高數(shù)無窮級數(shù)復習課件

常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)正項級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項級數(shù)泰勒級數(shù)在收斂級數(shù)與數(shù)條件下相互轉化一、主要內容1常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)正冪級數(shù)收泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)1、常數(shù)項級數(shù)級數(shù)的部分和定義級數(shù)的收斂與發(fā)散21、常數(shù)項級數(shù)級數(shù)的部分和定義級數(shù)的收斂與發(fā)散2性質1:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質2:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性質3:在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.性質4:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質1、常數(shù)項級數(shù)3性質1:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質常數(shù)項級數(shù)審斂法正項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質;一般項級數(shù)4.絕對收斂4常數(shù)項級數(shù)審斂法正項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件定義2、正項級數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法5定義2、正項級數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法5(2)比較審斂法的極限形式6(2)比較審斂法的極限形式67788定義

正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).3、交錯級數(shù)及其審斂法9定義正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).3、交錯級數(shù)及其定義正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).4、任意項級數(shù)及其審斂法10定義正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).4、任意項級5、函數(shù)項級數(shù)(1)定義(2)收斂點與收斂域115、函數(shù)項級數(shù)(1)定義(2)收斂點與收斂域11(3)和函數(shù)12(3)和函數(shù)12(1)定義6、冪級數(shù)13(1)定義6、冪級數(shù)132、冪級數(shù)(1)收斂性142、冪級數(shù)(1)收斂性14推論15推論15定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.16定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)a.代數(shù)運算性質:加減法(其中(2)冪級數(shù)的運算17a.代數(shù)運算性質:加減法(其中(2)冪級數(shù)的運算17b.和函數(shù)的分析運算性質:18b.和函數(shù)的分析運算性質:183、冪級數(shù)展開式(1)定義193、冪級數(shù)展開式(1)定義19(2)充要條件(3)唯一性20(2)充要條件(3)唯一性20(3)展開方法a.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:b.間接法根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.21(3)展開方法a.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:b.間接法(4)常見函數(shù)展開式22(4)常見函數(shù)展開式222323(5)應用a.近似計算b.歐拉公式24(5)應用a.近似計算b.歐拉公式24二、例題例1解根據級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散．25二、例題例1解根據級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散．25解根據比較判別法，原級數(shù)收斂．26解根據比較判別法，原級數(shù)收斂．26解原級數(shù)收斂；原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)也發(fā)散．27解原級數(shù)收斂；原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)也發(fā)散．27例２解即原級數(shù)非絕對收斂．28例２解即原級數(shù)非絕對收斂．28由萊布尼茨定理：知此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．29由萊布尼茨定理：知此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．29例３解兩邊逐項積分30例３解兩邊逐項積分303131例4解32例4解323333