2022-2023學年上海市復旦大學附屬青浦分校高一上學期10月月考數學試卷含詳解

20222022學年復旦附中青浦分校高一（上）10月考數學試卷一、 填空題（1?6每題4分，7.12每題5分，共54分）集合{123,4,?,2009}的非空真子集個數為 .TOC\o"1-5"\h\z已知全集U=R.集合人=慶心1},集合B={x|x22},則QUl,B）= 已知集合A={x\\^x<2}t集合B={x\x^a}t若AnB^01則實數〃的取值范圍是 如果全集U=la,b,c,d,ej\A={o,A,gQ},AB={a}t/（A/）={/*},則8= C=1己知白2>0>°,3>,>0且%+%=坎+虹=1記A=如，B 2,則A、B、C按從小到大順序排列是 .己知的即C的周長為定值2,則它的面積最大值為 .2M={x\m<x<m+—}TOC\o"1-5"\h\z我們將人一。稱為集合的“長度”，若集合 3,N={x|〃-0.5《X〃},旦集合M和集合N都是集合{尤I0GG}的子集，則集合McN的“長度”的最小值是 已知正數x, z滿足3x+2y-z=0，則。的最小值為 ? 9對任意兩個集合X5,定義①X"={x|心且3},②X"=（X"）U（JX）,己知人={巾=方聶},B={y\-2<y<2}t則削= 1（）.己知fM=（a2-5）x2+2x+2t若不等式f（x）>x的解集為a,已知（。,1）（人，則“的取值范圍為 己知函數/（工）="+1|+”一 求實數*的值；1+1工一“1圖象關于垂直于'軸的直線對稱，則實數〃的取值集合是 . 求實數*的值；集合人={3加2心河，8={（號）|〉=、+心彌},已知集合ACB中有旦僅有-個元素，則常數“的取值范圍是 .二、 選擇題（每題5分，共20分）已知集合人={/3,4,?,2014,2015},集合B={x|x=3Z,hZ},則AcB中的最大元素是（）A.2014 B.2015 C.2016 D.以上答案都不對已知全集U=AuB中有m個元素，（疥A）u（u8）中有〃個元素?若AcB非空，則AcB的元素個數為C.n-mm+nC.n-m設x＞），＞0,則下列各式中正確的是（）A.x>^^>y/xy>A.x>^^>y/xy>yc.X>^y>y>4^B.“而>號D.x>y/xy>y>_；)對于問題“設實數a,b,c滿足a1 設集合B={x|x2-ar+2＜0[,若A^B.求實數。的取值范圍.+h2+c2=\f證明： 設集合B={x|x2-ar+2＜0[,若A^B.求實數。的取值范圍.甲、乙、丙三個同學都用反證法來證明，他們的解題思路分別如下:甲同學：假設對于滿足a2+b2+c甲同學：假設對于滿足a2+b2+c2=1的任意實數a,b,c,\a-b\,訴一耳，|。一。|都大于手.再找出一組滿足a2+b2+c2=\但與“|。一牛訴一4,|c—o|都大于手，'矛盾的a,b,c,從而證明原命題.乙同學：假設存在滿足a2+b2+c2=1的實數a,b,c,\a-b\,訴一小\c-a\都大于手再證明所有滿足疽+〃+決=1的。,必均與屮-牛訴-c|,\c-c\都大于手”矛盾，從而證明原命題.丙同學:假設存在滿足疽+臚+亍=]的實數a,b,c丙同學:假設存在滿足疽+臚+亍=]的實數a,b,c,\a-t\,I〉-司，|c一4都大于手.再證明所有滿足a2+b2+c2^\的。，必均與屮-。|,訴-c|,\c-c\都大于辛”矛盾，從而證明原命題.那么，下列正確的選項為（A.只有甲同學的解題思路正確A.只有甲同學的解題思路正確B.只有乙同學的解題思路正確只有丙同學的解題思路正確有兩位同學的解題思路都正確只有丙同學的解題思路正確有兩位同學的解題思路都正確三、解答題（本題共5大題，滿分76分）己知集合A={xgl|v2},B={x|(x-a)(x+2a)<0|,C（1）求AB=B,求。的取值范圍;（2）若A=求。的取值范圍.18.己知18.己知/（x）=H+2,不等式|f（x）|v3的解集為（一1,5）,不等式N1的解集為A.己知函數f(x)=x2+(x-T)\x-a\.若。=-1,解不等式/?>1；是否存在實數。，使不等式f(x)>2x-3對一切實數xeR恒成立？若存在，求出。的取值范圍，若不存在，請說明理由.己知關于大的不等式(4kx-k2-l2k-9)(2x-U)>0t其中kwR.試求不等式解集A；對于不等式的解集A,記B=AZ(其中Z為整數集)，若集合B為有限集，求實數&的取值范圍，使得集合8中元素個數最少，并用列舉法表示集合設A=(a1,a2,a3,---,an}cA/(n€N,n>2),若%+%+?+W2%，則稱A為集合材〃元“好集寫出實數集R的一個二元''好集"；請問正整數集上是否存在二元“好集”？說明理由；求出正整數集上的所有三元“好集20222022學年復旦附中青浦分校高一（上）10月考數學試卷一、填空題（1?6每題4分，7.12每題5分，共54分）集合{123,4，，2009}的非空真子集個數為 【答案】22009-2##-2+22009【分析】利用集合中含有〃個元素，則它的非空真子集個數為2”-2即可求解.【詳解】因為集合{1,2,3,4,,2009}中含有2009個元素，所以集合{1,2,3,4,,2009}非空真子集個數為⑵2009-?.故答案為：22009-2-己知全集U=R,集合A={x\x<\）,集合B={x\x>2}t則CV（A\JB）= 【答案】U|l<x<2）【分析】先求的再求得補集即可詳解】由題,AuB={x\x<l或手22},所以^（AuB）={x|l<x<2）,故答案為:{x|lvxv2}【點睛】本題考查集合的并集、補集運算，屬于基礎題己知集合A={x\\<x<2],集合B={x\x<a}t若AcBwO,則實數。的取值范圍是.【答案】a>\分析】由Ar）B^0,畫出數軸，表示出集合，即可求解【詳解】因為則畫出數軸，并表示出集合,如下：-3-2-1 0 1a2 3 4可得a>\故答案為:a>\【點睛】本題考查已知交集結果求參數范圍，屬于基礎題如果全集U=0b,c,d,e,f',A={a,b,c,d],AB={a],C°（A、B）={f）,則8= 【答案】{。，功【分析】由題，用維恩圖來表示集合,由圖即可得到3集合【詳解】由題，將集合用維恩圖表示，則B={a,e}t故答案為：{〃,目【點睛】本題考查圖示法處理集合問題，屬于基礎題己知〃2>。1>0,人2>4>°，且％+代=4+?2=1，記A=%/?[+綸么，B=叩2+ ，C=^,則A、B、C按從小到大的順序排列是 .【答案】B<C<A【分析】根據題設，取符合題設的特殊值即可快速判斷，或者釆用排序原理也可判斷.【詳解】方法一：?.?a2>ax>0,方2>4>0,《+白2=4+人2=1，宀人I2f1, 2不妨令q=耳,但=§'々=§，處=5，? ,I145n'f224A=afy+a2b2=—+—=—,?=afi2+向打=—+—=—,\B<C<A,故答案為：B<C<A.方法二：,/tz2>a,>0,/?2>4>0，「?由排序原理可知:a2b2+a}b}>a2b}+ajb2,..1=0+q）（々+4）=響+a}b2+a2bt+a2b2=即2+W）+（皿+他2）V2（曲+他）。也+。］向>—,:?A>C>B.故答案為：B<C<A.已知R/AABC的周長為定值2,則它的面積最大值為 .【答案】3-2^-【分析】設出三角形的邊長，根據周長和勾股定理列方程組，利用基本不等式求得。力的最大值，進而求得三角形面積的最大值., a+b+c=2 【詳解】設及MBC三條邊長分別為a,b,c,其中c為斜邊長，所以丄.2_疽+屏，q+8+JT而=2,2 |2>2>/ab+>j2ah?所以=2-^/2,所以<6-4^2?則三角形的面積^bc=-^<3-2^2.故答案為3-2扳.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求三角形面積的最大值，考查直角三角形的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.2我們將b-a稱為集合M={x\a<x<b)&r^度"，若集合M={x\m<x<m+-),N={x\n-0.5<x<n},且集合M和集合N都是集合U|O<x<l)的子集，則集合McN的“長度'啲最小值是 【答案】y6【分析】當集合McN的“長度”的最小值時,M與N應分別在區(qū)間［0,1］的左右兩端，由此能求出McN的“長度”的最小值【詳解】由題,M的“長度”為*N的“長度”為!，當集合McN的“長度”的最小值時,M與N應分別在區(qū)間［0,1］的左右兩端，故McN的“長度”的最小值是|+ =32 6故答案為:!6【點睛】本題考查交集的“長度”的最小值的求法，考查新定義的合理運用己知正數x,y,z滿足3x+2y-z=0,則=-的最小值為 .xy【答案】24【分析】女=9廠+12"+矽=竺+尖+2由基本不等式即可求得最小值.xy xy yx【詳解】因為3x+2y-z=0,所以z=3x+2y,所以二些3庁_9*如+衣w-vy=幻空+1222空塵+12=24,yxVyx9x4y當且僅當—=—時，等號成立.y*故答案為：24對任意兩個集合X與Y,定義①X-Y={x\x^X且②X/^Y=（X-Y）\J（Y-X）,己知厶={小=尤如聶},B=[y\-2<y<2},則=【答案】［-2,0）U（2,+oo）【分析】由A={y\y=j(2,x^R}={y\y>0},B={y\-2<y<2},先求出A-B={y\y>2},B-A=(y\-2<y<0],再求人跡的值.【詳解】'：A={y\y=^,xGR)={y|y>0!，B={y\-2<y<2},?'?A-B={y\y>2],B-A={y\-2<y<0},:.A^B=(y\y>2]U)y|-2勻，<0},故答案為[-2,0)U(2,m).【點睛】本題考查集合的交、并、補集的運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意正確理解X-r=（x|xeX且》任丫}、x△丫=（X-Y）u（y-x）.己知f（x）=（a2-5）x2+2x+2,若不等式fM>x的解集為A,己知（0,l）cA,則"的取值范圍為【答案】（-8,-很］也71,+8）【分析】將問題轉化為(疽-5)F+x+2>0在區(qū)間(0,1)上恒成立,然后對a1-5分三種情況討論，結合二次函數的圖象可得.【詳解】因為不等式fM>x的解集為a,所以(疽一5)￥+x+2>0的解集為A,當疽一5=0,即。=±必時，不等式化為x+2>0,所以工>-2,所以A=(—2,+oo),滿足(0,1)伝4；當。2一5>(),即。>由或次一打時，函數y=(a2-5)x2+x+2>0在(0,1)上恒成立，所以滿足(0,l)gA；當“2—5v0,即志 時，二次函數y=(a2-5)x2+x+2的圖象開口向下，0+0+2>0 ll要使(0,1)匸厶,只需丿/_5+]+2〉0，化簡得。22,解得a>^2或心—JL又項vrzvVL所以-$<點_皿或皿JcivR,綜上，實數〃的取值范圍是罰Pg-妁P點+8)5志,項\5也,+,)=(-8,-很]5扳，+<?).故答案為：(-8,-皿]U[>^，+8)?【點睛】本題考查了一元二次不等式恒成立問題,二次函數圖象，分類討論思想,屬于中檔題.11-己知函數/(x)=|x+l|+|x-l|+|x-?|的圖象關于垂直于x軸的直線對稱，則實數"的取值集合是 .【答案】(-3,0,3)【分析】設函數關于x=k對稱，可得f(x)=f(2k-x),然后分類討論即得.【詳解】設對稱軸為x=k,則f{x)=f(2k-x),所以|x+l|+|x-l|+|x-?|=|2A:-x+l|+|2A:-x-l|+|2A:-x-?|,若化=0,貝ij|x+l|+|x-l|+|x-tz|=|-x+l|+|-x-l|+|-x-?|,所以a=0滿足題意；若kxO,若|x+l|=|-x-l|=|2A:-x+l|,則2&+1=_1,即k=—l,此時，|工一4=|2k—工一1|,2k—l=a,q=—3,于是|x-l|=|2A:-x-^|=|-2-x-(-3)|=|l-x|滿足題意，

所以a=-3滿足題意；同理，當2k+\=a,2&-1=1,2&-。=一1時，。=3滿足題意:綜上，實數。的取值集合是{-3,0,3}.故答案為：{一3,0,3}.12.集合A={(x,y)|y=o|M，xcR},B={(x,y)|y=x+gR},己知集合人cB中有且僅有一個元素，則常數。的取值范圍是 .【答案】[-U]【分析】將Ac8中有且僅有一個元素，轉化為方程只有一個解，分情況討論，確定參數范圍.【詳解】由集合A={(x,y)|y=。國,xcR},B={(x,y)|.y=x+ R},且Ac8中有且僅有一個元素，.?.。國=工+。只有1個解，若x>0,則ax=x+a,x- ,a-\若x>0,則ax=x+a,x- ,a-\則—ax=x+a,x。+1所以>0

a-\f

或，>0a+\<0a-\或4--<oa+\——>0a-\a=-\解得一二、選擇題(每題5分，共20分)13.己知集合厶={1,2,3,4,,2014,2015},集合3={x|x=3k+l,AeZ},則AcB中的最大元素是(A.2014B.2015C.2016A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不對【答案】【分析】【詳解】由題意可知集合3表示整數的3倍且大1的數的集合，則找出集合A中符合條件的最大元素即可.【分析】【詳解】因為集合B={x\x=3k+1,nZ},表示整數的3倍且大1的數的集合,A={1,2,3,4,,2014,2015),所以AcB中的最大元素為2014,故選：A

.*q償骸一。|中一祐啪一"IP'q'〃孫予如氣"歸+夕舌顰丑毋禊劉：素回堅WSIBbMW'鄭知*丄￥腸|〃一。|十一祐響一"|?印泗'0'"瀏=夕+歸+夕舌蝦駐坦鉀僱*丄￥嗣〃一。|十一祐，知_鞏，°'K麻酒風1=夕+#+夕舌顰理成醐：煮回2WWItoMWP'*歷Sf也云丄￥腺”7|十一祐啪一外，與可【=夕+歸+夕部峨一串淮蛍*丄￥収|〃一。|十一祐，切一〃|。很奪滄榮科陽=夕+#+夕舌整丄度視劉：煮回由:丄斯哈專斃T?躋測関【。明’配亞米浪皿酉由腺素回&三堅'7'由“奈必k一旦彳更市|〃一。|十一q|舊一〃|WW，1=夕+歸+夕部"'0'〃孫溶視，，甌回土段?9【,V:W偵〈分惘‘以、性'性〈甘亍偵+xvxv'Ovlvx【挪裁】.哥能卓會V申灑尋弱浙刑網卓發(fā)V?泉苗【圾&】V【営短】）晉風魄3T巾辛母陋4時‘OV《V0G?OW'礬四￡〃一〃/尊涯QDV尚坦'[(8%)c(")}^=gDV后坦（9UV）%=（時）c（站）區(qū)用【麹裁】Q【営短】u-uiaui-uu-uiaui-u3w+m/guiuV再證明所有滿足a2+b2+c2^\的m，c均與“|。-牛\b-c\f\c-ci\都大于手”矛盾，從而證明原命題.那么，下列正確的選項為（）A.只有甲同學的解題思路正確 B.只有乙同學的解題思路正確C.只有丙同學的解題思路正確 D.有兩位同學的解題思路都正確【答案】B【分析】利用反證法的證明思路，即假設結論的反面成立，從而得到矛盾即可.【詳解】解：假設結論的反面成立，所以存在滿足a2+h2+c2=\的實數\a-b\,\b-c\,\c-a\都大于豆,2這結論與已知條件矛盾，再證明所有滿足/+明+子=1的祉均與"|宀|,H|,\c-a\都大于史”矛盾，2故乙同學是對的.故選：B.三、解答題（本題共5大題，滿分76分）17.己知集合A={xgl|v2},B={x|(x-a)(x+2a)<0|,C（1）求AB=B，求。的取值范圍;（2）若A=求。的取值范圍.【答案】⑴-心馬(2)(2)532，_2【分析】（1）首先解絕對值不等式求出集合A,根據？VB=B,可得B^A,再分類討論求出集合8,即可求出。的范圍，（2）首先解分式不等式求出集合C,根據幻8=咐（7,得到AoB,且CgB，即可求出"的范圍.【小問1詳解】解：由|工一1|<2,即-2<x-l<2,解得一lvxv3,即A=(-1,3),又A'B=B,所以BaA,當a=0時，不等式JvO無解，所以B={x|(x-?)(x+2?)<O)=0,符合題意；當白>0時，由(x-a)(x+2a)<0,解得-2a<x<a,所以B=|x|(x-a)(x+2?)<o|={x\-2a<x<a}f

a<3所以-2a>-1,所以-2a>-1,a>0解得。<曷；當〃vO時，由(x-a)(x+2a)<0,解得a<x<-2a,所以B=|x|(x-t7)(x+2?)<o|={x|?<x<-2a},-2a<3所以-a>-\,解得一1《。<0；a<0綜上可得2【小問2詳解】解：由旦旦22,即旦」一220,即—<0,解得-3<x<5,即C=(-3,5],x+3 x+3 x+3 ' 」A\jB=Br\C,AcB,且BgC,因為A=(—l,3),C=(—3,5],當"=0時B=0,顯然不符合要求;-2a<-la>3當a>WB=[x\^2a<x<a\t當a>WB=[x\^2a<x<a\t貝L解得a<5a>0a<-\a>-3當a<0當a<0時B=[x\a<x<-2a},一2。23,-2a<5故。的取值范圍5_32~218.故。的取值范圍5_32~218.己知/(x)=Ax+2,不等式⑴|<3的解集為(一1,5),不等式N1的解集為A.

丄一1: 無解;——5k【詳解】解（1）1/?|＜3即|奴+2|v3即一5v々vl當丄一1: 無解;——5k當化＞0時，解為一2〈工〈丄，令＜丄5丄5；，得化=-1———1k當kvO時，解為丄＜xv-令＜kk所以k=-l；（2）由題：而習’即：m—E'即竺生02-x解得：1Vxv2,A=[l,2),令gCr)=j一織+2,則由A^B,g(x)=x2-ax+2<0^txe[l,2)恒成立,g⑴vOg⑵wo'解得：a＞3.【點睛】此題考查根據絕對值不等式的解集求參數值，解分式不等式，根據不等式恒成立求參數范圍.己知函?f(x)=x2+(x-\)\x-a\.（I）若。=一1，解不等式/?＞1；（2）是否存在實數。，使不等式f（x）＞2x-3對一切實數xeR恒成立？若存在，求出。的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（1,*功；（2）存在，tzg[-3,11滿足題意，詳見解析【分析】（1）分別在x＜-l和工＞一1兩種情況下去掉絕對值符號得到不等式，解不等式求得解集；（2）當x=l時，

可驗證恒成立，則a^R；當x＞l時，將不等式變?yōu)閨1橙_偵+2：_3,由于F+2j_3〈o,可知不等式恒成立，得到q;當*1時，將不等式轉化為三芋檢若M通過分離變量的方式得到，與

x-1函數＞=2—3：+3和＞=三|的大小關系，通過求解函數最值得到oe［-3,l］；將三種情況取交集得到最終結果.x-1【詳解】(1)當。=1時,/(x)=x2+(x-l)|x+l|當n—1時，/（x）＞l等價于X2-（X2-1）＞1,解集為0當x>-\時，/(%)>!等價于x2+(x2-1)>1,解得：X>1綜上所述：不等式/（%）＞1的解集為：（1,卬）(2)/(x)>2x-3W于(x-l)|x-tz|>-x2+2x-3當x=l時，不等式為：02—2,恒成立:.aeR當“I時，不等式為：宀橙三若註?.?一工2+2?.?一工2+2工一3〈0恒成立且工一1＞0-x2+2x-3<0x-1又\x-a\>0 :.a^R當xvl當xvl時，不等式為：|工一。|〈一'+2"一3x-1即"_2x+3g_m—J+2x_3x-1 x-1+2x-32x2-3x+3n+2x-32x2-3x+3n/x2-2x+3x-3 = iLa<x = x-1x-1x-1 x-1令y=2j-3：+3=2（宀］）+三,1x-1當xvl時，x-l<0.?.2（x-l）+-^y＜-2^2（l-x）-p-=-4（當且僅當工=0時取等號）x-3TOC\o"1-5"\h\z令'=~7 〔x-1 x-1當XV1時，y>i :.a<\

綜上所述：當^g[-3,1]時，f（x）>2x-3對xeR恒成立【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、絕對值不等式中恒成立問題的求解；解決恒成立問題常用的方法為分離變量的方式，將問題轉化為參數與函數最值之間的比較，本題中需根據自變量的范圍討論分離變量所得函數的形式.己知關于大的不等式（4奴一爐-12#-9）（2工一11）>0,其中ER.（1） 試求不等式的解集A；（2） 對于不等式的解集A,記B=AZ（其中Z為整數集），若集合B為有限集，求實數化的取值范圍，使得集合8中元素個數最少，并用列舉法表示集合【答案】（1）分類討論見詳解；（2）居[-4-扳,-4+77],8={2,3,4,5}.【分析】（1）對k進行分類討論，分別討論*=0丄<0,0<&vl或#9的情況，進而求解即可；b0 3⑵由⑴可知當S。時，集合B有限集，利用均值不等式可氣+瓦+3虧當且僅當J3時等號成立,進而求解即可【小問1詳解】當^=0,A={x|x<y);L2+17^+011當時,令K十眾2=11，解得&=］或k=9,4k2TOC\o"1-5"\h\zL Q II k 9 11則當&<1或上〉9時，-+—+3<—，當1<Rv9時，-+—+3>—,4 4A 2 4 4L 2LQ II當k<0,A=（x|-+—+3<x<—）；44k 21 L Q當0vSl或。9, A={x|xv—或x>—+——+3}；4 4比b Q 11當1<k<9,A={x|x<—+——+3或x>—}；4 4k 2【小問2詳解】因為B=AnZ（其中Z為整數集），由（