向決定角的符號，旋轉量決定角的大小。（3）旋轉量：旋轉方向決定角的符號，旋轉量決定角的大小。133．象限角

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角。

角的頂點重合于坐標原點，角的始邊重合于x軸的非負半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角。（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限此時這種角稱為：軸線角）例如：30、390、330是第一象限角，

300、60是第四象限角，

585、1300是第三象限角，

135

、2000是第二象限角等3．象限角為了研究方便，我們往往在平面直角坐144．終邊相同的角

⑴觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同.⑵探究：終邊相同的角都可以表示此角與k(k∈Z)個周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．終邊相同的角⑴觀察：390，330角，它們的15⑶結論：所有與終邊相同的角連同在內可以構成一個集合：{β|β=α+k·360o，k∈Z}

即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。⑶結論：16⑷注意以下四點：①

k∈Z，

K>0，表示逆時針旋轉，

K<0,表示順時針旋轉.

②

是任意角；③

k·360o與之間是“+”號，如k·360o－30o,應看成(－30o)+k·360o

；④

終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360o的整數(shù)倍.

所有與終邊相同的角連同在內可以構成一個集合：{β|β=α+k·360o，k∈Z}即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。⑷注意以下四點：所有與終邊相同的角連同在內可以構17例1.在0o~360o范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.解：⑴∵－120o=240o+（-1）×360o，

∴－120o的角與240o的角終邊相同，它是第三象限角．⑵∵640o=280o+1×

360o，

∴640o的角與280o的角終邊相同，它是第四象限角．即：[00,3600)例1.在0o~360o范圍內，找出與下列各角終邊相同的角18⑶解：∵－950o12’=129o48’+（-3）×360o，

∴-950o12’的角與129o48’的角終邊相同，它是第二象限角．(3)－950o12′.例1.在0o~360o范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.⑶解：∵－950o12’=129o48’+（-3）×319例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o間的角寫出來：

(1)60o；(2)－21o；(3)363o14′.解：(1)S={β|β=60o+k·360o，k∈Z},

S中在－360o～720o間的角是

0×360o+60o=60o；－1×360o+60o=－300o；

1×360o+60o=420o．方法二例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－320(2)S={β|β=－21o+k·360o，k∈Z}

S中在－360o～720o間的角是

0×360o－21o=－21o；

1×360o－21o=339o；

2×360o－21o=699o．(3)S=｛β|β=363o14’+k·360o，k∈Z}S中在－360o～720o間的角是

0×360o+363o14’=363o14’；

－1×360o+363o14’=3o14’；－2×360o+363o14’=－356o46’．例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o間的角寫出來：

(1)60o；(2)－21o；(3)363o14′.(2)S={β|β=－21o+k·360o，k∈Z21例3寫出終邊分別落在四個象限的角的集合.終邊落在坐標軸上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+

K·360°例3寫出終邊分別落在四個象限的角的集合.終邊落在坐標軸上的情22第一象限的角表示為

{|k360<<90+k360,kZ}；第二象限的角表示為

{|90+k360<<180+k360，kZ}；第三象限的角表示為

{|180+k360<<270+k360，kZ}第四象限的角表示為

{|270+k360<<360+k360，kZ}第一象限的角表示為23例4、寫出終邊落在y軸上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°例4、寫出終邊落在y軸上的角的集合.xyo0°90°180°24例4解：終邊落在ｙ軸非負半軸和非正半軸上的角的集合分別記為為S1，S2S1={β|β=90o

+K?360o,K∈Z}S2={β|β=270o+K?360o,K∈Z}

={β|β=90o+180o+K360o,K∈Z}={β|β=90o+（2K+1）?180o，K∈Z}即：S2={β|β=90o+180o的奇數(shù)倍}同理S1={β|β=90o+180o的偶數(shù)倍}終邊落在ｙ軸上的角的集合為S=S1∪S2

S={β|β=90o+K?180o，K∈Z}例4解：終邊落在ｙ軸非負半軸和非正半軸上的角的集合分別記為為25課堂練習1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90o的角是銳角嗎？區(qū)間(0o,90o)內的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90o的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；區(qū)間(0o,90o)內的角是銳角．課堂練習1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？262．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？(1)420o，(2)－75o，(3)855o，(4)－510o．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，273、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（）

Ax軸的非負半軸上By軸的非負半軸上

Cx軸的非正半軸上Dy軸的非正半軸上A4、終邊與坐標軸重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360o(k∈Z)}B{β|β=k·180o(k∈Z)}C{β|β=k·90o(k∈Z)}D{β|β=k·180o+90o(k∈Z)}C3、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（285、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，則180o－α是（