第5章概率知識點清單 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊

2/2新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)必修第二冊第5章知識點清單目錄第5章概率5.1隨機(jī)事件與樣本空間5.2概率及運(yùn)算5.3用頻率估計概率5.4隨機(jī)事件的獨立性第5章概率5.1隨機(jī)事件與樣本空間5.1.1隨機(jī)事件一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象1.在一定條件下必然發(fā)生(出現(xiàn))的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.2.在條件相同的情況下，不同次的試驗或觀察會得到不同的結(jié)果，每一次試驗或觀察之前不能確定會出現(xiàn)哪種結(jié)果.我們把這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.二、隨機(jī)試驗、樣本點與樣本空間1.隨機(jī)試驗對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗、觀察或觀測稱為隨機(jī)試驗.隨機(jī)試驗一般用大寫字母E表示.2.樣本點對于一個隨機(jī)試驗，我們將該試驗的每個可能結(jié)果稱為樣本點，常用ω(或帶下標(biāo))表示.3.樣本空間將隨機(jī)試驗所有樣本點構(gòu)成的集合稱為此試驗的樣本空間，用Ω表示.用集合的語言描述時，試驗的樣本空間是該試驗所有樣本點構(gòu)成的全集，樣本點是該全集的元素.它們之間的關(guān)系可用如圖刻畫.?4.有限樣本空間如果樣本空間中樣本點的個數(shù)是有限的，則稱該樣本空間為有限樣本空間.三、隨機(jī)事件1.隨機(jī)事件一般地，當(dāng)Ω是試驗的樣本空間時，我們稱Ω的子集A是Ω的隨機(jī)事件，簡稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，…來表示.對于樣本空間Ω，A是事件和A?Ω等價.2.基本事件由一個樣本點組成的集合，稱為基本事件.當(dāng)試驗結(jié)果(即試驗的樣本點)ω∈A時，就稱事件A發(fā)生，否則稱A不發(fā)生，即樣本點ω∈A和事件A發(fā)生等價.3.必然事件Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的樣本點，所以必然發(fā)生.我們稱樣本空間Ω是必

然事件.4.不可能事件空集?也是Ω的子集，所以空集?是事件.空集?中沒有樣本點，永遠(yuǎn)不會發(fā)生，所

以我們稱?是不可能事件.四、隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件的理解1.判斷一個事件是隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件，首先要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機(jī)事件)還是一定不發(fā)生(不可能事件).五、樣本點與樣本空間的確定1.樣本空間是由試驗的所有可能結(jié)果組成的集合，而試驗的每種可能結(jié)果稱為該試驗的樣本點，樣本點具有以下性質(zhì)：(1)樣本點是不能再分的最簡單的可能結(jié)果；(2)樣本點和樣本空間是元素和集合的關(guān)系.2.隨機(jī)事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要弄清某一個隨機(jī)事件的所有結(jié)果，必須首先明確事件發(fā)生的條件，再根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案.3.探求樣本空間中的樣本點通常用字典排列法、畫樹狀圖法和列表法三種方法.(1)“從n個元素中任取m個元素”常采用字典排列法；(2)“依次取出”常采用畫樹狀圖法；(3)“從兩個集合中分別任取一個”常采用列表法.5.1.2事件的運(yùn)算一、事件的關(guān)系定義符號表示圖示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即事件A中的每個樣本點都在B中，則稱A包含于B，或B包含AA?B相等關(guān)系對于事件A，B，如果A?B，且B?A，則稱A與B等價，或稱A與B相等A=B二、事件的運(yùn)算定義符號表示圖示事件的交如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B同

時發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的交(或積).

事件A∩B由屬于事件A且屬于事件B的所有樣本點組成A∩B(或AB)事件的并如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的并(或和).事

件A∪B由至少屬于事件A或B之一的樣本點

組成A∪B(或A+B)事件的差如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生而事件

B不發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的差.A\B由屬于事件A但不屬于事件B的樣本點組成A\B三、互斥事件與對立事件定義符號表示圖示互斥事件如果事件A∩B為不可能事件，則稱事件A，B互斥(或互不相容).一般地，如果事件A1，A2，…，An中任意兩個都互斥，則稱它們兩兩互斥A∩B=?對立事件如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生，則稱

該事件為A的對立事件Ω\A或A四、概率論中事件的運(yùn)算性質(zhì)1.概率論中事件的運(yùn)算性質(zhì)與集合論中的運(yùn)算性質(zhì)是一致的，主要包括：(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)；(4)A∪B=A∩B，A∩B=五、互斥事件與對立事件的判斷1.互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.2.判斷兩個事件是互斥事件還是對立事件可以先對樣本點進(jìn)行邏輯劃分，再進(jìn)行分析.3.可以利用Venn圖，類比集合的關(guān)系進(jìn)行分析判斷.六、事件的運(yùn)算事件間運(yùn)算的方法1.利用事件間運(yùn)算的定義，列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(可以是樣本點，也可以是具有相同特點的一些樣本點的集合)，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.2.利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，從而進(jìn)行運(yùn)算.3.對復(fù)雜事件的研究，通常將復(fù)雜事件表示為簡單事件的和或積的形式.5.2概率及運(yùn)算5.2.1古典概型一、概率1.定義設(shè)試驗的樣本空間Ω有n個樣本點，且每個樣本點發(fā)生的可能性相同.當(dāng)Ω中的事

件A包含了m個樣本點時，稱P(A)=mn為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A2.概率的基本性質(zhì)(1)任何事件的概率在0~1之間，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件包含樣本空間Ω中的所有樣本點，因而P(Ω)=1.(3)不可能事件不包含任何樣本點，因而P(?)=0.二、古典概型1.定義：我們把概率定義描述的概率模型稱為古典概率模型，簡稱為古典概型.2.特點(1)樣本空間中只有有限個樣本點；(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.3.計算公式P(A)=A中的樣三、求古典概型的概率1.解決古典概型實際問題的步驟?四、古典概型的綜合應(yīng)用1.有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型，一般利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，就能解決此類問題.2.有關(guān)古典概型與其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合的題型，可利用有關(guān)數(shù)學(xué)知識得出限制事件的條件，進(jìn)而解決概率問題.5.2.2概率的運(yùn)算一、概率的運(yùn)算1.互斥事件的概率加法公式如果Ω中的事件A，B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B).推廣：如果事件A1，A2，A3，…，An兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪An發(fā)生(是指A1，A2，A3，…，An中至少有一個發(fā)生)的概率，等于這n個事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).2.對立事件的概率公式：如果A是樣本空間Ω的事件，則P(A)=1-P(A).3.一般概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).二、利用概率的運(yùn)算性質(zhì)求事件的概率1.已知簡單事件的概率求復(fù)雜事件的概率的一般步驟(1)事件表示：將已知概率的事件、要求概率的事件用適當(dāng)?shù)淖帜副硎荆?2)事件運(yùn)算：將已知概率的事件進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算得到要求概率的事件；(3)求概率：利用互斥事件、對立事件等的概率公式求相關(guān)概率.5.3用頻率估計概率一、頻率與概率1.設(shè)Ω是某個試驗的樣本空間，A是Ω的事件.在相同的條件下將該試驗獨立地重復(fù)n次，則稱Fn(A)=n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)n2.一般地，如果事件A發(fā)生的可能性愈大，頻率Fn(A)也愈大；反之，如果Fn(A)愈大，那么可以設(shè)想事件A發(fā)生的可能性也愈大.因此，頻率與概率間應(yīng)有緊密的聯(lián)系.3.理論和實踐都證明：在相同的條件下，將一試驗獨立重復(fù)n次，若用Fn(A)表示事件A在這n次試驗中發(fā)生的頻率，則當(dāng)n增加時，F(xiàn)n(A)將向一個固定的數(shù)值p靠近，這個數(shù)值p就可看作事件A發(fā)生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估計.4.頻率和概率都是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的定量刻畫，但頻率與試驗次數(shù)及具體的試驗有關(guān)，因此頻率具有隨機(jī)性；而概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，是一個固定的量，不具有隨機(jī)性，因此頻率不能完全反映概率.二、用頻率估計概率1.頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出事件A的

頻率.頻率本身是隨機(jī)變化的，當(dāng)n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個

穩(wěn)定值就是概率.2.解此類題目的步驟是先利用頻率的計算公式計算出頻率，再用頻率估計概率.5.4隨機(jī)事件的獨立性一、事件的相互獨立1.在概率論中，設(shè)A，B為兩個事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，則稱事件A，B相互獨立，簡稱為獨立.(1)事件A與事件B相互獨立，即事件A(或B)是否發(fā)生，對事件B(或A)發(fā)生的概率沒

有影響.(2)若事件A，B獨立，則計算P(A∩B)的公式為P(A∩B)=P(A)P(B).二、事件相互獨立的性質(zhì)條件事件A，B獨立結(jié)論A與B，A與B，A與2.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A，B同時發(fā)生，記作：A∩B(或AB)互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A+B)計算公式P(A∩B)=P(A)·P(B)P(A∪B)=P(A)+P(B)三、判斷事件的獨立性1.判斷兩個事件是否相互獨立的方法(1)直接法：直接判斷一個事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.(2)定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即兩個事件同時發(fā)生的概率是否等于每個事件發(fā)生的概率的乘積.(3)轉(zhuǎn)化法：由判斷事件A與事件B是否相互獨立，轉(zhuǎn)化為判斷A與B或A與B或A與B是否相互獨立.四、利用事件的獨立性求復(fù)雜事件的概率1.由簡單事件通過運(yùn)算得到復(fù)雜事件，進(jìn)而利用互斥、對立、獨立等關(guān)系計算概率.解題時要注意(1)對事件進(jìn)行分解，一方面分解為互斥的幾類簡單事件求概率；另一方面分解為獨立的幾類，利用事件同時發(fā)生(乘法)求出概率.(2)已知兩個事件A，B，那么①A，B中至少有一個發(fā)生為事件A+B.②A