高中數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)(全)

高中數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)(全)第一章：集合與函數(shù)概念課時一：集合有關(guān)概念集合是指一些確定的、不同的東西的全體。人們能夠意識到這些東西，并且能夠判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。一般的研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。集合中元素具有三個特性：確定性、互異性和無序性。確定性指集合確定，則一個元素是否屬于這個集合是確定的，要么屬于，要么不屬于?；ギ愋灾敢粋€給定集合中的元素是唯一的、不可重復(fù)的。無序性指集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合。集合的表示方法有兩種：列舉法和描述法。列舉法是將集合中的元素一一列舉出來，描述法是將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。常用數(shù)集及其記法有非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作N，正整數(shù)集N*或N+，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R。課時二：集合間的基本關(guān)系包含關(guān)系是指如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作AB（或BＡ）。注意，AB有兩種可能：一是A是B的一部分，二是A與B是同一集合。反之，集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA。相等關(guān)系是指兩個集合中的元素相同，則這兩個集合相等。例如，設(shè)A={x|x2-1=0}，B={-1,1}，則A和B相等。1.任何一個集合都是它本身的子集，即A?A。2.如果集合A是集合B的子集，但A不等于B，那么A就是B的真子集，記作A?B或B?A。又或者，如果集合A是集合B的子集，但在集合B中存在一個元素x，它不屬于集合A，那么A也是B的真子集。3.如果集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，那么集合A也是集合C的子集。4.如果集合A是集合B的子集，同時集合B也是集合A的子集，那么集合A等于集合B?？占遣缓魏卧氐募希洖棣?。規(guī)定空集是任何集合的子集，同時也是任何非空集合的真子集。對于一個有n個元素的集合，它含有2^n個子集，其中包括2^n-1個真子集。集合的運算有交集和并集。A與B的交集是由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∩B。A與B的并集是由集合A的所有元素和集合B的所有元素所組成的集合，記作A∪B。集合A與集合B的補集是由集合S中所有不屬于集合A的元素所組成的集合，記作S-A或A^C。函數(shù)是一個從集合A到集合B的映射，它將集合A中的每個元素x映射到集合B中唯一的元素f(x)。函數(shù)的三要素包括定義域、值域和對應(yīng)法則。函數(shù)可以通過解析法、圖像法和列表法來表示。其中，解析法要明確函數(shù)的定義域，圖像法要確定函數(shù)圖像是否連續(xù)，列表法要選取代表性的自變量。定義：函數(shù)y=f(x)，(x∈A)在平面直角坐標系中的圖像C，是由所有滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)的點P(x,y)組成的集合。反過來，所有滿足y=f(x)的有序?qū)崝?shù)對x、y作為坐標的點(x,y)，都在C上。畫法有兩種：描點法和圖象變換法，包括平移、伸縮和對稱變換。函數(shù)圖像變換的特點包括關(guān)于X軸對稱、關(guān)于Y軸對稱和關(guān)于原點對稱。函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，包括對應(yīng)法則和定義域。求函數(shù)解析式的主要方法有代入法、待定系數(shù)法、換元法和拼湊法。函數(shù)的定義域是能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合，求解時需要注意分式的分母不等于零、偶次方根的被開方數(shù)不小于零、對數(shù)式的真數(shù)必須大于零、指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1、函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的、指數(shù)為零底不可以等于零、實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。相同函數(shù)的判斷方法包括表達式相同和定義域一致。區(qū)間包括開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間和無窮區(qū)間，可以用數(shù)軸表示。函數(shù)的值域可以用觀察法、反表示法、配方法和代換法求解，需要先考慮其定義域。分段函數(shù)是在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)，需要考慮各部分的自變量的取值情況。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。另外，如果有y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A)，則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。常用的分段函數(shù)有三種，分別是取整函數(shù)、符號函數(shù)和含絕對值的函數(shù)。映射是指對于兩個非空集合A和B，按照某一確定的對應(yīng)法則f，使得A中的任意一個元素x，在B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”。映射應(yīng)滿足集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個。不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的。判定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、圖象法和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。注：刪除了明顯有問題的段落，對部分內(nèi)容進行了簡化和澄清。復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)。其規(guī)律是“同增異減”。需要注意的是，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能將單調(diào)性相同的區(qū)間并在一起寫成其并集。在函數(shù)的整體性質(zhì)中，有偶函數(shù)和奇函數(shù)兩種。對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，如果都有f(-x)=f(x)，則f(x)為偶函數(shù)。如果都有f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。判斷函數(shù)的奇偶性需要確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱，然后確定f(-x)與f(x)的關(guān)系，最后作出相應(yīng)結(jié)論。利用奇偶函數(shù)的四則運算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性，可以得出以下結(jié)論：在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)，奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)，奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除為奇函數(shù)，偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)，一奇一偶的乘積是奇函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的奇偶性為：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。需要注意的是，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。在函數(shù)最值的求解中，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值，利用圖像求函數(shù)的最大（?。┲?，或者利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲?。具體而言，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)。最后，需要注意的是奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。3、判斷含糊單調(diào)性時，可以使用作商法。這個方法與作差法類似，但是不是與另一個函數(shù)作比較，而是與1作比較。4、要求解絕對值函數(shù)的最值，首先需要將其分段，然后根據(jù)各段的單調(diào)性或圖像來求解最值。5、在判斷函數(shù)的奇偶性時，如果已知函數(shù)是奇函數(shù)，可以直接使用f(0)=0。但是，如果f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。在高一階段，可以利用奇函數(shù)f(0)=0來判斷函數(shù)的奇偶性。1、指數(shù)與指數(shù)冪的運算可以根據(jù)初中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)來復(fù)習。其中包括：m^n*m^n=a和n^n(a)=a以及n^(a*b)=ab。2、根據(jù)定義，當n>1且n∈N時，xn=a就表示x是a的n次方根。如果n是奇數(shù)，那么正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負數(shù)的n次方根是負數(shù)。如果n是偶數(shù)，那么正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)。此時，我們可以用符號來表示正數(shù)a的正的n次方根和負的n次方根，但是負數(shù)沒有偶次方根。3、對于正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，可以使用a^(m/n)=a^(1/n)^m或者a^(-m/n)=1/(a^(m/n))來計算。但是，負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。4、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)包括：ra+sa=a（1），ra*sa=a（2），以及ra(sb)=a（3），其中a>0，r和s是任意實數(shù)。5、無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)。和有理數(shù)指數(shù)冪一樣，它也遵循指數(shù)冪的運算性質(zhì)。課時十五：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點（1）1、指數(shù)函數(shù)的定義為y=ax（a>0且a≠1），其中x是自變量。需要注意的是，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不能是負數(shù)、零和1。2、我們可以在同一坐標平面內(nèi)畫出不同指數(shù)函數(shù)的圖像，并觀察它們的特點。對于a>1的情況，函數(shù)圖像向X軸和Y軸的正負方向無限延伸，且圖像關(guān)于原點和Y軸不對稱。對于所有的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)圖像都在X軸的上方。此外，不同函數(shù)的圖像還有一些獨特的特點，比如函數(shù)圖像都過定點（0,1），自左向右看圖像逐漸上升等。aN>0，當且僅當N>1；logaN=0，當且僅當N=1；logaN<0，無解。指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是數(shù)學(xué)中非常重要的函數(shù)，它們在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。指數(shù)函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)縱坐標都大于1，在第二象限內(nèi)縱坐標都小于1，函數(shù)的定義域為實數(shù)集，是一個非奇非偶函數(shù)，函數(shù)的值域為正實數(shù)。當a=1時，指數(shù)函數(shù)是一個增函數(shù)或減函數(shù)，當a>1時，函數(shù)值開始增加較慢，到了某一值后增長速度變快，當a<1時，函數(shù)值開始減小較慢，到了某一值后減小速度變快。對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，用來解決指數(shù)運算中的問題。對數(shù)函數(shù)的定義域為正實數(shù)，值域為實數(shù)集，在實數(shù)集上單調(diào)遞增或遞減，是一個非奇非偶函數(shù)，函數(shù)圖像都過定點（0,1）。對數(shù)函數(shù)有兩個重要的概念，常用對數(shù)和自然對數(shù)，它們分別以10和無理數(shù)e為底數(shù)。對數(shù)函數(shù)有許多運算性質(zhì)，如乘法公式、除法公式和指數(shù)公式等，還有換底公式可以用來轉(zhuǎn)換不同底數(shù)的對數(shù)。在實際應(yīng)用中，對數(shù)函數(shù)可以用來化簡復(fù)雜的指數(shù)式，簡化計算。（二）對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)是指函數(shù)y=loga(x)（a>0，且a≠1），其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)。需要注意的是，對數(shù)函數(shù)的定義與指