重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練（人教A版2019選修一）專題15 圓錐曲線?？碱}型03-定點(diǎn)問題含答案

重難點(diǎn)突破--高二數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練（人教A版2019選修一）專題15圓錐曲線?？碱}型03——定點(diǎn)問題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，而這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)．求解這類難點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．1．如圖，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，，，兩點(diǎn)，且，，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過定點(diǎn)．

2．已知拋物線．（1）若與圓在第一象限內(nèi)交于，兩點(diǎn)，求直線的方程；（2）直線過點(diǎn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定點(diǎn)．3．設(shè)，和，是拋物線上的兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）若，求直線的方程；（Ⅱ）證明：當(dāng)點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的垂直平分線過定點(diǎn)．

4．已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．5．如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為軸的拋物線上的點(diǎn)作斜率分別為，的直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）若，證明：直線恒過定點(diǎn)．

6．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為8．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最大值為．（1）求；（2）已知直線與相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)．問：直線是否過軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．

8．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足．定點(diǎn)，，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是，．（1）求拋物線的方程；（2）求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)、存在且不重合），直線恒過一個(gè)定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離為，到直線距離為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率之和為的兩條直線，相交于點(diǎn)，直線，與曲線分別相交于，，，四點(diǎn)，且線段、線段的中點(diǎn)分別為，，問：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．11．已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且．求證：直線過定點(diǎn)．

12．已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點(diǎn)，且直線，與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)，異于點(diǎn)，若，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．13．設(shè)是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，過作的切線與分別過，的切線交于，兩點(diǎn)．已知，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)予以證明，并求出定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．

14．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)，在△中，，周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

16．已知斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)與拋物線，為常數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，弦的長(zhǎng)為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．17．過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，已知當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓，已知，是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線，都與圓相切是坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

18．從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，垂足為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，為上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出符合條件的所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．若，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．

20．已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)．21．已知橢圓的離心率為，，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否恒過橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由．

22．已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)，，，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，若直線與直線的斜率乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程．（2）設(shè)是與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線分別與交于點(diǎn)，，若直線，斜率之積為，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．23．已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，且直線，的斜率之積是．（1）是否存在定點(diǎn)，，使得為定值？（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為，點(diǎn)，，是上互異的三點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱，．求證：直線恒過定點(diǎn)．專題15圓錐曲線?？碱}型03——定點(diǎn)問題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，而這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)．求解這類難點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．1．如圖，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，，，兩點(diǎn)，且，，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過定點(diǎn)．【解答】解：（1）由拋物線的方程可得準(zhǔn)線的方程為：，再由拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以由題意可得，解得，所以拋物線的方程為：；（2）證明：設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理可得：，可得：，，，，解得，所以直線的方程為：，所以直線恒過定點(diǎn)．2．已知拋物線．（1）若與圓在第一象限內(nèi)交于，兩點(diǎn)，求直線的方程；（2）直線過點(diǎn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定點(diǎn)．【解答】解：（1）聯(lián)立，解得或，故，可得直線的方程為，即，（2）證明：由題意，可設(shè)直線方程為，，，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡(jiǎn)整理可得，，由韋達(dá)定理可得，，由題意，可設(shè)直線方程為，，化簡(jiǎn)整理可得，，，解得，方程為，直線必過點(diǎn)，為定點(diǎn)，即得證．3．設(shè)，和，是拋物線上的兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）若，求直線的方程；（Ⅱ）證明：當(dāng)點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的垂直平分線過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ），和，是拋物線上的兩點(diǎn)，且，由，可得，，，則，或，可得直線的方程為，即為；或，即為；（Ⅱ）證明：由題意可得，，相減可得，可得的斜率，，可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，可得的垂直平分線方程為，即為，可得，，則線段的垂直平分線過定點(diǎn)，．4．已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)榍€上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，所以曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以曲線為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，即，所以曲線的方程為．（Ⅱ）證明：根據(jù)題意當(dāng)?shù)男甭什课?時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，可得，所以，，，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓過點(diǎn)，所以，所以，，，即（舍去）或，所以直線的方程為，即，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，由對(duì)稱性知，，此時(shí)也過，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．綜上直線經(jīng)過定點(diǎn)．5．如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為軸的拋物線上的點(diǎn)作斜率分別為，的直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）若，證明：直線恒過定點(diǎn)．【解答】（1）解：設(shè)拋物線的方程為，則代入，可得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明：設(shè)，，，，則直線方程，方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消去，得，①同理②而直線方程為，③，由①②③，整理得．由且，得，，故直線經(jīng)過定點(diǎn)．6．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為8．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心，，過點(diǎn)作軸，垂足為，則，，，化為．當(dāng)時(shí)，也滿足上式．動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，由題意可知，，．軸是的角平分線，，，，化為．直線的方程為，，化為，化為，，令，則，直線過定點(diǎn)7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最大值為．（1）求；（2）已知直線與相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)．問：直線是否過軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．【解答】解：（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，圓可得圓心，半徑，到圓的最大距離為：，由題意可得，，解得：；（2）由（1）得拋物線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，，，由題意可得，，所以直線的方程為：，令，可得，所以直線恒過軸上的一定點(diǎn)．8．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足．定點(diǎn)，，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是，．（1）求拋物線的方程；（2）求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要點(diǎn)、存在且不重合），直線恒過一個(gè)定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，所以可得，，進(jìn)而可得，由，可得：，即，可得，所以拋物線的方程為：；（2）證明：設(shè)，，，，，，由，，三點(diǎn)共線可得，，即，整理可得：，所以，同理可得，，三點(diǎn)共線，，所以直線的方程：，整理可得：，將，的值代入直線方程可得：，所以解得：，所以直線過定點(diǎn)．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離為，到直線距離為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率之和為的兩條直線，相交于點(diǎn)，直線，與曲線分別相交于，，，四點(diǎn)，且線段、線段的中點(diǎn)分別為，，問：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，到直線距離為，且，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故曲線的方程為；（2）設(shè)，的方程分別為，，聯(lián)立方程組，可得，所以，則，同理可得，所以，由，所以，則直線的方程為，整理可得，故直線恒過定點(diǎn)．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)得曲線的方程為．（2）證明：設(shè)，，，，①若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)橹挥幸唤?，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，△，直線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理，，故線段的中點(diǎn)為，，同理，線段的中點(diǎn)為，，若，則，直線的方程為，即，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)．若，則，或，，直線的方程為，此時(shí)直線過點(diǎn)，②若直線，中其中一條的斜率為0，另一條的斜率不存在，不妨設(shè)的斜率為0，則直線，，此時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線也過點(diǎn)，綜上，直線也過點(diǎn)．11．已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且．求證：直線過定點(diǎn)．【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)榍€上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知，曲線的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為；（Ⅱ）證明：設(shè)直線，，，，，聯(lián)立方程組，可得，所以，，所以，，，因?yàn)榫€段為直線的圓過點(diǎn)，所以為直角三角形，故有，所以，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以，解得或，因?yàn)橹本€不過原點(diǎn)，所以，故，所以直線，令，則，所以直線恒過定點(diǎn)．12．已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點(diǎn)，且直線，與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)，異于點(diǎn)，若，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）由離心率為，且，得，，即雙曲線方程為．又點(diǎn)在雙曲線上，，解得，，雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，，，則由，得，即，解得，不符合題意，故直線的斜率存在．不妨設(shè)直線的方程為，代入，整理得，△．設(shè)，，，，則，由，得，即，整理得，，整理得：，即，或．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)，不符合題意．綜上，直線過定點(diǎn)．13．設(shè)是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，過作的切線與分別過，的切線交于，兩點(diǎn)．已知，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)予以證明，并求出定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．【解答】解：（1）由題可知，解得，，所以，所以的方程為．（2）設(shè)，，由于是異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，故切線斜率存在．設(shè)過的橢圓的切線為，聯(lián)立方程，得，△，結(jié)合，解得過點(diǎn)的切線方程為．由于分別過，的切線分別為，，解得，的坐標(biāo)為，，在軸上取點(diǎn)，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)為，．14．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）橢圓的焦距為，離心率為，，即，又橢圓離心率為，，，，故橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，，，聯(lián)立，消去整理得：，所以△，，所以，，因?yàn)?，所以，，，所以，整理得：，解得：或（舍去），所以直線過定點(diǎn)．15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)，在△中，，周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】（1）解：由，，①又△的周長(zhǎng)為，，②聯(lián)立①②，解得，橢圓方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，，由，，，得，此時(shí)，重合，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，交點(diǎn)，，，，由．，依題：，，，，．直線方程為：，則過定點(diǎn)．16．已知斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)與拋物線，為常數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，弦的長(zhǎng)為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，直線方程為，聯(lián)立，得，△，即（舍或．設(shè)，，，，則，，弦的長(zhǎng)為，，整理，得，解得或（舍，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的方程為，代入拋物線的方程，可得設(shè)，，，，，，則，由，直線的方程為，，可得，，直線的方程為可得，，，直線過定點(diǎn)．17．過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，已知當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓，已知，是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線，都與圓相切是坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得，所以，，所以，①，②因?yàn)?，所以，，，所以③由①②③可得，所以拋物線的方程為；（2）證明：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，所以，，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，因?yàn)橹本€，都與圓相切，圓心到直線，的距離相等，所以，整理可得，代入可得，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn)．18．從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，垂足為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，為上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出符合條件的所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）設(shè)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．因?yàn)?，所以，，，?分）即，（3分）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即．所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（5分）（2）以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)和．理由如下：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由得．由韋達(dá)定理得，．（7分）設(shè)點(diǎn)，則．所以直線的方程為．令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．（9分）同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．（10分）如果以為直徑的圓過軸某一定點(diǎn)，則滿足．因?yàn)椋裕?，解得或．故以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)和．（12分）19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．若，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．可得，，則橢圓方程為；（Ⅱ）證明：與橢圓方程聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，△，，，的方程為，令，可得，即，；的方程為，令，可得．即，．，，即為，即有，由，解得，滿足△，即有直線方程為，恒過原點(diǎn)．20．已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)．【解答】解：（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，，兩點(diǎn)必在橢圓上，又的橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，，，三點(diǎn)在橢圓上．把，代入橢圓，得：，解得，，橢圓的方程為．證明：（2）證法一：①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，直線與直線的斜率的和為，，解得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，，，聯(lián)立，整理，得，，，則，又，，此時(shí)△，存在，使得△成立，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，過定點(diǎn)．證法二：將坐標(biāo)系向上平移一個(gè)單位，如圖：橢圓方程化為，即，設(shè)直線對(duì)應(yīng)的直線為，則化齊次聯(lián)立，得：，整理得，結(jié)合兩直線斜率之和為，得，，直線恒過點(diǎn)，在原坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)．21．已知橢圓的離心率為，，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否恒過橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由．【解答】解：（1）由題意，，因?yàn)?，所以，而，所以，故橢圓的方程為：，（2）由（1）知，設(shè)的方程為：，代入得：，設(shè)，，，，則，，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為：，令，得，所以，同理可得，若以為直徑的圓過長(zhǎng)軸上定點(diǎn)，則，設(shè)，，則，，于是對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，而所以，解得或，因?yàn)?，所以，以為直徑的圓是否恒過橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為．22．已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)，，，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，若直線與直線的斜率乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程．（2）設(shè)是與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線分別與交于點(diǎn)，，若直線，斜率之積為，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)，由直線與直線的斜率乘積為，可得，化為，即為；（2）證明：設(shè)直線，則，即，設(shè)，，，，而，，，則由，得，則，即，整理得，解得或（舍去），所以直線，知直線恒過點(diǎn)，．23．已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，且直線，的斜率之積是．（1）是否存在定點(diǎn)，，使得為定值？（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為，點(diǎn)，，是上互異的三點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱，．求證：直線恒過定點(diǎn)．【解答】解：（1）設(shè)，由已知得，，，，則，得，化簡(jiǎn)得：，由橢圓的定義可知，存在定點(diǎn)定點(diǎn)，，使得為定值．（2）證明：由于，，是上互異的三點(diǎn)，所以，，斜率存在，由條件，．得．設(shè)的方程為，，，，，將代入，消去得，即，得，，由，展開，整理得，解得（舍去）或．所以過定點(diǎn)，．專題17圓錐曲線?？碱}型04——定值問題圓錐曲線中的定值問題是圓錐曲線問題中的另一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量影響的某個(gè)值，就是要求的定值．具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡(jiǎn)消去變量即得定值．1．過拋物線的焦點(diǎn)為且斜率為的直線交曲線于，、，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)相鄰）．求證：為定值；2．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)異于、時(shí)，直線，的斜率分別為，，則是否為定值？請(qǐng)說明理由；

3．橢圓，的離心率，點(diǎn)在上．（1）求橢圓的方程；（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值．4．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．（1）求的方程，并求其準(zhǔn)線的方程；（2）過且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，，，證明：，均為定值．

專題17圓錐曲線常考題型04——定值問題圓錐曲線中的定值問題是圓錐曲線問題中的另一個(gè)難點(diǎn)．解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量影響的某個(gè)值，就是要求的定值．具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡(jiǎn)消去變量即得定值．1．過拋物線的焦點(diǎn)為且斜率為的直線交曲線于，、，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)相鄰）．求證：為定值；【解答】證明：依題意直線的方程為，代入，得，△，則，．為定值；2．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)異于、時(shí)，直線，的斜率分別為，，則是否為定值？請(qǐng)說明理由；【解答】解：由橢圓的方程及題意可得：，設(shè)，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以則，所以由題意可得是為定值，且定值為；3．橢圓，的離心率，點(diǎn)在上．（1）求橢圓的方程；（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值．【解答】（1）解：橢圓，的離心率，點(diǎn)在上，可得，，解得，，所求橢圓方程為：．（2）證明：設(shè)直線，，，，，，，，把直線代入可得，故，，于是在的斜率為：，即．直線的斜率與的斜率的乘積為定值．4．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．（1）求的方程，并求其準(zhǔn)線的方程；（2）過且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，，，證明：，均為定值．【解答】（1）解：雙曲線，，可得雙曲線的右焦點(diǎn)為，，則，即，故的方程為，其準(zhǔn)線的方程為；（2）證明：由題意直線過點(diǎn)且斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，整理得，，，，，為定值，則為定值．5．已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且的離心率為．（1）求與的方程；（2）若，直線與交于，兩點(diǎn)，且直線，的斜率都存在．①求的取值范圍；②試問兩直線，的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）因?yàn)榈碾x心率為，所以，解得，則的方程為．因?yàn)榈慕裹c(diǎn)與的焦點(diǎn)相同，所以，所以，則的方程為．（2）①聯(lián)立得，其中△，解得．又直線，的斜率都存在，所以，故的取值范圍是．②設(shè)，，，，則，，則，故直線，的斜率之積不是定值．6．設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點(diǎn)，，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值．【解答】解：（1）由雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，得，解得，，，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，過點(diǎn)與漸近線平行的直線分別為，，方程分別為，，聯(lián)立，解得，同理聯(lián)立，解得，又漸近線方程為，則，所以，又點(diǎn)在雙曲線上，則，所以，所以平行四邊形的面積為定值，且定值為．7．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）由題意可得，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為：，證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，且此圓為，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△，即，由方程組得，則△，設(shè)，，，，則，，設(shè)直線，直線的斜率為，，所以，將，代入上式得，要使得以為定值，則，即，所以當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為，此時(shí)圓與的交點(diǎn)，也滿足以為定值，綜上，當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)，滿足定值．8．已知拋物線的準(zhǔn)線過點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，證明：為定值．【解答】（1）解：由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，故拋物線的方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)，，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得．．則．為定值．9．已知平面上的動(dòng)點(diǎn)及兩定點(diǎn)，，直線，的斜率分別是，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，．①若為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出這個(gè)定值②若直線，的斜率都存在并滿足，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．【解答】解：（1）由題意得，，即．動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是．（2）設(shè)點(diǎn)，，，，聯(lián)立，化為，△．，．，①若，則，，，化為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離．②，，，，代入化為，化簡(jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，直線恒過原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，此時(shí)直線與曲線最多有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，綜上可知：直線恒過定點(diǎn)．10．如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程．（Ⅱ）若直線交軸于點(diǎn)，且，，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出的值；否則，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，則有，解得，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由條件得直線的斜率必存在，設(shè)方程為，又，設(shè)，，，，則由，解得，所以，因?yàn)?，則有，，，所以，同理可得，所以，即是定值．11．已知橢圓的離心率為，其右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，的面積為3，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）試探究，的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，說明理由．【解答】解：（1）由題意可知：點(diǎn)，，的面積為3，，又，，，解得，，橢圓的方程為：；（2）由題意可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，，，則直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，把直線代入橢圓得：，，，12．已知橢圓，、分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)；是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上異于點(diǎn)、的點(diǎn)，△是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．（Ⅰ）寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)滿足：，．求證：△與△的面積之比為定值．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椤魇沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以．所以．所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）設(shè)直線，的斜率分別為，，則直線的方程為．由，直線的方程為．將代入，得，因?yàn)槭菣E圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，所以．所以．由，所以直線的方程為．由，得．所以．13．給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”．若橢圓的離心率，點(diǎn)在上．求橢圓的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，，使得，與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，，分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)，，證明：弦長(zhǎng)為定值．【解答】解：（Ⅰ）由條件可得：解得所以橢圓的方程為，（3分）衛(wèi)星圓的方程為（4分）證明：①當(dāng)，中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)和，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是或，即為或，所以，所以線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，所以（7分）②當(dāng)，都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，其中，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，則，聯(lián)立方程組，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分）所以，滿足條件的兩直線，垂直．所以線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，所以綜合①②知：因?yàn)?，?jīng)過點(diǎn)，，又分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)，且，垂直，所以線段為“衛(wèi)星圓”的直徑，所以為定值（12分）14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為16．（1）求橢圓的方程；（2）已知為原點(diǎn)，圓與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，求證：為定值．【解答】解：（1）由題意和橢圓的定義得，則，由，解得，則，所以橢圓的方程為；（2）證明：由條件可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，，，則，，由題可知，，，所以，．又直線的方程為，令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，即為定值．15．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，，，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，問：是否為定值？并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，，，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，解得，，橢圓的方程為．（2）是定值．證明如下：設(shè)過的直線：或者①時(shí)，代入橢圓，，令，，，，．②代入橢圓，設(shè)，，，．則，，，，，，．16．如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)，問直線與的斜率之和是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，，結(jié)合，解得，橢圓的方程為；（Ⅱ）由題設(shè)知，直線的方程為，代入，得，由已知△，設(shè)，，，，，則，，從而直線與的斜率之和：．17．已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；（Ⅱ）設(shè)直線和與軸分別相交于點(diǎn)，，為原點(diǎn)．證明：為定值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，將代入，解得：，．當(dāng)為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，到直線的距離取得最大值3，面積的最大值是．（Ⅱ）設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，從而．設(shè)，，則有，，．直線的方程為，令，得，從而．直線的方程為，（10分）令，得，從而．所以，，．為定值．18．如圖，已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條斜率相反的直線分別與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線的斜率為．（Ⅰ）若直線、恰好為圓的切線，求直線的斜率；（Ⅱ）求證：直線的斜率為定值．并求出當(dāng)為直角三角形時(shí)，的面積．【解答】解：（Ⅰ）依題意，，由直線與圓相切，可得，解得．（Ⅱ）設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得：，，，．用代替可得：，．因此，，即直線的斜率為定值，當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，，，求得，，，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，，，求得，，，當(dāng)時(shí)，無解．綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的面積為或12．19．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)，在橢圓上，且（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，直線和與軸分別相交于點(diǎn)，，為原點(diǎn)．證明：為定值．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓的定義，得，即．（2分）將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，得，解得：．（4分）橢圓的方程是．（5分）（Ⅱ）證明：由關(guān)于軸于對(duì)稱，得，．設(shè)，，則有，，．（6分）直線的方程為，（7分）令，得，（8分）．直線的方程為：，（9分）令，得，（10分）．（12分）為定值．（14分）20．橢圓焦點(diǎn)在軸上，離心率為，上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積，則是否為定值，若是求出定值；若不是，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，解得，可得，即有橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（Ⅱ）設(shè)，，，（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，又，解得，；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意知，將其代入，得，即有，則，到距離，則，解得，滿足△，則，即有，綜上可得為定值5．21．已知圓和點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線，的斜率分別是，，試探索是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)在圓內(nèi)，，所以曲線是，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，由，得，所以曲線的方程為．（2）設(shè)，，，，，由已知直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，得，．（定值）．22．如圖，已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過圓心的直線交曲線于，兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使當(dāng)直線繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）由圓的方程知，圓心為，半徑為．設(shè)圓和圓內(nèi)切于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線，且．因?yàn)閳A過點(diǎn)，則，于是，所以圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓．因?yàn)?，則，又，則，所以曲線的方程：．（2）當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得，即．設(shè)點(diǎn)，，，，則，．設(shè)點(diǎn)，則，，則．若為定值，則，解得，此時(shí)為定值．當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)，．對(duì)于點(diǎn)，則．，此時(shí)．綜上分析，存在點(diǎn)，使得為定值．23．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為．設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，，周長(zhǎng)為8．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，證明：當(dāng)直線變化時(shí)，總有與的斜率之和為定值．【解答】解：由題意知，，所以．因?yàn)?，所以，則．所以橢圓的方程為．（Ⅱ）證明：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，顯然直線與的斜率之和為0，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，，整理得：，△恒成立，，，由，，的斜率存在，由，兩點(diǎn)的直線，故，，由，，直線與的斜率之和為0，綜上所述，直線與的斜率之和為定值，定值為0．24．在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)變化時(shí)，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)的情況？說明理由；（2）證明過、、三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值．【解答】解：（1）曲線與軸交于、兩點(diǎn)，可設(shè)，，，，由韋達(dá)定理可得，若，則，即有，即為這與矛盾，故不出現(xiàn)的情況；（2）證明：設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，由題意可得時(shí)，與等價(jià)，可得，，圓的方程即為，由圓過，可得，可得，則圓的方程即為，另解：設(shè)過、、三點(diǎn)的圓在軸上的交點(diǎn)為，則由相交弦定理可得，即有，再令，可得，解得或．即有圓與軸的交點(diǎn)為，，則過、、三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值3．25．已知橢圓過點(diǎn)，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．【解答】（1）解：橢圓過點(diǎn)，兩點(diǎn)，，，則，橢圓的方程為，離心率為；（2）證明：方法一、如圖，設(shè)，，則，所在直線方程為，取，得；，所在直線方程為，取，得．，．．四邊形的面積為定值2．方法二、由題意設(shè)，其中，則，取，得，同理求得，．5．已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且的離心率為．（1）求與的方程；（2）若，直線與交于，兩點(diǎn)，且直線，的斜率都存在．①求的取值范圍；②試問兩直線，的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．6．設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點(diǎn)，，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值．

7．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．已知拋物線的準(zhǔn)線過點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）